2021～2022高中数学第二章数列4等比数列5作业【含答案】新人教版必修5

等比数列一、选择题1．公差不为零的等差数列{an}，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为()A．－4 B．－eq\f(1,4)C．eq\f(1,4) D．4D[解析]设等差数列{an}的公差为d，由题意知d≠0，且aeq\o\al(2,3)＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，化简，得a1＝－eq\f(2,3)d.∴a2＝a1＋d＝－eq\f(2,3)d＋d＝eq\f(1,3)d，a3＝a2＋d＝eq\f(1,3)d＋d＝eq\f(4,3)d，∴eq\f(a3,a2)＝4，故选D．2．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与A．0 B．1C．2 D．0或2B[解析]由题意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c∴Δ＝b2－4ac＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x3．若等比数列的首项为eq\f(9,8)，末项为eq\f(1,3)，公比为eq\f(2,3)，则这个数列的项数为()A．3 B．4C．5 D．6B[解析]eq\f(9,8)·(eq\f(2,3))n－1＝eq\f(1,3)，∴(eq\f(2,3))n－1＝eq\f(8,27)＝(eq\f(2,3))3∴n＝4.4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q等于()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)D[解析]∵a5＝a2q3，∴eq\f(1,4)＝2q3，∴q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).5．(济南一中高二期中测试)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64 B．81C．128 D．243A[解析]∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1∴a7＝a1q6＝26＝64.6．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝±3，ac＝9B[解析]由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝－b,b2＝ac＝9,c2＝－9b），∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≥0,a≠0），∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3，故选B．二、填空题7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.3·2n－3[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝3,a10＝384），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝3,a1q9＝384）∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝eq\f(3,4)，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.8．已知等比数列前3项为eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，则其第8项是________．－eq\f(1,256)[解析]∵a1＝eq\f(1,2)，a2＝a1q＝eq\f(1,2)q＝－eq\f(1,4)，∴q＝－eq\f(1,2)，∴a8＝a1q7＝eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))7＝－eq\f(1,256).三、解答题9．已知等比数{an}中，a1＝eq\f(1,27)，a7＝27，求an.[解析]由a7＝a1q6，得27＝eq\f(1,27)·q6，∴q6＝272＝36，∴q＝±3.当q＝3时，an＝a1qn－1＝eq\f(1,27)×3n－1＝3n－4；当q＝－3时，an＝a1qn－1＝eq\f(1,27)×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.10．在等比数列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.[解析](1)∵a4＝a1q3，∴a1＝eq\f(a4,q3)＝eq\f(27,－27)＝－1.∴a7＝a1q6＝－(－3)6＝－729.(2)由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝18,a1q3＝8），解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝27,q＝\f(2,3）)，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－27,q＝－\f(2,3）).(3)由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1＝15，①,a1q3－a1q＝6.②）由①÷②，得eq\f(q2＋1,q)＝eq\f(5,2)，所以q＝eq\f(1,2)，或q＝2.当q＝eq\f(1,2)时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.一、选择题1．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则anA．(－2)n－1 B．－(－2)n－1C．(－2)n D．－(－2)nA[解析]由a5＝－8a2，a5>a2知a1>0，根据a5＝－8a2有a1q4＝－8a1q得q＝－2.所以an＝(－2)2．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值为()A．eq\f(1－\r(5),2) B．eq\f(\r(5)＋1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)C[解析]∵a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝eq\f(\r(5)＋1,2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a3＋a4,a3＋a4q)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).3．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16 B．27C．36 D．81B[解析]设公比为q，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝1,a1q2＋a1q3＝9），∴q2＝9，∵an>0，∴q＝3.∴a1＝eq\f(1,4)，∴a4＝a1q3＝eq\f(27,4)，a5＝a1q4＝eq\f(81,4)，∴a4＋a5＝eq\f(27,4)＋eq\f(81,4)＝eq\f(108,4)＝27.4．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx()A．依次成等差数列 B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列C[解析]eq\f(1,logax)＋eq\f(1,logcx)＝logxa＋logxc＝logx(ac)＝logxb2＝2logxb＝eq\f(2,logbx).∴eq\f(1,logax)，eq\f(1,logbx)，eq\f(1,logcx)成等差数列．二、填空题5．在8和5832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．648[解析]设公比为q，则8q6＝5832，∴q6＝729，∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.6．从盛满20L纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1L混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)．15.5[解析]每次剩下原来的eq\f(19,20)，∴逐次剩下的酒精量就构成以19为首项，以eq\f(19,20)为公比的等比数列{an}，∴an＝19·(eq\f(19,20))n－1∴a5＝19·(eq\f(19,20))4＝19×0.954≈15.5(L)，故倒5次后容器中剩下纯酒精15.5L.三、解答题7．(2014·福建文，17)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析](1)设{an}的公比为q，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝3,a1q4＝81），解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,q＝3）.因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(nb1＋bn,2)＝eq\f(n2－n,2).8．设数列{an}的前n项和