【公开课】成对数据的统计相关性+课件-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章8.1成对数据的统计相关性学习目标1.会画出成对样本数据的散点图.2.会通过散点图判断成对样本数据的相关性.3.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与“标准化”处理后的成对数据两分量向量夹角的关系.4.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.

核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理、数学抽象.新知学习

我们知道，一个人的体重与他的身高有关系.一般而言，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人往往体重值较小.但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素.像这样，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.

探究：在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表8.1-1所示.表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据.

表8.1-1

根据以上数据，你能判断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？编号1234567年龄/岁23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2

编号891011121314年龄/岁53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6为了更加直观地描述上述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征.用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则表中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了如图8.1-1所示的统计图.我们把这样的统计图叫做散点图.观察上图，可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增高的趋势.这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系.图8.1-1如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关.脂肪含量与年龄这两个变量正相关.思考：（1）两个变量负相关时，成对样本数据的散点图有什么特点？

（2）你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗？图8.1-1散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法.观察散点图8.1-1，从中我们不仅可以大致看出脂肪含量和年龄呈现正相关性，而且从整体上可以看出散点落在某条直线附近.一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.图8.1-1观察散点图8.1-2，我们发现：图（1）中的散点落在某条曲线附近，而不是落在一条直线附近，说明这两个变量具有相关性，但不是线性相关；类似地，图（2）中的散点落在一条折线附近，这两个变量也具有相关性，但它们既不是正相关，也不是负相关；图（3）中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

图8.1-2

利用上述方法处理表8.1-1中的数据，得到图8.1-3.我们发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号.显然，这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的.图8.1-3一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如图8.1-4（1）所示；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多，如图8.1-4（2）所示.

图8.1-4（1）

（2）思考：根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？

变形形式

图8.1-5

典例剖析

例1

根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本

相关系数，并推断它们的相关程度.编号1234567年龄/岁23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2

编号891011121314年龄/岁53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6表8.1-1解：先画出散点图，如图8.1-1所示.观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关.根据样本相关系数的定义，图8.1-1

例3在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如表8.1-3所示.编号身高/cm体重/kg臂展/cm

编号身高/cm体重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425

166176176175169184169182171177173173

666149604886585458615851

161166165173162189164170164173165169

体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？解：根据样本数据分别画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图8.1-7（1）和（2）所示，两个散点图都呈现出线性相关的特征.图8.1-7（1）