2022-2023学年重庆某中学高二（上）第一次月考数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年重庆203中学高二（上）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共16小题，共80.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.两平面a、0的法向量分别为正=（3,v=（-2,-y,1）,若则y+z的值是（）

A.-3B.6C.-6D.-12

2.如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是（）

A.hB.l2C.l3D.14

：mx

3.已知直线4：%4-(m4-l)y4-m=0,Z2+2y4-1=0,则“/J/。”的必要不充分条

件是()

A.m=-2B.m=1

C.m=-2或m=1D.m=2或m=1

4.设向量方、爪下不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是()

A.{a+b,b-a,a}B.{a+b,b-a,b}

C.[a+b,b-a,c}D.[a+b+c,a+b,c]

5.已知方=(-2,1,3),h=(-1,2,1)＞若五，(3—4石)，则实数4的值为()

A.-2B.-yC.yD.2

6.己知两点A(l,2),B(3,6),动点M在直线y=x上运动，则|M*+|MB|的最小值为()

A.2V5B.V26C.4D.5

7.直线y=2x+1关于直线、=x对称的直线方程为()

A.%—3y4-1=0B.%—3y—1=0C.%—2y—1=0D.%—2y4-1=0

8.直线&y=k(%+2)上存在两个不同点到原点距离等于1,则k的取值范围是()

A.(-2,2)B.(-V3,V3)C.(-1,1)D.(-y.y)

9.下列两点确定的直线的斜率不存在的是（）

A.(4,2),(-4,1)B.(0,2),(2,0)

C.(4,-1),(3,-1)D.(-2,-2),(-2,-3)

10.已知点4(-3,1,-4),点4关于。町平面的对称点的坐标为()

A.(-3,—1,-4)B.(—3,—1,4)C.(—3,1,4)D.(3,—1,-4)

11.已知空间向量五=(1,3,—2),3=(-4,3,m)，且五11，则m=()

A.1B.|C.\D.3

12.已知8=(1,0,1),K=(x,l,2).且五不=3，则向量石与石的夹角为()

A.B.*C.D.I

633b

13.经过两直线，i：2x-y+3=0与，2：x+2y-1=0的交点，且平行于直线3x+2y+7=0

的直线方程是（）

A.2x-3y+5=0B.2x+3y-1=0C.3x+2y-2=0D.3x+2y+1=0

14.如图，正四棱锥P-ABC。中，已知两=五，而=3,定=

:而,则说=（）

A.；五—b+c

B.一朝一尹一泰

C.-|3-|K+|C

D.一扣一尹+玄

15.在直三棱柱4BC-AB'C'中，侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形，则异面直线AB'与BC'

所成角的余弦值为（）

1百1

CV5

A.-_-

234

16.如图，在正四棱柱4BC0-418165中，48=3,AAr=4,P是侧面BCQBi内的动点,

且APlBDi，记AP与平面BCGB所成的角为仇则tcm。的最大值为（）

A.IB.|C.2D.y

二、多选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题有多项符合题目要求)

17.在平行六面体ABCD-4B'C'D'中，与向量荏相等的向量有()

A.CDB.布C.WCD.BC

18.下列说法正确的有()

A.若直线y=kx+b经过第一、二四象限，则点(k,b)在第二象限

B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)

C.过点(2,—1)斜率为-国的点斜式方程为y+1=—近(x—2)

D.斜率为-2,在y轴截距为3的直线方程为y=-2x±3

19.下列说法正确的是()

A.已知直线/过点P(2,3),且在x、y轴上截距相等，则直线/的方程为x+y-5=0

B.直线V5x+y+l=0的倾斜角为120。

C.a€R,b€R,“直线ax+2y—1=0与直线(a+l)x—lay+1=0垂直"是"a=3"

的必要不充分条件

D.若直线1沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置,

则该直线，的斜率为-1

20.已知正方体4BCD-4B1GD1的棱长为4,EF是棱4B上的一条线段，且EF=1,点Q是棱

为么的中点，点P是棱GA上的动点，则下面结论正确的是()

A.PQ与E尸一定不垂直B.二面角P-EF-Q的正弦值是噂

C.APE/的面积是2夜D.点P到平面QE尸的距离是定值

21.在下列四个命题中，错误的有()

