高中数学人教B版1第三章导数及其应用 第3章32

3.2.3导数的四则运算法则1．掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则．(重点)2．会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(难点)[基础·初探]教材整理导数的四则运算法则阅读教材P89～P90例1上面内容，完成下列问题．导数的运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝－eq\f(f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．()(3)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．()【答案】(1)×(2)√(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]利用求导法则求导数求下列函数的导数．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝eq\f(x＋3,x2＋3)；(4)y＝xsinx－eq\f(2,cosx)；(5)y＝eq\f(\r(x5)＋\r(x7)＋\r(x9),\r(x))；(6)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).【导学号：25650114】【精彩点拨】解答本题可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求解．【自主解答】(1)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x).(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(3)y′＝eq\f(x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′,x2＋32)＝eq\f(－x2－6x＋3,x2＋32).(4)y′＝(xsinx)′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosx)))′＝sinx＋xcosx－eq\f(2sinx,cos2x).(5)∵y＝eq\f(\r(x5)＋\r(x7)＋\r(x9),\r(x))＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.(6)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)sinx))′＝x′－eq\f(1,2)(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.1．当函数解析式比较复杂时，求其导数一般先对函数解析式进行适当的化简变形，如(2)(5)(6)．2．正确理解和掌握导数四则运算法则和公式的结构特征是准确进行求导运算的前提．[再练一题]1．求下列函数的导函数．(1)f(x)＝(x2＋7x－5)sinx；(2)f(x)＝eq\f(x3＋cotx,lnx)；(3)f(x)＝eq\f(2sinx＋x－2x,\r(3,x2))；(4)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x)).【解】(1)f′(x)＝(x2＋7x－5)′sinx＋(x2＋7x－5)·(sinx)′＝(2x＋7)sinx＋(x2＋7x－5)cosx.(2)f′(x)＝eq\f(x3＋cotx′lnx－x3＋cotxlnx′,ln2x)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,sin2x)))xlnx－x3－cotx,xln2x).(4)y＝eq\f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq\f(1－\r(x)2,1－x)＝eq\f(21＋x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq\f(－41－x′,1－x2)＝eq\f(4,1－x2).求曲线的切线方程求曲线y＝f(x)＝x＋eq\r(x)在点(1,2)处的切线在x轴上的截距.【导学号：25650115】【精彩点拨】解答本题可先运用求导法则求出y′，进而求出y′|x＝1，再用点斜式写出切线方程，令y＝0，求出x的值，即为切线在x轴上的截距．【自主解答】∵y＝f(x)＝x＋eq\r(x)＝x＋xeq\f(1,2)，∴f′(x)＝1＋eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2\r(x))，∴f′(1)＝eq\f(3,2)，∴函数y＝x＋eq\r(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝eq\f(3,2)(x－1)，即3x－2y＋1＝0.令y＝0，解得x＝－eq\f(1,3)，∴切线在x轴上的截距为－eq\f(1,3).根据导数的几何意义，可直接得到曲线上某一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．[再练一题]2．已知函数f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．【解】f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝eq\f(a,x)(x>0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)＝alnx，,\f(1,2\r(x))＝\f(a,x)，))解得a＝eq\f(e,2)，x＝e2，∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k＝f′(e2)＝eq\f(1,2e)，∴切线的方程为y－e＝eq\f(1,2e)(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.[探究共研型]导数的综合应用探究利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以解决哪些问题？【提示】利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．已知函数f(x)＝eq\f(x2,a)－1(a≥0)的图象在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．【精彩点拨】求f′(x)求f(x)在x＝1处的切线方程求切线在两轴上的截距建立面积S关于a的函数关系式求面积的最值【自主解答】∵f′(x)＝eq\f(2x,a)，∴f′(1)＝eq\f(2,a).又∵f(1)＝eq\f(1,a)－1，∴f(x)在x＝1处的切线l的方程是：y－eq\f(1,a)＋1＝eq\f(2,a)(x－1)．∴l与坐标轴围成的三角形的面积为：S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)－1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋2))≥eq\f(1,4)×(2＋2)＝1.当且仅当a＝eq\f(1,a)，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.1．本题属于导数综合题，使用了建模的思想，建立面积函数，并应用基本不等式求函数的最值．2．利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题．这种题目往往使用函数与方程的思想，而解题的切入点是确定切点，求切线方程．[再练一题]3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.【导学号：25650116】【解】根据题意，设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为eq\f(\r(2),2).1．下列四组函数中导数相等的是()A．f(x)＝1与f(x)＝xB．f(x)＝sinx与f(x)＝－cosxC．f(x)＝1－cosx与f(x)＝－sinxD．f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3【解析】由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等．故选D.【答案】D2．曲线y＝f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝x－1 D．y＝x＋1【解析】∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋1，故切线斜率为k＝y′|x＝1＝1.又∵切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y＝x－1.【答案】C3．已知y＝sinx－cosx，则y′＝________.【解析】y′＝(sinx－cosx)′＝(sinx)′－(cosx)′＝cosx＋sinx.【答案】cosx＋sinx4．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．【解析】由y′＝k＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)＝3(x＋1)2＋3≥3，故kmin＝3，设切点(x0，y0)，此时x0＝－1，y0＝－14，∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.【答案】3x－y－11＝05．求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)f(x)＝eq\f(lnx＋2x,x2).【导学号：25650117】【解】(1)f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(2)f′(x)＝eq\b\lc\