五章正弦稳态电路

第五章正弦稳态电路第一节正弦量的基本概念第二节正弦量的相量表示法第三节电阻元件伏安关系的相量形式第四节电感元件伏安关系的相量形式第五节电容元件伏安关系的相量形式第六节基尔霍夫定律的相量形式第七节R、L、C串联电路及复阻抗第八节R、L、C并联电路及复导纳第九节无源二端网络的等效复阻抗和复导纳第十一节正弦电流电路的分析计算第十二节正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率第十三节二端网络的功率第十四节功率因数的提高及有功功率的测量第十五节串联电路的谐振第十六节并联电路的谐振一、交流电的概念如果电流或电压每经过一定时间（T）就重复变化一次，则此种电流、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：u(t)=u(t+T)TutuTt§5.1正弦量的基本概念二、正弦交流电路:

如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。正弦交流电的优越性：便于传输；便于运算；有利于电器设备的运行；

.....1、正弦交流电的方向:

正弦交流电也有正方向,一般按正半周方向假设。iuR实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反ti

交流电路进行计算时，首先也要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。2、正弦波的特征量:i ：

电流幅值（最大值）

：

角频率（弧度/秒）：

初相角特征量:正弦波特征量之一——幅度为正弦电流的最大值最大值电量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。交流直流热效应相当有效值概念电量必须大写如：U、I有效值则有（均方根值）可得当

时，问题与讨论

若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路上?

电器~220V最高耐压=300V有效值U=220V最大值Um

=220V=311V

电源电压

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。正弦波特征量之二——角频率

iT描述变化周期的几种方法：

1.周期T：变化一周所需的时间单位：秒，毫秒..2.频率f：每秒变化的次数单位：赫兹，千赫兹...3.角频率ω：每秒变化的弧度单位：弧度/秒小常识*电网频率：中国50Hz

美国、日本60Hz*有线通讯频率：300-5000Hz

*无线通讯频率：

30kHz-3×104MHz正弦波特征量之三——初相位：正弦波的相位角或相位。：t=0时的相位，称为初相位或初相角。i说明：给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。

两个同频率正弦量间的相位差(初相差)

ti

概念

：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。矢量长度

=

矢量与横轴夹角=

初相位ω矢量以角速度

按逆时针方向旋转ωu§5.2正弦量的相量表示法

3.相量符号包含幅度与相位信息。有效值1.描述正弦量的有向线段称为相量(phasor)。若其幅度用最大值表示，则用符号：最大值相量的书写方式2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：

落后于领先

落后？正弦波的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量表示。相位：幅度：相量大小设：同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。例2：同频率正弦波相加

--平行四边形法则注意：

1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。新问题提出：

平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。

相量复数表示法复数运算相量的复数表示ab+1将复数放到复平面上，可如下表示：欧拉公式代数式

指数式

极坐标形式ab在第一象限设a、b为正实数在第二象限在第三象限在第四象限相量的复数运算1.加、减运算设：则：2.乘法运算设：则：设：任一相量则：90°旋转因子。+j逆时针转90°，-j顺时针转90°说明：3.除法运算设：则：复数符号法应用举例解：例1：已知瞬时值，求相量。已知:

求：i、u

的相量

220100求：例2：已知相量，求瞬时值。

已知两个频率都为1000Hz的正弦电流其相量形式为：解：波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法

Ti提示计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写+“.”最大值

---大写+下标正误判断？瞬时值复数瞬时值复数已知：正误判断？？有效值j45则：已知：正误判断？？则：已知：？正误判断最大值一、电阻电路uiR根据

欧姆定律

设则§5.3电阻元件伏安关系的相量形式1.频率相同2.相位相同3.

有效值关系：二、电阻电路中电流、电压的关系4.