A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B.直线的倾斜角的取值范围是［0,兀)

C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

D.若一条直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tana

22.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果荏=(2,-1,-4)，同=(4,2,0)，

AP=(-1,2,-1).下列结论正确的有()

A.APLABB.四边形4BCD为矩形

C.9是平面4BCD的一个法向量D.AP//~BD

23.设心,瓦可是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）

A.a,人工可以为任意向量

B.对空间任一向量历存在唯一有序实数组（x,y,z）,使力=xW+y&+z下

C.若有_L3,blc，则11c

D.{a+2b,b+2己不+2五}可以作为构成空间的一组基底

24.正方体ABCO-48传1。1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CQ,£）

BBi的中点.则（

A.直线久。与直线4F垂直

B.直线4G与平面4EF平行

C.平面4EF截正方体所得的截面面积为看

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

25.点（1,1）到直线*+y+1=0的距离为.

26.。为空间中任意一点，A,B,C三点不共线，=^OA+^OB+tOC,若P,4B,C四

48

点共面，则实数t=.

27.已知五，片是空间两个向量，若|五|=2,\b\=2>|a-K|=V7,则cos<a，b>=.

28.仇章算术•商功》：“斜解立方，得两遭堵（qi浙id。）余卜解遭堵，其一为阳马，一为鳖腌

（bidn'o）.阳马居二，鳖席居一，不易之率也.”文中所述可用如图表示：

则几何体“鳖牖”的四个面中，直角三角形的个数为；若上图中的“立方”是棱长为1

的正方体，则BCi的中点到直线C%的距离等于.

29.在直角坐标系中，直线8x+3y-3=0的倾斜角。=.

30.直线，：（a+2）x+y-a-4=0恒过的定点坐标为.

31.已知4B,C三点不共线，对平面48c外一点0,给出下列表达式：2丽=%雨+、而+

10C,其中x,y是实数，若点M与4,B,C四点共面，Rijx+y=.

32.已知P为直线心2x-y+3=0上一点，点P到4(1,0)和8(2,2)的距离之和最小时点P的坐

标为.

四、解答题(本大题共12小题，共140.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

33.(本小题10.0分)

△4BC中，顶点B(3,4),C(5,2),4c边所在直线方程为x-4y+3=0,4B边上的高所在直线

方程为2x+3y—16=0.

(1)求4B边所在直线的方程；

(2)求AC边的中线所在直线的方程.

34.(本小题12.0分)

三棱柱4BC-4/16中，M、N分别是A$、上的点，且BM=2&M,C】N==

a.,AC=b>AA1=c-

(I)试用五，瓦^表示向量为7;

(II)若ZBAC=90。，=NC44=60。，AB=AC=AAX=1,求MN的长.

35.(本小题12.0分)

如图所示，在四棱锥E—ABC。中，底面ABCZ)是菱形，^ADC=60°,AC与BD交于点0,EC1

底面4BCD,F为BE的中点，AB=CE.

(1)求证：DE〃平面力CF；

(2)求异面直线E。与4F所成角的余弦值；

(3)求AF与平面EBD所成角的正弦值.

E

36.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-ABCD,AB//CD,4BCD=9。。,AB=2BC=2CD=4,△PAB为等边三

角形，平面P4B，平面力BCD,Q为PB中点.

(1)求证：AQ1平面PBC；

(2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.

37.(本小题12.0分)

已知直线1：(2+m)x+(m—l)y-3m=0(m6/?).

(1)直线l经过定点吗？若经过定点，求出定点P坐标；若不经过定点，说明理由；

(2)求原点到直线/距离的最大值；

(3)若直线I分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于2、B两点，当△ABC面积最小时，求对应的直

线1的方程.

38.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥E-力BCD中，底面4BC。是正方形，力C与BD交于点0,EC1底面ABCD,F为

BE的中点.

E

(1)求证：DE〃平面ACF；

(2)若4B=V^CE,在线段E。上是否存在点G,使得CG_L平面BDE?若存在，请证明你的结

论；若不存在，请说明理由.

