指数对数课件

指数、对数

指数函数、对数函数太和二中高一2班【复习引入】

⑴在初中,我们学习过的整数指数幂是怎样定义的？即an=?a0=?a-n=?

a0=

an=1a-n=(a≠0,n∈N*).（a≠0）(n∈N*)答：零的零次幂没有意义零的负整数次幂没有意义

(2)整数指数幂的运算性质是：

①am·an=am+n(m,n∈Z)

②(am)n=amn(m,n∈Z)；

③(ab)n=an

bn(n∈Z).注意：

①--③都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.【练一练】1.回答下列各题（口答）：①a2·a3=②(b4)2=③(m·

n)3=.a5b8m3×n31.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的

；2.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的

.

一般地，如果一个数的n（n>1,n∈N*）次方等于a，那么这个数又叫做什么呢？

叫做a的n次方根平方根立方根平方根立方根例如，若32=9，则3是9的

；若53=125，则5是125的

.答：【想一想】1.根式的概念

一般地，如果一个数的n次方（n>1,n∈N*）等于a，那么这个数叫做a的n次方根.式子叫做根式，其中

n叫做根指数，a叫做被开方数

注意：若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N*.也就是说：当n是奇数时，实数a的n次方根用符号表示；当n是偶数时，正数a的n次方根用符号±表示.

【练一练】1、填空：

(1)27的3次方根表示为

，(2)－32的5次方根表示为

,

(3)a6的3次方根表示为

；(4)16的4次方根表示为

，概念的理解（1）、25的平方根是________（2）、27的立方根是________（3）、--32的五次方根是_____（4）、16的四次方根是_______（5）、a6的三次方根是________（6）、0的七次方根是_______⒉方根的性质奇次方根的性质：

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.

偶次方根的性质：

在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义.

0的任何次方根都是0，记作=0.

例1、求下列各式的值问题：（1）、的含义是什么？结果呢？（2）、的含义是什么？结果呢？三、根式的运算性质：用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.()3=，()5=,()2=43

|-3|=3-2

2

27-32【课堂练习】1、下列根式的值为：2、求下列各式的值：|-10|

＝10|3-|=-3|a-b|=a-b(a>b)解：3.化简下列各式：⑴⑵⑶⑷⑸

－294.计算解：当n是奇数时，原式=（a-b）+（a+b）=2a.当n是偶数时,原式=所以,n是奇数n是偶数5。化简6。求值⑴.当n为任意正整数时，()n=a;⑵.当n为奇数时，=a；

当n为偶数时，=|a|=;⑶.（a≥0）.

【小结】作业：2：已知:3a=2，3b=5.则32a-b=_____1：3：化简：4：求的值§3.3.2指数函数规定正数的正分数指数幂的意义：规定正数的负分数指数幂的意义：0的正数次幂等于0，0的负数次幂无意义，0的0次幂无意义。①am·an=am+n(a>0,m,n∈R)；②(am)n=amn

(a>0,m,n∈R)；③(ab)n=anbn(a>0,b>0,n∈R);④am÷an=am-n(a>0,m,n∈R)；⑤(a/b)n=an/bn(a>0,b>0,且n∈R).性质：题型一将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。

2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3、要熟悉运算性质。题型二分数指数幂求值，

关键先求a的n次方根题型三分数指数幂的运算1、系数先放在起运算。2、同底数幂进行运算，乘的指数相加，除的指数相减。2.100例4计算例5计算题型四根式运算，先把每个根式用分数指数幂表示；题目便转化为分数指数幂的运算。注意：结果可以用根式表示，也可以用分数指数幂表示。但同一结果中不能既有根式又有分数指数幂，并且分母中不能含有负分数指数幂。例1：化简2。1。例2：化简1。2。计算1。2。题型五利用代数公式进行化简：例1：化简例2：237183、化简：解：原式=4、已知x

－3+1=a，求a2

－2ax

－3+x

－6

的值。解法一：a2－2ax－3+x－6

=(x－3+1)2－2(x－3+1)x－3+x－6=x－6+2x－3+1－2x－6－2x－3+x－6=1解法二：由x

－3+1=a得x－3=a－1x－6=(x－3)2=(a－1)2故原式=1由题a－x

－3=1原式=(a－x

－3)2解法3：=1=a2－2a2+2a+a2－2a+1=a2－2a(a－1)+(a－1)2

a2－2ax－3+x－6

学生练习：化简与求值：（1）（2）(a2

－2+a

－2)÷(a2

－a

－2)（3）已知，求的值题型六分数指数幂或根式中x的定义域问题。例：求下列各式中x的范围测试题

1.

已知那么x等于

（A）8（B）（C）（D）2.对任意实数a,下列等式正确的是（A）（B）（C）（D）

3.6.已知,其中a>0，,将下列各式分别用u表示出来：（1）（2）5.4.9.设求的值

10.

