河南省平顶山市鲁山县第二中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

河南省平顶山市鲁山县第二中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题，若是真命题，则实数的取值范围是（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D略2.某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：D3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为A.

B.

C.

D.参考答案：D4.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为A．B．C．D．参考答案：A5.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为A． B． C． D．参考答案：B6.已知复数Z满足(i是虚数单位)，则在复平面内，复数Z对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A7.函数的一个零点所在的区间为

A．（0,1）

B．（1,2）

C．（2,3）

D．（3,4）参考答案：B8.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(

)A．B．C．

D．参考答案：A略9.已知各项均为正数的等比数列，，，则

（

）

A．

B．7

C．6

D．参考答案：A略10.右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（▲）

A

B

C

D参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={0,1,2}，全集U={x-y丨x∈A，y∈A}，则CUA=

。参考答案：{-1,2}12.对于，有如下四个命题:

1

若，则为等腰三角形，②若，则是不一定直角三角形③若，则是钝角三角形[来]④若，则是等边三角形。其中正确的命题是

.参考答案：②④对于①，若，或，∴或，则为等腰或直角三角形；对于②，若，则∴，即，则不一定为直角三角形；对于③若，则，∴为锐角，但不能判断或为钝角；对于④若，则，∴，∴，∴，∴是等边三角形．13.在中，角对应的边分别为，，则的面积为

.参考答案：14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于

，.参考答案：

由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。由题意知，，所以第行的公比为，所以15.已知函数则________.参考答案：0因为所以.试题立意：本小题主要考查分段函数；意在考查学生运算求解能力.16.中，，，三角形面积，

参考答案：略17.不等式的解为_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，函数的最小值为．(1）求的解析式；(2）是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由参考答案：（1）由，知，令记，则的对称轴为，故有：①当时，的最小值②当时，的最小值③当时，的最小值综述，

(2）当时，．故时，在上为减函数．所以在上的值域为．由题，则有，两式相减得，又所以，这与矛盾．故不存在满足题中条件的的值．19.已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若．利用直方图得到的正态分布，求。(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．参考数据：．参考答案：（1）

……2分

…………4分(2)(i)由题知，，∴..

……5分.

……7分（ⅱ）由(i)知，

……8分可得,

……10分的数学期望.

……12分21.已知函数．（I）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）与的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先对函数进行求导运算，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减，可求得单调区间．（2）将将函数f（x）的解析式代入，可将问题转化为不等式对于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+后进行求导，根据导函数的正负情况判断函数的单调性进而可得到函数g（x）的最小值，从而得到答案．（3）将函数f（x）与的图象有公共点转化为有解，再由y=lnx与在公共点（x0，y0）处的切线相同可得到同时成立，进而可求出x0的值，从而得到m的值．【解答】解：（Ⅰ）可得．当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当e＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．（Ⅱ）依题意，转化为不等式对于x＞0恒成立令g（x）=lnx+，则g'（x）=当x＞1时，因为g'（x）=＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函数，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的减函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1）．（Ⅲ）转化为，y=lnx与在公共点（x0，y0）处的切线相同由题意知∴解得：x0=1，或x0=﹣3（舍去），代入第一式，即有．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．22.（本小题满分13分）如图,在三棱锥中,底面,点、分别在棱、上,,且.（1）求证：平面；（2）当点为的中点时,求与平面所成角的正切值；（3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.参考答案：(1)证明见解析；(2)；(3)存在点.试题分析：(1)依据题设条件运用空间向量的知识推证；(2)借助题设条件运用空间向量的数量积进行求解；(3)借助题设条件和向量的数量积进行推证求解.试题解析:

（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得,则.设平面的一个法向量为,则,即,不妨设,可得,平面.同理可得平面一个法向量为,由,解得,则,