39.(本小题10.0分)

△4BC的三个顶点是4(2,-3),8(1,2),C(-l,-5),求：

(1)经过点4且平行于过B和C两点的直线的方程；

(2)边8C的垂直平分线的方程.

40.(本小题12.0分)

已知五=b=(-2,4,2):

(1)若出五+了)1求实数k的值；

(2)若方〃乙且|七=2述，求口的坐标.

41.(本小题12.0分)

如图，在直棱柱48。~41816的底面448。中，C4=C8=2,乙4cB=90。，棱441=1,

以C为原点，分别以C4CB,CG所在直线为％,y,z轴建立如图的空间直角坐标系

(1)求平面C&Bi的一个法向量；

(2)求点4到平面C&Bi的距离.

42.(本小题12.0分)

如图，在长方体ABCD-4/口述中，点E,尸分别在棱上，且2DE=ED、,BF=2FB1.

(1)证明：AF〃C\E；

(2)若4B=2,AD=1,44=3,求二面角4一EF-4的余弦值.

s

43.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥D—ABC中，4B1BD,BC1CD,M、N分别是线段4。、8。的中点，MC=1,

AB=BD=V2.

(1)证明：直线MN_L平面DBC；

(2)若二面角D-BA-CD的大小为60。，求直线BM和平面MNC所成角的正弦值.

44.(本小题12.0分)

如图1,已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为AD,BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成

如图2所示的二面角，且二面角的大小为60。，点M在线段48上(包含端点)运动，连接40.

(1)若时为48的中点，直线M尸与平面ADE的交点为0,试确定点。的位置，并证明直线。。〃

平面EMC；

(11)是否存在点时，使得直线。E与平面EMC所成的角为60。？若存在，求此时平面MEC与平

面ECF的夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.

图I

图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：Ta_LS，二日_1,讥

•1.u-v=3x(—2)—1x(―y)+zX1=0,

化为y+z=6.

故选：B.

利用alj?<=>ulv<=>iZ-v=0.

熟练掌握面面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查数形结合思想，是基础题.

由图形结合倾斜角与斜率的关系得结论.

【解答】

解：由图可知，直线k,%的倾斜角为锐角，且〃的倾斜角大于k的倾斜角，则©4>©|>0,

直线4的倾斜角为0,斜率为0，

直线b的倾斜角为钝角，"<0,

则斜率最大的是〃.

故选D

3.【答案】C

【解析】解：「直线人：x+(m+l)y+m-0,l2：mx+2y+1=0,

若，1〃%，则+1)-2=0,解得：m=-2或m=1

当m=1时，k与％重合,故"k//%"0>>m=-2”,

故，i〃G”的必要不充分条件是“m=-2或m=1"，

故选：C.

直线。：x+(m+l)y+m=0,l2.znx+2y+1=0平行的充要条件是"m=-2",进而可得

答案.

本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由已知及向量共面定理，结合长方体的图形，易得选项A、B,是共面向量；

选项。，也是共面向量；只有3+3，b—a<不不共面，

故可作为空间的一个基底，

故选：C.

空间向量的一组基底，任意两个不共线，并且不为零向量，并且三个向量不共面，判断选项即可.

本题考查共线向量与共面向量的知识，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题.

5.【答案】D

［解析］解：因为方=(—2,1,3),b=(-1,2,1),

所以益一;=(A-2,1-2A,3-A)>

由方1@一4弓)，

所以方•(方一4方)=0-

得一2(4-2)+1-2；1+9-32=0=4=2,

故选：D.

求出向量乙―利用五1位一/19)，向量的数量积为0,求出4的值即可.

本题是基础题，考查向量的数量积的求法，考查计算能力.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示；

作点4关于直线y=x的对称点4'(2,1),

连接AB,则|AB|即为|M4|+|MB|的最小值,

且1ABi=J(3-2)2+(6-I)2=V26.

故选：B.X

根据题意画出图形，结合图形求出点4关于直

11<11111

/

线y=x的对称点4,则|4B|是|M*+|MB|的最小值.

本题考查了平面上两点间的距离计算问题，是基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由直线y=2x+l,整理得x=*,

即y=故％-2y-l=0.

故直线y=2%+1关于直线y=%对称的直线方程为％-2y-1=0.