相量关系：设

则

或2.平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值

大写

uiR一、电感电路

基本关系式：iuL设则§5.4电感元件伏安关系的相量形式二、电感电路中电流、电压的关系

1.频率相同

2.相位相差

90°

（u

领先

i

90

°）iu设：3.有效值感抗（Ω）定义：则：4.相量关系设：则：u、i相位不一致！三、电感电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息？领先！感抗（XL=ωL

）是频率的函数，

表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。ωXLω=0时XL=0四、关于感抗的讨论u+_LR直流U+_R基本关系式:设：一、电容电路uiC则：§5.5电容元件伏安关系的相量形式

1.频率相同2.相位相差90°（u落后

i

90°

）二、电容电路中电流、电压的关系iu3.有效值或容抗（Ω）定义：则：I

4.相量关系设：则：三、电容电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息领先！U+-ωu+-四、关于容抗的讨论直流

是频率的函数，

表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。容抗ω＝0时已知：

C＝1μF求：I、i例uiC解：电流有效值求电容电路中的电流瞬时值i领先于u90°电流有效值电路参数基本关系复阻抗L复阻抗电路参数基本关系C电路参数R基本关系复阻抗小结电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、基尔霍夫定律

。uLiuRuRL§5.6基尔霍夫定律的相量形式

电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、基尔霍夫定律。RL在电阻电路中：正误判断？？？瞬时值有效值在电感电路中：正误判断？？？？？单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系若则一、电流、电压的关系uRLCi§5.7

R、L、C串联电路及复阻抗总电压与总电流的关系式相量方程式：则相量模型RLC设（参考相量）二、R-L-C串联交流电路——相量图先画出参考相量相量表达式：RLC电压三角形Z：复阻抗实部为阻虚部为抗容抗感抗令则三、R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律复数形式的欧姆定律RLC

在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。

是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。

Z说明：RLC

在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。单一参数电路中复数形式的欧姆定律电阻电路电感电路电容电路复数形式的欧姆定律四、关于复阻抗Z

的讨论由复数形式的欧姆定律可得：结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。1.

Z和总电流、总电压的关系2.

Z

和电路性质的关系

一定时电路性质由参数决定当

时，

表示u

领先i－－电路呈感性当时，

表示u、i同相－－电路呈电阻性当

时，表示u

落后i

－－电路呈容性阻抗角RLC假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能！

当ω不同时，可能出现：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC。3.阻抗（Z）三角形阻抗三角形4.阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似导纳的概念设:则:电导电纳导纳适合于并联电路的计算,单位是西门子(s

)。导纳§5.8R、L、C并联电路及复导纳

§5.9无源二端网络的等效复阻抗和复导纳一、简单串并联电路Z1Z2iZ1Z2Z1Z2iZ1Z2Y1、Y2

---导纳Y1Y21、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图3、用复数符号法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式

在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下：

§5.11正弦电流电路的分析计算例1解题方法有两种：1.利用复数进行相量运算2.利用相量图求结果下图中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的读数AAB

C25UOC1解法1:利用复数进行相量运算已知：I1=10A、

UAB=100V，则：A读数为10安求：A、UO的读数即：设：为参考相量，AAB

C25UOC1UO读数为141伏求：A、UO的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，AAB

C25UOC1解法2:利用相量图求解设：45°由已知条件得：、领先90°45°落后于I=10A、UO=141V由图得：求：A、UO的读数已知：I1=10A、UAB=100V，UC1=IXC1=100VuC1落后于

i90°AAB

C25UOC1例2已知：R1、R2、L、C求：各支路电流的大小LC相量模型原始电路LC解法一节点电位法A已知参数：节点方程由节点电位便求出各支路电流：解法二：叠加定理R1R2R1R2+解法三：戴维南定理求、BAZ§5.12正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率一、电阻电路中的功率

uiR1.瞬时功率p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写1.（耗能元件）结论：2.随时间变化3.与

成比例ωtuipωt2.平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值

大写

uiR二、电感电路中的功率1.瞬时功率p

iuL储存能量p<0释放能量+p>0p<0可逆的能量转换过程uiuiuiuiiuL+Pp>0ui

2.平均功率P（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换。3.无功功率QQ

的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。三、电容电路中的功率ui1.瞬时功率p充电p放电放电P<0释放能量充电P>0储存能量uiuiuiuiiuωt

2.平均功率P瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）3.无功功率Q（电容性无功取负值）1.瞬时功率

