高中数学人教A版1相似三角形的判定及有关性质 本讲高效整合

第一讲本讲高效整合一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，梯形ABCD的对角线交于点O，有以下四个结论：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝DC∶AB；④S△AOD＝S△BOC，其中，始终正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：①正确，②③显然错误，又由S△ABD＝S△ABC，故④正确．答案：B2．如图，△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14，AC＝19，则MN的长为()A．2 B．C．3 D．解析：延长BN交AC于D，则△ABD为等腰三角形，∴AD＝AB＝14，∴CD＝5.又M、N分别是BC、BD的中点，故MN＝eq\f(1,2)CD＝.答案：B3．若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21cm，A．24cmC．19cm解析：设其余两边的长度分别为xcm，ycm，则eq\f(21,7k)＝eq\f(x,5k)＝eq\f(y,3k)，解得x＝15cm，y＝故x＋y＝24答案：A4．如图，在Rt△ABC内画有边长依次为a、b、c的三个正方形，则a、b、c之间的关系是()A．b＝a＋c B．b2＝acC．b2＝a2＋c2 D．b＝2a＝解析：由三角形相似知eq\f(a－b,b)＝eq\f(b－c,c)，得ac－bc＝b2－bc，∴b2＝ac.答案：B5．若D是△ABC的边AB上的一点，△ADC∽△ACB，AD＝5，AC＝6，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是()A．eq\f(3,5)S B．eq\f(4,5)SC．eq\f(5,9)S D．eq\f(11,36)S解析：∵△ADC∽△ACB，∴S△ADC∶S△ACB＝(AD∶AC)2＝25∶36.∵S△ABC＝S，∴S△ACD＝eq\f(25,36)S.∴S△BCD＝S－eq\f(25,36)S＝eq\f(11,36)S.答案：D6.如图，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)的值为()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2解析：过D作DG∥CE交AB于G，则eq\f(BG,GE)＝eq\f(BD,DC)＝eq\f(2,1).又eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，∴AE＝EG，∴eq\f(AF,FD)＝eq\f(AE,EG)＝1.又eq\f(DG,CE)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,3)，EF＝eq\f(1,2)DG，∴eq\f(EF,CE)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(EF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)＝eq\f(3,2).答案：C7．如右图所示，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是()A．6.4米 B．7米C．8米 D．9米解析：由题意，知CD∥BE，∵△ACD∽△ABE，∴eq\f(CD,BE)＝eq\f(AC,AB).∵AC＝2米，BC＝8米，∴AB＝10米．又∵CD＝1.6米，∴eq\f,BE)＝eq\f(2,10).∴BE＝8米．答案：C8．如图所示，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，则图中相似三角形的对数是()A．3对 B．4对C．5对 D．6对解析：△ABD∽△CBE∽△AFE∽△CFD，故有6对．答案：D9．如图，D、E、F、G、H、I是△ABC三边的三等分点，△ABC的周长是l，则六边形DEFGHI的周长是()A．eq\f(1,3)l B．3lC．2l D．eq\f(2,3)l解析：由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE＝eq\f(1,3)BC，同理IH＝eq\f(1,3)AC，GF＝eq\f(1,3)AB，又EF＝eq\f(1,3)AC，GH＝eq\f(1,3)BC，ID＝eq\f(1,3)AB，∴六边形DEFGHI的周长C＝eq\f(2,3)(AB＋AC＋BC)＝eq\f(2,3)l.答案：D10.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于()A．eq\r(2)∶1 B．1∶eq\r(2)C．eq\r(3)∶1 D．1∶eq\r(3)答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．在△ABC中，D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4，则BC＝________.解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.∴BC＝2DE＝8.答案：812．若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50cm，则这两个相似三角形的周长分别为解析：设较大的三角形的周长为xcm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意，得eq\f(50－x,x)＝eq\f(2,3)，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.答案：20cm13．如右图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，∠ADC＝60°，在AD上取点E，使AE∶ED＝2∶1，过点E作EF∥BC，交AB于F，连接CF交AD于P，那么S△EFP∶S△DCP＝________.解析：设AC＝CB＝a，则CD＝eq\f(\r(3),3)a，BD＝a－eq\f(\r(3),3)a＝eq\f(3－\r(3),3)a.∵EF∥BC，∴EF∶BD＝AE∶AD＝2∶3.∴EF＝eq\f(2,3)BD＝eq\f(23－\r(3),9)a.∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(2\r(3)－1,3).又∵△EFP∽△DCP，∴S△EFP∶S△DCP＝(EF∶CD)2＝(16－8eq\r(3))∶9.答案：(16－8eq\r(3))∶914．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于点O，直线AO与DE、BC分别交于N、M，若DN∶MC＝1∶4，则NE∶BM＝________，AE∶EC＝________.解析：eq\f(OD,OC)＝eq\f(DN,MC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(OE,OB)＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(NE,BM)＝eq\f(OE,OB)＝eq\f(1,4)，又eq\f(DE,BC)＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,4)，∴AE∶EC＝1∶3.答案：1∶41∶3三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动(点M与点A、B不重合)，MN∥BC，MN交AC于点N，连结BN.设eq\f(AM,AB)＝x，S△MBN＝y.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴eq\f(S△AMN,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AM,AB)))2，即eq\f(S△AMN,5)＝x2，S△AMN＝5x2，∵eq\f(S△MBN,S△AMN)＝eq\f(BM,AM)＝eq\f(AB－AM,AM)＝eq\f(AB,AM)－1＝eq\f(1,x)－1∴S△MBN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))S△AMN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))5x2＝－5x2＋5x.∴y＝－5x2＋5x(0＜x＜1)．16．(12分)如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝eq\f(10,3)，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.证明：(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝.∴eq\f(CD,CE)＝eq\f,\f(10,3))＝eq\f(3,4)＝eq\f(BC,AC).∴△ABC∽△EDC．(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD．∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.17．(12分)一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数保留)解析：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC，∴BC＝eq\f(2×,＝2(米)设正方形的边长为x米．如图甲，∵DE∥AB，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(CD,CB).∴eq\f(x,＝eq\f(2－x,2)解得x＝eq\f(6,7).如图乙，作BH⊥AC于H，交DE于M，∵AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r＋22)＝eq\f(5,2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BH.∴BH＝eq\f(6,5)，又∵DE∥AC，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BM,BH)，∴eq\f(x,\f(5,2))＝eq\f(\f(6,5)－x,\f(6,5))，即eq\f(2x,5)＝eq\f(6－5x,6)解得x＝eq\f(30,37)，∵eq\f(6,7)＞eq\f(30,37)，∴甲同学的加工方法符合要求．18．(14分)已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB．(1)若点P在梯形内部，如图(1)．求证：BP2＝PE·PF；(2)若点P在梯形的外部，如图(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解析：(1)证明：连接PC，∵MN是梯形ABCD的对称轴，∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠DCB，即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，∴∠ABP＝∠DCP.又∵CE∥AB，∴∠CEF＝∠ABP＝∠DCP.而∠CPE＝∠FPC，∴△CPE∽△FPC．∴eq\f(PE,PC)＝e