故选：C.

直接利用反函数的定义求出直线的方程.

本题考查的知识要点：反函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

8.【答案】。

【解析】解：因为直线Z：丫=攵。+2)上存在两个不同点到原点距离等于1,

故直线2与圆/+y2=1有两个交点，

则圆心(0,0)到直线I的距离d=幕/<1,

解得一

所以k的取值范围是(―今货

故选：D.

将问题转化为直线，与圆/+y2=1有两个交点，然后利用圆心到直线的距离小于半径，列式求解

即可.

本题考查了直线与圆位置关系的运用，解题的关键是将问题转化为直线2与圆/+y2=1有两个交

点，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.

9.【答案】D

【解析】解：当直线的斜率不存在时，这两点的坐标的横标相等，

故对于选项，只有。选项的坐标的横标相等，

故选：D.

直接利用直线的斜率和倾斜角的关系求出结果.

本题考查的知识要点：直线的斜率与倾斜角的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，

属于基础题，

10.【答案】C

【解析】解：根据题意，点4（-3,1,-4）关于Oxy平面的对称点的坐标为（一3,1,4）；

故选：C.

根据题意，由空间直角坐标系中和空间点坐标的定义，分析可得答案，

本题考查空间中点的坐标，注意关于平面对称的点的坐标的特点，属于基础题.

11.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题.

由五不=0,根据空间向量数量积的坐标运算，即可得解.

【解答】

解：因为五

所以五-K=—4+9—2m=0>解得m=|.

故选总

12.【答案】D

【解析】解：•••已知五=（1,0,1）,b=（X,1,2）（且五•方=3=x+0+2，二%=1，

设向量W与方的夹角为dBG[0,71）,

}Q'lilCI°rScUB一-回a•'⑻b—-_x/_2_x_际?__加___一_^_2_x_7_1_+__1_+_4_-_叵2'

日吗

故选：D.

由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量数量积的定义，求出向量为与石的夹角的余弦值，可

得向量4与方的夹角.

本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量数量积的定义，属于基础题.

13.【答案】D

【解析】解：由可得二;1，故直线小2x—y+3=0与%：::的

交点为（一U）.

设平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是3x+2y+c=0,

再把点（一1,1）代入，可得c=l,故要求的直线的方程为3x+2y+l=0,

故选：D.

解方程组求得直线的交点坐标，再利用两直线平行的性质，用待定系数法求直线的斜率，可得直

线的方程.

本题主要考查求直线的交点，两直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题.

14.【答案】A

【解析】解：连接AC,BD,设交点为。，连接PO,

•.1。为力C的中点，。为BC的中点,

.-.PO=1a+ic,PO=|PD+1K,

.・・'po=a+c—K，

.•.PE=lpD=13+|c-|K,

.-.BE=BP+PE=-b+^a+^c-^b=^a-lb+^c.

故选：A.

根据已知条件，连接AC,BD,设交点为0,连接P0,再结合向量的线性运算，即可求解.

本题主要考查空间向量及其运算法则，属于基础题.

15.【答案】C

【解析】解:如图,

分别取48、BB，、B'C'的中点E、F、G,连接EF、FG,

贝IL4B7/EF,BC//FG,可知“FG（或其补角）为异面直线4B'与BC'所成角,

由题意求得EF=FG=\[2,EG=V5，

则8S4EFG==-p则异面直线4B'与BC'所成角的余弦值为

ZXVZXVz44

故选：C.

由题意画出图形，找出两异面直线所成角，再由余弦定理求解.

本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题.

16.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查线面角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

以ZM,DC,CO1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和二次函数的性

质能求出|BP|的范围，再根据tan。=需即可求线面角的正切值的最大值.

【解答】

解：以ZM,DC,DO1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

设P(x,3,z),4(3,0,0),B(3,3,0),&(0,0,4),则而=(x-3,3,z),西=(一3,—3,4)，

"AP1BDX,.-.AP-西=-3(x-3)-3x3+4z=0，•,•z=1x.

・•.|BP|=J(x—3)2+z2=篇x2-6x+9=篇(一32+||>l，

连接BP,易知AB上面BCGBI，所以4P与平面BCGB所成的角即为NAPB,

.：tand=^<l，

tan。的最大值为|.