2.平均功率

P（有功功率）

uRLCi§5.13二端网络的功率总电压总电流u与i

的夹角平均功率P与总电压U、总电流

I

间的关系：

-----功率因数

其中：

在R、L、C串联的电路中，储能元件R、L、C

虽然不消耗能量，但存在能量吞吐，吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：

3.无功功率Q：4.视在功率S：

电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安、千伏安PQ（有助记忆）S注：S＝UI

可用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）视在功率5.功率三角形无功功率有功功率_++_p

设i

领先u，（电容性电路）R、L、C

串联电路中的功率关系iu电压三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RLC正误判断因为交流物理量除有效值外还有相位。

？RLC在R-L-C串联电路中？正误判断而复数阻抗只是一个运算符号。Z不能加“•”反映的是正弦电压或电流，正误判断在Ｒ－Ｌ－Ｃ正弦交流电路中？？？？？正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？？问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，其等效电路及相量关系如下图。

uiRLcosI当U、P

一定时，希望将cos提高P=PR=

UIcos其中消耗的有功功率为：§5.14功率因数提高及有功功率的测量负载iu说明：

由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。功率因数和电路参数的关系RZ例40W白炽灯40W日光灯发电与供电设备的容量要求较大

供电局一般要求用户的

，否则受处罚。

纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载

日光灯

（R-L-C串联电路）常用电路的功率因数提高功率因数的原则：

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。提高功率因数的措施:uiRL并联电容C并联电容值的计算uiRLC

设原电路的功率因数为cosL，要求补偿到cos须并联多大电容？（设U、P

为已知）分析依据：补偿前后P、U不变。由相量图可知：iuRLC呈电容性。呈电感性问题与讨论

功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况:功率因素补偿问题（一）呈电阻性结论：在角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。感性（较小）容性（较大）C

较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？一般情况下很难做到完全补偿（即：）过补偿欠补偿功率因素补偿问题（二）并联电容补偿后，总电路的有功功率是否改变？问题与讨论R定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。<<通过计算可知总功率不变。I、其中功率因素补偿问题（三）提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？补偿后RL串电容行否补偿前RLC问题与讨论

含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于1，即：u、i

同相，便称此电路处于谐振状态。谐振串联谐振：L与C串联时

u、i

同相并联谐振：L与C并联时

u、i

同相

谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。谐振概念：§5.15串联电路的谐振一、串联谐振串联谐振的条件RLC串联谐振电路、同相若令：则：谐振串联谐振的条件是：谐振频率：

串联谐振的特点U、I

同相当时当电源电压一定时：UC、UL将大于电源电压U注：串联谐振也被称为电压谐振当时，谐振时：、品质因数——Q

值

定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压和总电压之比。谐振时:在谐振状态下,若R>XL、R>XC，Q

则体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。串联谐振特性曲线I谐振电流谐振频率下限截止频率上限截止频率通频带关于谐振曲线的讨论(a)不变，变化。(c)不变，变化。不变，(b)不变，变化。分以下三种情况：谐振曲线讨论（之一）结论：R的变化引起变化

R愈大愈小（选择性差）

R愈小愈大（选择性好）R小R大不变，变化。（1）不变

即LC不变R改变改变（2）分析：（1）不变即U、R不变（2）改变结论：LC的变化引起变化

L变小或C变小

变大

L变大或C变大

变小谐振曲线讨论（之二）不变，变化。谐振曲线讨论（之三）结论：Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。

Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。分析：不变，不变（LC）、R

不变，如何改变或？可以证明：可见与Q

相关。不变，变化。不变，串联谐振时的阻抗特性感性容性串联谐振应用举例收音机接收电路接收天线与C：组成谐振电路将选择的信号送接收电路组成谐振电路，选出所需的电台。为来自3个不同电台（不同频率）的电动势信号；已知：解：如果要收听节目，C应配多大？问题（一）：结论：当C调到150pF时，可收听到

的节目。问题（二）：信号在电路中产生的电流有多大？在C

上产生的电压是多少？已知：解答：所希望的信号被放大了64倍。当时领先于(容性)谐振当时理想情况：纯电感和纯电容并联。当时落后于(感性)§5.16并联电路的谐振或理想情况下并联谐振条件非理想情况下的并联谐振同相时则谐振虚部实部则、

同相虚部=0。