江西省九江市修水县2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷（解析版）

2021—2022学年度上学期期中考试试题卷九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1.一元二次方程的解是（）A.， B. C. D.，【答案】A【解析】【分析】先移项，然后利用开平方的方法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．2.下列说法中错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直平分C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线相等的菱形是正方形【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质、菱形的对角线的性质、矩形的性质及正方形的判定方法进行判断即可．【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直平分，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确；不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质、菱形的对角线的性质、矩形的性质及正方形的判定方法，难度不大．3.设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（）A.1 B.2021 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵a，b是方程的两个不相等的实数根，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．4.如图，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可.【详解】根据题意画出树状图如下：共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，∴，故选C.【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键.5.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）A.方程有两个相等的实数根 B.方程有一根等于0C.方程两根之和等于0 D.方程两根之积等于0【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；故选：C．6.如图，在菱形中，，，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由题意得：B关于的对称点D，连接交于点P，则就是的最小值，求出即可．【详解】解：连接交于点P，连接，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，，，是等边三角形，，（等腰三角形三线合一的性质），∴为的最小值，在中，，即的最小值是；故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识，确定点P的位置是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.将方程x(x﹣2)=x+3化成一般形式后，二次项系数为____．【答案】1．【解析】【分析】将方程化为一般形式后，根据定义可得答案．【详解】去括号得x2﹣2x=x+3，移项得x2﹣2x﹣x﹣3=0，合并得x2﹣3x﹣3=0，所以二次项系数为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一般形式下各项系数的定义，熟知此概念是解题的关键．8.已知是方程的一个根，则方程另一个根是________.【答案】6【解析】【分析】设方程另一个根为x1，根据根与系数的关系得到-1•x1=-6，然后解一次方程即可．【详解】设方程另一个根为x1，根据题意得-1•x1=-6，所以x1=6．故答案为6．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．9.在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其他都相同．小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是______．【答案】16【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有黄色乒乓球x个，列出方程求解即可．【详解】解：设袋中有黄色乒乓球x个，由题意得，解得：．故答案为：16．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．10.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______．【答案】【解析】【分析】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边为c，利用根与系数的关系得到，再利用勾股定理和完全平方公式的变形求出c的值即可．【详解】解：设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边为c，∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形求值，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11.如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，．则的长为______．【答案】5【解析】【分析】连接AF，根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD，在Rt△AFC中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=AC．详解】解：连接AF．∵AB=AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，又∵E是AC的中点，∴EF=AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴AC=2EF，∵EF=2.5，∴AC=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．12.如图，若点E为正方形的边上一点，，，点M为的中点，过点M的直线分别交，边于点P，Q，且，则的长为_____．【答案】1或2##2或1【解析】【分析】根据题意画出示意图，过点P作，交于点N，由为正方形，得到，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，进而利用勾股定理求出的长，利用得到，由全等三角形对应边对应角相等得到，，再由,得到,进而得到，在中，根据的长，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用对称性确定出的长即可．【详解】解：如图所示，过点P作，交于点N，交于点F，为正方形，，在中，，，，即，，点M为的中点，，在和中，，，，，，，即，在中，，，，由对称性得到：，综上，的长为：或；故答案为：1或2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、锐角三角函数，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）用因式分解法进行求解即可；（2）先将方程化为一般式，再用因式分解法进行求解即可；【小问1详解】解：，或，，．【小问2详解】解：，，，或，，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各个方法．解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．14.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形CODE是矩形；【答案】见解析【解析】【分析】首先根据CE∥BD，DE∥AC得出四边形CODE是平行四边形，再利用菱形的性质得出，则结论可证．【详解】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴，∴，∴平行四边形CODE是矩形．【点睛】本题主要考查菱形的性质及矩形的判定，掌握菱形的性质及矩形的判定方法是解题的关键．15.甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．【答案】【解析】【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图得：共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，所以这三人在同一个献血站献血的概率为．【点睛】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16.请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】【详解】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．17.已知关于x的方程．（1）求证：无论m取何值，该方程总有实数根；（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．【答案】（1）见解析（2）时，方程的两根为，【解析】【分析】（1）先求出判别式的值，再根据的意义证明即可；（2）根据求根公式得出，，即可求出m的值和方程的根．【小问1详解】证明：，无论m取任何数，，即，无论m取何值，该方程总有实数根；【小问2详解】，由求根公式得：，，方程的两个根都是整数，取时，方程的两根为，．【点睛】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，熟记求根公式为是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，在中，点F是的中点，点E是线段的延长线上的一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，在点E的运动过程中，当______时，四边形是菱形．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）证明得到，再由即可证明四边形平行四边形；（2）根据，可以得到，若四边形是菱形，则，即可证明是等边三角形，由此即可得到答案；【小问1详解】解：∵点F是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：∵，∴，∵四边形是菱形，∴，∴是等边三角形，∴，∴当时，四边形是菱形，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，菱形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质和平行四边形的判定是解题的关键19.为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩•跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是；（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率．【答案】（1）；（2）见解析，【解析】【分析】（1）共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有一种，即可求出概率；（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出一张是演讲社团C的结果数，进而求出概率．【详解】解：（1）∵共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有1种，∴小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：ABCDA——ABACADBBA——BCBDCCACB——CDDDACBDC——共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C的有6种，∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是＝．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图或表格是解决本题的关键．20.如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）几秒后，四边形的面积等于？（2）面积能否等于？请说明理由．【答案】（1）经过1秒钟，四边形的面积等于（2）的面积不能等于，理由见解析【解析】【分析】（1）经过x秒钟，四边形的面积等于，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，表示出和的长可列方程求解；（2）看的面积能否等于，只需要看方程是否有解即可．【小问1详解】解：经过x秒钟，四边形的面积等于，∵在中，，，．∴∴，∵点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴经过1秒钟，四边形的面积等于；【小问2详解】解：的面积不能等于，理由如下：同（1）得，∴，∵，∴此方程无解，∴的面积不能等于．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.“中秋节”前，某超市第一次以80元/盒的进价购进一款月饼礼盒500盒，以120元/盒的售价全部销售完．销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在120元基础上每降价5元，销量就会相应增加100盒，该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超过650盒．（1）在进价不变的情况下，第二次实际售价在第一次基础上降了a元时，则该超市这款月饼每盒利润为元，预计销售量为盒．（2）在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加5%，求a的值．【答案】：(1)(40-a)，500+20a；(2)【解析】【分析】（1）现利润=原售价-降价-成本，预计销售量=原销售量+促销量，根据等量关系代入数值即可求解；（2）首先计算第一次的利润，然后根据利润×销售量=总利润，代入数值求解出a的值，然后根据第二次购入总量解出a的取值范围，即可判定符合条件的a的值．【详解】（1）现利润=120-80-a=(40-a)元；预计销售量=；（2）第一次利润为：依题意可得：整理得：解得：，∵500+20a≤650∴a≤7.5∴a=5答：a的值为5．【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用中的利润问题，重点是根据题意找到等量关系，列出方程．22.如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接．（1）求证：四边形是正方形；（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．【答案】（1）见解析；（2），见解析【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形；（2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论；【详解】（1）证明：将绕点按顺时针方向旋转，，，四边形是矩形又，四边形是正方形（2）解：．证明过程如下：如图②，过点作于，，，四边形是正方形，，，，，将绕点按顺时针方向旋转，四边形是正方形，，．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．六、（本大题共12分）23.将矩形ABCD折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开辅平，连接BE，EF，BF．（1）操作发现：①在矩形ABCD中，任意折叠所得的是一个______三角形；②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关