故选本题B.

17.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查了相等向量，属于基础题.

直接利用相等向量的定义即可求解.

【解答】

解：在平行六面体ABC。-AB'C'。'中,

与向量近相等的向量有3个,

分别是彳豆，DC，WC-

故选：BC.

18.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,因为直线y=kx+6经过第一、二、四象限，所以k<0且b>0,贝ij(k,b)在第二象限，A

正确；

对于8,直线y=ax—3a+2,即y=a(x—3)+2,过定点(3,2),8正确：

对于C,过点(2,—1)斜率为一遍的点斜式方程为y+1=-遮(x-2),C正确；

对于0,要求直线的斜率为-2,在y轴截距为3,即经过点(0,3),其方程为y=-2x+3,£>错误；

故选：ABC.

根据题意，由直线的点斜式方程依次分析选项，即可得答案.

本题考查直线的点斜式方程，涉及直线过定点的判断，属于基础题.

19.【答案】BCD

【解析】解：对于4当直线在“、y轴上截距为0时，

直线，过点P(2,3),

则直线，的方程为y=|x,

当直线在x、y轴上截距不为。时，

可设直线方程为:+《=1,即x+y=a,

直线2过点P(2,3),

则Q=5,

故直线2的方程为％+y—5=0,

故直线，的方程为y=|x或x+y—5=0,故A错误，

对于B,直线6x+y+1=0的斜率k=一百，

则该直线的倾斜角为120。，故8正确，

对于C,直线ax+2y-1=0与直线(a+l)x-2ay+1=0垂直，

则a(a+1)-4a=0,

故a?-3a=0,解得a=0或a=3,

故“直线ax+2y-l=0与直线(a+1)%-2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件，

故C正确，

对于。，由题意可知，直线1的斜率存在，

设直线/的方程为y=kx+b,

直线，沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置,

则y=k(x+3)+b+2=kx+b,解得k=-§,故。正确.

故选：BCD.

对于4,结合分直线在x、y轴上截距为0,不为。两种情况讨论，即可求解，

对于B,结合斜率与倾斜角的关系，即可求解，

对于C,结合直线垂直的性质，即可求解，

对于D,结合直线平移的性质，即可求解.

本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题.

20.【答案】BCD

【解析】解：当P与点名重合时，PQ1EF,故选项A错误；

由于点P是棱65上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即平面ABGDi，

以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则Q(2,0,4),A(4,0,0),B(4,4,0),

所以训=(2,0-4),AB=(0,4,0)，^QEF^^WiQAB,

n-QA=2x-4z=0

设平面Q4B的法向量为元=(x,y,z),则

n-AB=4y=0

据此可得五=(2,0,1),

同理可求得平面ABCiA的法向量为沆=(1,0,1).

设二面角P-EF-Q为0,

所以|cos8|=|cos<m,n>\=曾兽=邙

''11|m||n|10

故sin。=V1—cos20=吊;,故选项B正确；

由于力B，平面BBiCC1,又BCiu平面BBiCq,

AB1BCX,BCr1EF,故忆是△PEF的高，

ShPEF=1•FF-BCX=1x1x4V2=2V2,选项C正确；

由于G5〃EF,且GAC平面QEF,EFu平面QEF,由线面平行的判断定理可得G。"/平面QEF,

又点P在加以上，所以点P到平面QEF的距离为常量，选项。正确.

故选：BCD.

取特殊位置，可判断选项A;建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用空间向量的结

论可求解二面角的正弦值；利用线面垂直的性质定理求得三角形的高，利用三角形的面积公式求

解即可判断选项C；由线面平行的判定定理结合点面距离为定值即可.

本题主要考查异面直线垂直的证明，二面角的计算，点面距离的计算，线面平行的应用，空间向

量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.

21.【答案】ACD

【解析】解：对于4坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但倾斜角为90。的直线没有斜率,

故A错误；

对于氏直线的倾斜角的取值范围是［0,兀)，故B正确；

对于C,若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a,错误，如直线的斜率为tan(-9,其

倾斜角为空

对于D,若一条直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tana,错误，如a=90。.

.•・说法错误的有ACD.

