理论力学-第2章-基本力系

2基本力系§2-1汇交力系的合成现实生活中往往有许多力的作用线汇交于一点。我们把这样的力系称为汇交力系。几何法设F1、F2、F3和F4为一组汇交力系作用于刚体上。xyzF1F2F3F4F1F2F3F4R12R123RabcdeF3R12F3R12F3R12R123R123R123R123F4F4F4F4称多边形abcde

为力多边形，R为封闭边。R=R123+F4=R12+F3+F4=F1+F2+F3+F4

推广得： R

=F1+F2+…FN=ΣFiOxyz

ijkXiFiFi=X

ii+Y

ij+Z

ikR=F1+F2+…+FN=ΣF

i=(ΣXi)i+(ΣY

i)j+(ΣZ

i)k又由

R=Rxi+

Ryj+Rz

k得：Rx=ΣX

i;

Ry

=ΣY

i;Rz=ΣZi显然，合力的大小方向余弦

cos(R

,i)=R

x/R;

cos(R

,

j)=R

y/R;

cos(R

,

k)=R

z/R

R

=把空间中的力Fi向三个坐标轴投影，

分别为Xi、Y

i和Zi。XiZiYiZiYiXiZiYi解析法Oxyz§2-2汇交力系的平衡条件F1F2F3F1F2F3R12abcdF4R123F4设F1、F2、F3和F4为作用于刚体上的一组汇交力系，使刚体平衡。由二力平衡条件知：要使刚体保持平衡，需满足

R123+

F4=0又因为R123=F1+F2+F3所以R=R123+

F4=F1+F2+F3+F4=0a力多边形自行封闭了。O汇交力系平衡的解析条件：ΣX

i=0;ΣY

i=0;Σ

Zi

=0推广前述的证明可得汇交力系平衡的充要条件：

R

=F1+F2+…+FN=0即

ΣF

i=0汇交力系平衡的几何条件：

力多边形自行封闭。

结论由

R

==0ABFhRαOP图示石磙重P=20kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m。求（1）水平力F=5kN时磙对地面和对障碍物的压力；（2）欲将磙拉过障碍物F

沿什么方向拉最省力，此力为多大？例2-1解：(1)首先受力分析cosα

=(R-h)/R

=0.866故α=30°再画力多边形

(见后续）FAFB按比例量得：

FA=11.4kN，FB=10kNFPαPαFFFBFminFmin

=Psinα=P/2=10kN(2)例2-1（续）FFFFBFAFB对于手算，在列平衡方程时，往往将第一个投影量作为正投影。对以后的投影量则认为：与第一个量方向同，取正号，否则，取负号。ABCEDααβP∑Z=0，Scosβ+P’=0 S=-P’/cosβ=-1414N∑X=0，TCsinα-TDsinα=0 TC=TD∑Y=0，TC

cosα+TD

cosα+Ssinβ=0

TC

=Ssinβ/(2cosα)=559

NzxyTCSP’例2-2重为P

的物体受无重杆AB和绳索AC、AD

的支承（ACD位于同一水平面内）。已知P=1000N,β=45°,CE=ED=12cm，EA=24cm，求绳索的拉力和杆所受到的力。解：以节点A为研究对象，取坐

标轴如图TDSTCTDS受力分析，假定AB杆受拉P’P’TDTCxyO平面汇交力系的特殊情形1、力在轴上的投影

根据力在某轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。对于正交轴Oxy，有

F=Xi+Y

j必须注意，力在轴上的投影X、Y

为代数量（力与轴间的夹角为锐角时，其值为正），而力沿两轴的分量是矢量。在两轴相互不正交时，分力在数值上不等于投影。2、平面问题的平衡条件∑X=0，∑Y=0事实上，两坐标轴并不要求一定相互垂直，只要两轴不平行即可。（思考）XYFyFxF分力投影XYFyFx分力投影求图示结构支座A、B的反力。

各杆的自重忽略，且∠

ABC=∠BAC=30

。例2-3CABPFFBFA解：法一，取坐标轴如图并做受力分析∑X=0,FAcos30°－FB

cos30°+F=0∑Y=0,(FA+FB

)Sin30°－P=0yxFBFAFBFAFBFA联立求解，便可解出FA

和FB（这里暂不解）

CABPFFBFA例2-3续法二，取坐标轴如图x∑X=0,FB

cos30°－Pcos30°－Fcos60°=0∑Y=0,

FA

cos30°+Fcos60°－Pcos30°=0y显见，x

和y

轴并不相互正交，而求解反而方便了。§2-3力对点的矩nO1.

力对刚体的转动效应用力对点的矩来度量

a.平面力系的力对同平面中的点之矩hOABF假设力作用在图示平面内，且O点也在此平面内，则力F对O点的矩为

MO

(F

)=±Fh

或：

MO

(F

)=±2△OAB

力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。

O——称为矩心

h——称为力臂单位：Nm或kNmhOABhOABhOABrFFnnnnhABMO(F)rhABMO(F)r空间力系中力对点的矩需用矢量表示：hABOzxyMO(F)矩的矢量记作MO(F)，且

MO

(F)=

r×F——定位矢量b.空间力系中的力对点的矩2）矢量的方位与力和矩心组成的平面的法向同，矩心为矢起端；3）矢量的指向确定了转向，按右手法则。r1）矢量的模等于力矩的大小；hABMO(F)r显然|M

O(F)|=Fh=2△OABF见后续力对点的矩为零的条件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r

与F

共线，即力通过矩心；2）F=0力对点的矩采用行列式可得如下形式：由：

r

=xi+y

j+zk

和

F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k2.

