第7章自由曲线与曲面-2

第四章自由曲线与曲面（二）2Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司P.E.Bezier工程师以“逼近”为基础UNISURF系统1972年雷诺汽车公司正式使用3Bezier曲线（1/19）Bezier基函数--Bernstein多项式的定义三次Bézier曲线的四个混合函数

4Bezier曲线（2/19）Bernstein基函数的性质正性权性对称性降阶公式升阶公式5Bezier曲线（3/19）导数积分最大值在t=i/n处取得最大值线性无关性是n次多项式空间的一组基6Bezier曲线（4/19）Bezier曲线的定义n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线控制顶点控制多边形P0P1P2P37Bezier曲线（5/19）Bezier曲线的性质端点位置这说明,Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点.P0P1P2P3端点切矢量将伯恩斯坦式对t求导.8在对曲线参数方程求导910Bezier曲线（6/19）导数曲线P0P1P2P3一阶导矢:对于三次Bezier曲线，n=3，有P’(0)=3(P1-P0)P’(1)=3(P3-P2)它说明Bezier在始点和终点处的切线方向与特征多边形的第一条边和最后一条边的走向一致。二阶导矢:当t=0时当t=1时11二阶导失只与相邻的3个顶点有关。事实上，r阶导失只与r+1个相邻点有关，与更远点无关。1213Bezier曲线（7/19）对称性不是形状对称保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒，曲线形状保持不变假如保持n次Bézier曲线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为i的点改为下标为n-i的点，则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。这一性质可证明如下：由伯恩斯坦多项式可以导出：记次序颠倒以后的顶点为，则有此时，设新的Bézier曲线为,则14令n-i=k,则i=n-k,且i=0时，k=n及i=n,k=0，所以

再将k换成i,则又因为所以

16Bezier曲线（8/19）凸包性点集的凸包包含这些点的最小凸集Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内17Bezier曲线（10/19）几何不变性曲线的形状仅与特征多边形各顶点的相邻位置有关，而与坐标系的选择无关。平面曲线的变差缩减性若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与曲线的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数。此性质反映了曲线比其特征多边形的波动要小，也就是说比特征多边形的折线更光顺。18Bezier曲线（11/19）二次Bezier曲线n=2，有3个控制点抛物线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)19说明二次曲线为抛物线，其矩阵形式为20Bezier曲线（12/19）三次Bezier曲线n=3P0P1P2P3P(0)P(1)21Bezier曲线（13/19）三次Bezier曲线的矩阵表示22Bezier曲线（14/19）递推公式--DeCasteljau算法计算过程几何解释例。利用Bezier的定比分割方法绘制三次Bezier曲线。令u=0.5,并验证你的分割方法是正确的。设由P0,P1,P2,P3控制生成的一条三次Bezier曲线可在u=1/2处分段，分成的两端均为三次Bezier曲线，它们由各自的控制点控制。取P0P1的中点P4，P1P2的中点P5，P2P3的中点P6，P4P5的中点P7，P5P6的中点P8，P7P8的中点P9。则P4=（P0+P1）/2;P5=(P1+P2)/223P6=(P2+P3)/2;P7=(P4+P5)/2=P0/4+P1/2+P2/4;P8=(P5+P6)/2=P1/4+P2/2+P3/2;P9=(P7+P8)/2=P0/8+3P1/8+3P2/8+P3/8下面来说明P9在由P0、P1、P2、P3确定的三次Bezier曲线上，且为u=1/2时的P（1/2），这只需将u=1/2代入P(t).24接着我们还需证明，P(u)(0≤u≤1/2)即为点P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲线，而P(u)(1/2≤u≤1)即为点P9、P8、P6、P3控制生成的Bezier曲线.设由P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲线为：将P0、P4、P7、P9代入在曲线P(u)(0≤u≤1/2)中，令u=t/2,则得同理可证通过上述的分割，我们获得折线P0P4P7P9P8P6P3它比折线P0P1P2P3更接近曲线，且P9在曲线上，继续对由P9分成的两段曲线作分割，除获得更接近曲线的折线外，另外还获得曲线上的两个点，分割次数越多，新的折线越逼近曲线。当达到某种精度时，我们可获得的折线近似地表达Bezier曲线。例：试根据下列给定的条件，分割作图画出有关曲线的形状示意图。已知：图(a)所示三次Bezier曲线的控制多边形，共有4个控制点P0P1P2P3;t=1/2P1P0P3P2例：计算以（30,0），（60,10）,(80,30),(90,60),(90,90)为控制顶点的4次Bezier曲线在t=1/2处的值，并画出decasteljau三角形。由Bezier曲线函数表达式可得：decasteljau三角形：35Bezier曲线（15/19）曲线的拼接为了表达复杂的曲线，通常采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在结合处保持一定的连续条件，下面讨论两段曲线达到不同阶级和连续的条件。给定两条曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0,1,…,n)和Qj(j=0,1,…,n)，且令ai=Pi-Pi-1,bj=Qj-Qj-1,如图，现在讨论如何把两条曲线光滑地连接起来。根据前节内容可以知道：（1）使它们达到G0连续的充要条件是Pn=Q0（2）使它们达到G1连续的充要条件是Pn-1,Pn=Q0,Q1三点共线，即b1=an(>0)(3)使它们达到G2连续的充要条件是在G1连续的条件下，满足方程将