故选:ACD.

利用倾斜角为90。的直线没有斜率判断4与D；由直线倾斜角的范围判断&举例说明C错误.

本题考查命题的真假判断与应用，考查直线倾斜角的概念，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基

础题.

22.【答案】AC

【解析】解:对于4屈•AP=2x(-1)+(-1)x2+(-4)x(-1)=0,所以荏1AP，即4P1AB,

故选项A正确；

对于8,题中没有相关条件可以判断四边形2BCD是否为矩形，故选项B错误；

对于C,AP-AD=(-1)x4+2x2+(-1)x0=0>所以布_L而，

又四1羽，所以都是平面ABC。的一个法向量，故选项C正确；

对于。，因为而是平面4BCD的一个法向量，则存1前，故选项。错误.

故选：AC.

利用向量垂直的坐标表示以及法向量的含义，分别判断四个选项即可.

本题考查了平面法向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，考查了逻辑推理能力与化简运

算能力，属于基础题.

23.【答案】BD

【解析】解：对于4①,瓦引是空间的一组基底，则五，b，口是不共面的一组向量，不是任意向

量，所以A错误；

对于B,根据空间向量的基本定理知，对空间任一向量力,存在唯一有序实数组(x,y,z),使万=xa+

+zc>所以B正确；

对于C,由五，方，blc，能得出方垂直于为与己所确定的平面，但五与不不一定垂直，所以C错误；

对于设X0+2B)++2?)+z(?+2初=6，则(x+2z)N+(2x+y)b+(2y+z"=6;

%+2z=0

由向量相等的定义知，2x+y=0,解得％=y=z=0,

2y+z=0

所以①+2b,b+2下1+2码可以作为构成空间的一组基底，。正确；

故选：BD.

根据｛五，瓦研是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，对选项中的命题判断正误即可.

本题考查了空间向量基本定理和应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题.

24.【答案】BC

【解析】解：取DDi中点M,贝小M为4F在平面44也。上的射影，

4M与DDi不垂直，二4F与DD］不垂直，故A错；

取81cl中点N,连接&N,GN,可得平面4GN〃平面4EF,故8正

确；

把截面4EF补形为四边形力EFDi，由等腰梯形计算其面积S=[故C正确；

假设C与G到平面4EF的距离相等，即平面4EF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，

连接CG交E『于H,而H不是CG中点，则假设不成立，故。错.

故选：BC.

取。劣中点用，则AM为AF在平面上的射影，由AM与。5不垂直，可得AF与。2不垂直；

取BiG中点N,连接为N,GN,得平面4GN〃平面力EF,再由面面平行的性质判断B；把截面力EF

补形为四边形4EFD],由等腰梯形计算其面积判断C；利用反证法证明。错误.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想

象能力与思维能力，是中档题.

25.【答案】挈

【解析】

【分析】

本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

由题意利用点到直线的距离公式，计算求得结果.

【解答】

解：点(1,1)到直线x+y+1=0的距离为在翳=挈,

故答案为：

26.【答案】i

o

3

+

【解析】解：由题意得，0P4-\\.P,A,B,C四点共面,

31

,■,4+8+=1

...t=

故答案为：

利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论.

本题考查空间向量基本定理，考查用向量表示四点共面的条件，属于简单题.

27.【答案】J

O

【解析】解：将式子|五—3|=迎平方可得片一2万不+^=7，

故可得f-2|五|-13|cos<a,b>+b2=7<

代入数据可得COS（五，石>=标+号7=22+22-7=工

2|a||d|2x2x28

故答案为：:

O

将式子|a-b\=V7平方可得五2一2万•B+■=7,由数量积的定义，代入数据化简可得.

本题考查向量的夹角公式，涉及向量的数量积的运算，属中档题.

28.【答案】4小

4

【解析】解：如图所示,

在正方体中，易知BC1平面CC15，

则BC1DCBC1CCr,

所以ABCni，ABCCi都是直角三角形;

同理01G1•平面BCC1，

则D1G1CC1，DiCi1BCr,

所以ADiGC,ADiGB都是直角三角形，

故几何体〃鳖席〃的四个面中，直角三角形的个数为4；

如图所示,

过BG的中点P,作PQ1CG，过Q作QR1.CC1，连接PR,

易知PQ1平面CDDiG，则PQ1CD〉

又QRCPQ=Q,所以CO11平面PQR,

所以CD11PR,

所以PR为点P到直线CD1的距离，

又PQ嗅QR二4

所以PR=《PQ2+QR2=彳，

故答案为：4,乎.