已知且a>0，

求的值．

7.8.11.12.对数学习目标什么是对数?学会指数和对数互化.对数的公式有那些?利用对数的公式计算引例:假设1995年我国的国民生产总值为1亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？对数的概念:一般地，如果a（a>0且a1）的b次幂等于N,

就是ab=N，那么数b叫做a为底N的对数，记作logaN=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。ab=N底数:a>0且a1幂:N>0指数:bRlogaN=b底数:a>0且a1真数:N>0对数性质:(1)负数与零没有对数;(2)1的对数是0;即loga1=0(3)底数的对数是1,即logaa=1(4)两个特殊对数：

以无理数e（e=2.71828‥‥‥)为底的对数叫做自然对数，N的自然对数记作lnN.以10为底的对数叫做常用对数，即N的常用对数记作lgN；指数式与对数式的互化:例1:将下列指数式写成对数式：

（1）54=625（2）；（3）3a=27；（4）

．例2．将下列对数式写成指数式：（1）；

（2）；

（3）；（4）

例3:求下列各式的值:(1)log749=____(2)lg100=________(3)log0.351=____(4)(5)log=________(6)lne=_______(8)(9)log2(sin300)=_______积、商、幂的对数运算法则：如果a>0，a1，M>0，N>0

有：证明：①设由对数的定义可以得：∴MN=即证得上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。①简易语言表达：“积的对数=对数的和”……②有时逆向运用公式③真数的取值范围必须是④对公式容易错误记忆，要特别注意：其他重要公式1:证明：设由对数的定义可以得：∴即证得其他重要公式2:证明：设由对数的定义可以得：即证得这个公式叫做换底公式其他重要公式3:证明:由换底公式取以b为底的对数得：还可以变形,得例4

计算（1）（2）讲解范例

解

:=5+14=19解

:讲解范例

（3）解

:=3例5

讲解范例

解（1）解（2）

用表示下列各式：（1）例6计算：讲解范例

解法一：解法二：（2）例3计算：讲解范例

解：练习

（1）（4）（3）（2）求下列各式的值：对数定义：一般地，如果a（a>0且a1）的b次幂等于N,

就是ab=N，那么数b叫做a为底N的对数，记作logaN=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。性质:(1)负数与零没有对数;(2)1的对数是0;即loga1=0(3)底数的对数是1,即logaa=1(4)小结:积、商、幂的对数运算法则：如果a>0，a1，M>0，N>0

有：其他重要公式:预习提纲对数函数?对数函数的图象?对数函数的性质?

对数函数一定义：函数y=logax(a>0,a≠,定义域是(0,+，叫对数函数。判断：以下函数是对数函数的是（）Ay=log2(3x-2)By=log(x-1)xCy=log1/3x2Dy=lnx二.对数函数的图象:1.描点画图.的变量x,y的对应值对调即可得到y=logax(0<a≠1)的变量对应值表.注意只要把指数函数y=ax(0<a≠1)xY=log2x……1/81/41/21248……-3-2-10123xY=log1/2x…………-31/81/41/21248-2-10123xY=log10x…………0.10.3211.785.6210-1-1/201/41/21xyo12345678123-1-2-3Y=log2x-1112345678910xyY=log10x-1112345678910xyxyo12345678123-1-2-3Y=log1/2x因为指数函数y=ax(0<a≠1)与对数函数2.利用对称性画图.y=logax(0<a≠1)的图象关于直线y=x对称.

XYO112233445567Y=log2xY=XY=2x-1-1-2●●●●●●●●●●OXY123456789123-1-2-3Y=log2xY=lgxY=log1/2x三.对数函数的性质:观察图象,总结性质.a>10<a<1图象性质x>0x=1时,y=0x>1时,y>00<x<1时,y<00<x<1时,y>0x>1时,y<0在(0,+上是增函数在(0,+上是减函数x1YOY=logaxxYO1Y=logax其它性质：（1）随着底数a的增大，图象在同一象限内的位置按顺时针转。（2）y=logax与y=log1/ax的图象关于x轴对称。（3）对数函数是非奇非偶函数。

例一:求下列函数的定义域:(1)y=logax2(2)y=loga(4-x)解:(1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的定义域为-(0,+

(2)因为4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为(-4)

(3)y=log(x-1)(3-x)(4)y=log0.5(4x-3)(3)因为3-x>0x-1>0x-1≠所以1<x<3,x≠2即函数y=log(x-1)(3-x)的定义域为(1,2)(4)因为4x-3>0log0.5(4x-3)0x>3/44x-3≤定义域为(3/4,1]例2:比较下列各组中两个值的大小:

(1)log23,log23.5(2)log0.71.6,logo.71.8解:(1)考察对数函数y=log2x,因为2>1,3<3.5所以log23<log23.5(2)考察对数函数y=log0.7x,因为0.7<1,1.6<1.8所以

log0.71.6>log0.71.8思考题比较大小:(1)log35和log45

(2)log35和log0.50.6

小结

(2)对数函数的图象和性质.(3)性质的应用.(1)对数函数的定义.注意（2）看见函数式想图象，结合图象记性质。(1)类比记忆指数函数和对数函数。

1.

反函数定义域

A值域

C定义域

C值域

A确定唯一确定唯一yxyx方法：反解

逆运算反函数概念2.求反函数反函数概念2.求反函数交换

x，y.复习91

2.

互为反函数的函数图象间的关系xy0y=xy=2x+1函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称若函数y=f(x)的图象上有点（a,b),则反函数y=f-1(x)的图象上必然有点（b,a)

·(a,b)·(b,a)复习?互为反函数的图象关于什么对称？?互为反函数的图象上，对称点的坐标有什么关系？提供了画反函数图象的一种方法。92

3.

指数式与对数式的关系底数底数指数对数幂真数可互化

b叫以a为底N的对数简记复习93指数式与对数式的互换例如复习94

1.

指数函数的反函数是什么？定义域是（-∞，+∞）值域是（0,+∞)