合力矩定理设r

为矩心到汇交点的矢径，R

为F1、F2、…、Fn的合力，即：R

=F1+F2+…+Fn

可得：MO

(R)=r×R=r×(F1+F2+…+Fn

)

=r×F1+r×

F2

+…+r×Fn

=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO

(F

n

)也就是：汇交力系的合力对点的矩等于该力系所有分力对同一点的矩的矢量和。证：§2-4力偶理论1.力偶与力偶矩力偶——由两个等值、反向且不共线的平行力系组成。记作（F，F

’）这一矢量称作力偶矩矢1）其长度表示力偶矩大小；dFF’BA两个力组成的平面称

力偶作用面两个力间的垂距

d称为

力偶臂空间力系因力偶作用面的方位可能各不相同，故把力偶用矢量表示。M2）方位与作用面法方向方位n同。3）指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。nMdddMnMMnMMnM按前述的力偶三要素可知，力偶矩矢可以平行搬移，且不需确定矢的初端位置。为进一步说明力偶矩矢为自由矢，显示力偶的等效性质，可以证明：ndFF’BAMnM∵F=-F’显见力偶矩的大小为M为自由矢M为自由矢M为自由矢M为自由矢Oa.力偶矩矢是自由矢力偶对空间任一点的矩都相等，即等于力偶矩矢。证：如图求力偶（F，F’）对任意点，如O

点的矩。画出O点到二力作用点A、B的矢径所以，力偶对空间任意点的矩矢与矩心无关。b.平面力偶系的力偶若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一平面内，则称为平面力偶系。FF’BACd将平面力偶系的力偶记作M(F,F’)，简称

M

。力偶矩为代数量

即：M=±Fd=±2△ACB一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。预备知识（两平行力的合力）前面已经证明了力偶矩矢为自由矢，后面将再从另一个角度说明力偶的性质，使同学们有一个较直观的理解。为此，先看看两平行力的合力。以一对大小相等且同向的平行力为例。两个方向相反的平行力有合力吗？作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等，则此二力偶等效。——力偶等效定理2.力偶的性质性质一证：分两部分加以证明（1）力偶作用面可平行移动而不改变力偶对刚体的效应。（2）在同平面内的两力偶，若力偶矩相等，

两力偶对刚体的作用彼此等效。等效eabdc证：设==-Fd力的作用线分别相交于a、b两点，等效地移至a、b两点，力=-2△acb∵两三角形同底等高∴△aeb=△acb

得：=-Fd=的力偶臂也为d∴

F1=F将

=-2△aeb和分别分解性质一的实质（1）力偶在其作用面内只要力偶矩不变（即力与力偶臂的积不变），它就可以随意的转移，也可以增大力的同时减小力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂），不改变它对刚体的作用效应。（2）力偶的作用面可以随意平行搬移，不改变它对刚体的作用效应。性质一实质的图解不同平面力偶等效

平行搬移性质二

力偶不能与一个力相平衡。证：用反证法。即假设平衡力存在。1、平衡力与力偶作用面平行。由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使三力有两个交点，这与平衡汇交定理相矛盾。2、平衡力与力偶作用面不平行。仍由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使力偶中的一个力与所谓的平衡力合成为一个大小及方位都与力偶的另一个力不同的力,这与二力平衡原理相矛盾。性质三 力偶没有合力。证：

仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质二矛盾。

性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效而不能与单个力等效。力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡3.力偶系的合成任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=

M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2RBABA证：

设有n个力偶，由性质一,总可得到两个汇交力系，汇交点分别为A和B。证毕。4.力偶系的平衡条件在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。

M=M1+M2+…+Mn

=∑Mi由合成结果可知：力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。平面力偶系平衡条件：三铰刚架由两直角刚架组成，AC部分上作用一力偶，其力偶矩为M，自重不计，且a:c=b:a，求A、B支座的反力。例2-4MACMbcaACBCBAC为对象，∑M=0,考虑CB部分为二力构件，得：解： 由

a:c=b:a知：AC⊥CB，受力分析CBA图示机构自重不记。圆轮上的销子A放在摇杆

BC上的光滑导槽内。M

1=2kNm，OA=r=0.5m。图示位置OA⊥OB，α=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩M

2及O、B支座的反力。αAOα例2-5M2M

1αBACαBACOrM2M1解：受力分析ABAO

先以轮为对象，∑M=0，M1-FArsinα=0M2αBACαAOαM

1再以摇杆为研究对象，由力偶平衡条件∑M=0，M2=4M1=8kNmM

1=2kNm，OA=r=0.5m本章小结1、汇交力系的合力（1）几何法求合力

R=F1+F2+…FN=Σ

Fi（2）解析法求合力方向余弦

cos(R,

i)=Rx/R

cos(R,

j)=Ry/R