易知山CJ■平面CC15，D1G1平面BCC1，判断直角三角形的个数，过BQ的中点P,作PQ1CC1，

过Q作QRLCDi，连接PR,易证CD】_L平面PQR,则CD11PR,得到PR为点P到直线CD1的距离

求解.

本题主要考查立体几何中的垂直关系，点线距离的计算等知识，属于中等题.

29.【答案】•

□

【解析】解：直线岛+3y-3=0化成斜截式，得丁=一身+1，

•••直线的斜率k=一字

••・设直线的倾斜角为a,.•.tma=-与结合ae[0,7r),得a=1

3o

故答案为：

O

将直线方程化成斜截式，可得它的斜率k=-苧.再由斜率与倾斜角的关系式，即可算出直线的倾

斜角a的值.

本题给出直线方程的一般式，求它的倾斜角大小.着重考查了直线的基本量与基本式、直线的斜

率与倾斜角的关系等知识，属于基础题.

30.【答案】(1,2)

【解析】解：直线，：(a+2)x+y-a-4=0,即a(x-1)+2x+y-4=0,

令。："°4=0,解得x=l,y=2,

故直线/的定点坐标为(1,2).

故答案为：(1,2).

将直线I变形为a(x-l)+2x+y—4=0,令次？：°九一2解出心〃即可求解・

十y———u

本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题.

31.【答案】|

【解析】解：丽=%刃+?而+之次，.•.而函+诟+:次，

■；点M,A>B,C四点共面，.+[=1,二x+y=永

故答案为:|.

四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为1,列出方程求出x+y的值即可.

本题考查了四点共面的应用问题，属于基础题.

32.【答案】(-1,2)

【解析】解：设点4关于直线[的对称点为C(m,n),

笆-2=-1

则:三+1n+0。，解得皿=一3,凡=2,即C(—3,2),

2•—---4-3=0

LZ

所以|PA|+|PB|=|PC|+|PB|2|BC|=J(2+3>+(2-2尸=5,当且仅当B,P,C三点共线

时，等号成立，

此时直线BC的方程为y=2,

联立¥二2y+3=°，得x=4，y=2,即P(—Q).

故答案为：

设点4关于直线I的对称点为C(7n,n),根据中垂线，可建立关于m,n的方程组，解之求得点C的坐

标，再由“将军饮马”的原理知，当点P为直线1与直线BC的交点时，伊川+|PB|取得最小值.

本题考查直线中的对称问题，理解'‘将军饮马”的原理，两条直线的位置关系是解题的关键，考

查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

33.【答案】解：(1)根据题意，4B边上的高所在直线方程为2x+3y-16=0.

所以以8=

48边所在直线的方程为y-4=|(x-3),

即3x—2y—1=0.

(2)联立=AC1)，则4c的中点。(3,|)，

则AC边的中线所在直线的方程为％=3.

【解析】本题考查了相互垂直的直线方程斜率之间的关系、直线的交点、中点坐标公式，考查了

推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)根据题意，力B边所在直线的方程为y—4=|(x—3),即可得出.

⑵联立也m

,解得4(1,1),可得4c的中点。，可得AC边的中线所在直线的方程.

34.【答案】解：(I)由图形知丽=西+石瓦+瓦R=g西+而+：瓦互=：0-5)+1+

|(K-a)=|a+iK+|c.

(H)由题设条件

(a+b+c)2=a2+b+c2+2a-b+2b-c+2a-c=1+1+1+0+2x1x1x+2x

lxlxg=5,

.-.\a+b+c\=V5，|M7V|=1|a+6+c=|y-

【解析】(I)由图形知而=西+不瓦+瓦后=g西+AB+g瓦其再用匕石兄表示出来即可

(H)求MN的长，即求|而Z|=*+亍+4，利用求向量模的方法，求|五+9+印IJ可求得MN的

长

本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，解题的关键是掌握住向量加法法则与用空间向量求线

段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用.理解并记忆熟

练公式是解题的知识保证.