代入并整理，可以得到选择α和β的值，可以利用该式确定曲线段Q(t)的特征多边形顶点Q2，而顶点Q0、Q1已被G1连续条件所确定；要达到G2连续的话，只剩下顶点Q2可以自由选取。

如果上式的两边都减去Pn，则等式右边可以表示为（Pn-Pn-1）和（Pn-1-Pn-2）的线性组合这表明Pn-2、Pn-1、Pn=Q0、Q1和Q2这5点共面。事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致，还可以断定Pn-2和Q2位于Pn-1Q1直线的同一侧。38Bezier曲线（16/19）零阶几何连续条件一阶几何连续条件二阶几何连续条件？三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧39反求控制顶点给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点Bezier曲线（17/19）例：已知Bezier曲线上的四个点分别是(6,0)，(3,0)，(0,3)，(0,6)，它们对应的参数分别是0,1/3,2/3,1，反求Bezier曲线的控制顶点。贝塞尔曲线的函数式为：Bezier曲线的升阶与降阶Bézier曲线的升阶升阶是指保持Bézier曲线的形状与定向不变，增加定义它的控制顶点数，也即提高该Bézier曲线的次数。增加了控制顶点数，不仅增加了对曲线进行形状控制的灵活性，还在构造曲面方面有着重要的应用。对于一些由曲线生成曲面的算法，要求那些曲线必须是同次的，应用升阶的方法可以把低于高次数的曲线提升到最高次数，使所有曲线具有相同的次数。曲线升阶后，原控制顶点会发生变化。下面来计算曲线提升一阶后的新的控制点。设给定原始控制顶点，，…，，定义了一条n次Bézier曲线t∈[0,1]增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为，则有对上式左边乘以，得到比较等式两边项的系数，得到化简即得其中此式说明：新的控制顶点，是以参数值按分段线性插值从原始特征多边形得到的。（1）升阶后的新特征多边形在原始特征多边形的凸包内。（2）特征多边形更靠近曲线三次Bézier曲线的升阶实例如图7-8所示。2）Bézier曲线的降阶降阶是升阶的逆过程。给定一条有原始控制顶点定义的n次Bézier曲线，要求找到一条由新控制顶点定义的n-1次Bézier曲线来逼近原始曲线。假定是由升阶得到的，则由公式有：从这个方程可以导出两个递推公式：和其中第一个递推公式在靠近处趋向生成较好的逼近，而第二个递推公式在靠近处趋向生成较好的逼近。例：构造一条三次Bezier曲线，让它来逼近椭圆在第一象限中的部分，设定椭圆的长短轴分别为a和b(a>b>0)。已知P0(0,b),P1(a,b),P2(a,0).解：因为构造的是三次曲线，它由四个控制点对应，设为Q0,Q1,Q2,Q3，对原控制点进行升阶，根据升阶公式：所以可以得到：Q0(0,b),Q1(2a/3,b),Q2(a,2b/3),Q3(a,0)令Qi(i=0,1,2,3)为控制点，生成三次Bezier曲线：例：给定四次Bezier曲线的控制顶点P0（0,0），P1(0,75)，P2(50,50)，P3(100,25)，P4(100,100)，计算降阶一次后的控制顶点。解：由降阶公式：所以降阶以后的控制点为P0（0,0），P1（0,100），P2（100,0），P3（100,100）49优点：形状控制直观设计灵活Bezier曲线（18/19）50缺点：所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱曲线拼接需要附加条件，不太灵活Bezier曲线（19/19）51B样条曲线（1/17）产生：1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线优于Bezier曲线之处：与控制多边形的外形更接近局部修改能力任意形状，包括尖点、直线的曲线易于拼接阶次低，与型值点数目无关，计算简便B样条曲线的数学表达式首先给出n次B样条函数的表达式为：式中函数称为截尾幂函数，即：下面讨论n=1、2、3时，B样条函数的表达式及图像。