华中科技大学精品课程-微积分(下)

主要(zhǔyào)内容一.平面(píngmiàn)及其方程二.直线及其方程精品资料设平面上的任一点为一.平面(píngmiàn)方程π1.平面的点法式(fǎshì)方程解:------平面的点法式方程精品资料注:平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为(chēnɡwéi)平面的方程，平面称为(chēnɡwéi)方程的图形．命题(mìngtí)1.平面方程为x,y,z的三元一次方程.解取精品资料所求平面(píngmiàn)方程为化简得一般地,已知不在同一(tóngyī)直线上的三点Mi(xi,yi,zi),则由M1,M2,M3所确定的平面方程为:------平面的三点式方程(留作习题,自己证之)M1M2M3Mn精品资料取法矢量化简得所求平面(píngmiàn)方程为解精品资料由平面的点法式(fǎshì)方程:2.平面(píngmiàn)的一般方程知平面方程为x,y,z的三元一次方程.命题2.任何x,y,z的三元一次方程:均表示一张平面,这里A,B,C不同时为零.(1)精品资料证:(2)由于方程(fāngchéng)(1)和(2)为同解方程(fāngchéng),而方程(fāngchéng)(2)表示过M0且与垂直(chuízhí)的平面,所以方程(1)表示一张平面.我们称方程为平面的一般方程,精品资料平面一般方程的几种(jǐzhǒnɡ)特殊情况：平面(píngmiàn)Ax+By+Cz=0通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；类似地可讨论

情形.yoz平面.类似地可讨论A=B=0,A=C=0情况.精品资料设平面(píngmiàn)为由平面(píngmiàn)过原点知所求平面方程为解精品资料设平面(píngmiàn)为将三点(sāndiǎn)坐标代入得解3.平面的截距式方程精品资料将代入所设方程(fāngchéng)得------平面(píngmiàn)的截距式方程精品资料设平面(píngmiàn)为由所求平面(píngmiàn)与已知平面(píngmiàn)平行得（向量平行的充要条件）解精品资料化简得令代入体积式所求平面(píngmiàn)方程为精品资料定义(dìngyì)（通常(tōngcháng)取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.4.两平面的夹角交线L0L2L1精品资料按照两向量(xiàngliàng)夹角余弦公式有------两平面(píngmiàn)夹角余弦公式两平面位置特征：//精品资料例6研究以下(yǐxià)各组里两平面的位置关系：解两平面(píngmiàn)相交，夹角精品资料两平面(píngmiàn)平行两平面平行(píngxíng)但不重合．两平面平行两平面重合.精品资料例7平面(píngmiàn)通过z轴且与求它的方程(fāngchéng).解或或精品资料解5.平面外一点(yīdiǎn)到此平面的距离作矢量(shǐliàng)P1P0,则作与n方向一致的单位矢量n0,则π精品资料精品资料------点到平面距离(jùlí)公式由此可解释(jiěshì)平面方程中D的含义.为原点到平面的距离.精品资料定义(dìngyì)空间直线可看成(kànchénɡ)两平面的交线．二.空间直线方程1.空间直线的一般方程Lπ1π2设平面π1、π2的方程分别为：当精品资料------空间(kōngjiān)直线的一般方程L:注：2.空间(kōngjiān)直线的点向式方程（对称式方程）设------方向矢量则直线L唯一确定，下面求L的方程.精品资料xyzoLM0M解:方向(fāngxiàng)矢量------直线(zhíxiàn)的点向式方程------直线(zhíxiàn)的对称式方程或------直线的矢量方程.其中t为参数...精品资料注:10直线(zhíxiàn)对称式方程也可以用直线(zhíxiàn)的一般方程来表示.20若l,m,n中有为零的,如l=0,m≠0,n≠0,则方程(fāngchéng)为如此等等.30称l,m,n为L的一组方向数.方向矢量的余弦称为直线的方向余弦.*精品资料例8用对称式方程表示(biǎoshì)直线解在直线上任取一