当n=1时该函数在各区间的表达式为：M1(x)的图像如图所示，函数在区间(-1,1)被分为两段，每段都是x的一次式，在此区间之外函数值均为0.-111xM1(x)0当n=2时，该函数在各区间的表达式为：M2(x)的图像如图所示，函数在区间(-3/2,3/2)被分为三段，每段都是x的二次式，在此区间之外，函数值均为0.-3/2-1/21/23/20M2(x)3/4当n=3时该函数在各区间的表达式为：M3(x)的图像如图所示，函数在区间(-2,2)被分为四段，每段都是x的三次式，在此区间之外，函数值均为0.-2-1120M3(x)2/3归纳起来，可知n次B样条函数在区间(-(n+1)/2,(n+1)/2)中被分为n+1段，每段都是x的n次式，在此区间之外函数值均为0.在参数表示中，通常将参数t的变化范围取为(0--1)，为此作参数变换t=x-(L-(n+1)/2)，则第L段（L=0,1,2,,，n）的表达式为或用L=n-k代替，则顺序颠倒，得到以t为参数的均匀节点B样条基函数为通常给定m+n+1个顶点，Pi（i0,1,，m+n）以上式为基底定义的n次参数曲线为：称为n次均匀节点B样条第i段曲线，而以i=0,1,,,m所构造的m+1段曲线的全体就称为n次均匀节点B样条曲线依次以线段Pi+l(l=0,1,2,,,n)所组成的多边形称为样条在第i段的B特征多边形。它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性由于n次B样条函数是n-1阶连续。因此整条B样条曲线也是n-1阶连续。在实际应用中，使用最多的是三次B样条曲线，其次是二次B样条曲线，这里我们仅讨论三次B样条曲线代入函数式整理得：上式可以写成矩阵形式三次B样条曲线的性质（1）当t=0时当t=1时，对t求一阶导数对t求二阶导数从上面三组式子可以看出，起点P(0)落在△P0P1P2的中线P1P1*上，离P1三分之一处，终点落在△P1P2P3的中线P2P2*上离P2三分之一处，而两点的切线矢量分别平行于P0P2和P1P3，且长度为其一半，两点处的二阶导数向量等于中线矢量的两倍。P0P2P1P3P4P（0）P（1）P’(0)P’(1)P’’(0)P1*P2*P’’(1)如果在特征多边形中增加一个顶点P4，则P1P2P3P4决定下一段三次B样条曲线段，而新曲线段在起点的信息与前一段终点的信息完全相同，从而说明曲线是二阶连续的。（2）直观性B样条曲线从形状上更逼近特征多边形，所以其形状更为直观。(3)曲线的次数不随顶点数的增减而增减B样条曲线的次数由特征多边形的点数加1而定，但曲线次数的高低取决于对整条曲线的光滑要求，一旦次数确定，每增加一个顶点，只不过是增加一段曲线而已。（4）局部可控性改动曲线上某一点，仅影响曲线的局部形状，通常是该点相邻两侧的曲线形状，不会改变曲线的整体形状。（5）凸包性如果特征多边形是凸的，曲线也一定是凸的。（6）对称性将特征多边形各顶点顺序颠倒过来，曲线仍保持不变，但走向相反。67B样条曲线（4/17）二次B样条n=2抛物线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)68B样条曲线（5/17）三次B样条n=3P(t)B0B1B2B369B样条曲线（6/17）三次B样条的C2连续性如果增加一个控制顶点P4，则前一段曲线是否会受影响？P(t)P470B样条曲线（7/17）特殊外形设计三顶点共线位于控制多边形边上的一个点P0P2P1MP(0)P’(0)P0P2MP1P(0)71B样条曲线（8/17）特殊外形设计四顶点共线含有直线段的曲线P0P3P1P2P(0)M1P(1)M272B样条曲线（9/17）特