35.【答案】解：(1)C.By

OAI/

D-A

•x

如图，连接OF,因为底面力BCD是菱形，AC与BD交于点0,

可得。点为B。的中点，又F为BE的中点，所以。尸为^BDE的中位线，

可得OF〃DE,又。F64CF,Z)E不在平面4CF内，

可得OE〃平面ACF；

(2)如图连接C点与4。中点位x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，

设菱形4BCD的边长为2,可得CE=2,

可得E(0,0,2),。(苧鼻,0)，4(6,1,0)，尸(0,1,1)，

可得：£0=(y,1,-2)，AF=(-V3,0,-l)»设异面直线E。与4F所成角为0,

­/日„_前•而________苧x(--)+00+(-2)x(_l)_1_V5

1C0S

口\EO\\AF\j(^)2+(l)2+(_2)2xJ(_73)2+(0)2+(_1)22V520，

⑶可得。(百,TO),B(0,2,0),£(0,0,2),

可得荷元=0(-四,3,0)，BE=(0,2,2).设平面EBD的一个法向量为布，

可得而下=0，前•元=0,可得道的值可为(一百,一1,1),由存=(一百,0,-1)

n-AF(-V3)x(-V3)+(-l)x(0)+(l)x(-l)2

可得AF与平面EBD所成角的正弦值为丽=丁6―⑴](-册+**=薪=

V5

~5-

【解析】(1)连接OF,可得OF为ABOE的中位线，OF〃DE,可得证明；

(2)连接C点与4D中点为x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，可得前，前的值，可得

异面直线E。与4尸所成角的余弦值；

(3)可得平面EBO的一个法向量为元，可得4F与平面EBO所成角的正弦值.

本题主要考查直线与平面平行，及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平面所成的角，

综合性大，难度较大.

36.【答案】解：（1）证明：•；AB〃CD,NBCD=90°,二AB1BC,

•••平面P2BJ_平面/BCD,且平面P4Bn平面ABCD=AB,

•••BC1平面PAB,

•­•AQu平面P4B,•••BCLAQ,

・•・Q是PB中点，且△P4B是等边三角形，PB1AQ,

vPBdBC=B,•••4Q_L平面PBC.

(2)取AB中点。，连接PO,

•••△P4B是等边三角形，二POJ.AB,

•••平面R4BJ_平面4BCD,POu平面P4B,•••P。_L平面ABCD,

•••ODu平面4BCD,二PO1OD,

由AB=2BC=2CD=4,^ABC=90°,知OD//BC,•••0。14B,

以4B中点。为坐标原点，。。为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

4(0,-2,0),D(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2①8(0,2,0),

DP=(-2,0,2®CD=(0,-2,0)，

•••(2是。8中点，；.(2(0,1,6)，

由(1)知平面PBC的一个法向量为而=(0,3,遥)，

设平面PCD的法向量记=(x.y,z),

WJfn-CD=-2y=0,fe=1)得五=(畲。―),

场•DP=-2x+2V3z=0

设平面PBC与平面PCD夹角为。，

川--利---1

人」‘一项卜同一-4'

平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为

4

【解析】(1)推导出ZBJLBC,BCl^PAB,BC1AQ,PB1AQ,由此能证明AQ_L平面PBC.

(2)取4B中点。，连接P。，推导出P。1AB,PO1平面ABC。，PO1OD,OD1AB,以中点。为

坐标原点，。。为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面P8C与

平面PCD夹角的余弦值.

本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

37.【答案】解：(1)直线Z：(2+m)x+(nt—l)y-3m=0可化为mQ+y-3)+2%—y=0,

然:/屋消,解得x=l，y=2,即直线I恒过定点P(l,2)；

(2)当OP1用寸，原点到直线/的距离最大，此时最大值d=(12+22=V5;

(3)设直线，的方程为？+号=1,(a>0,b>0),

因为直线，过定点P(l,2),

所以*号1,

ab

由基本不等式得122店，当且仅当即a=2,b=4时取等号，

解得ab>8,

故△48。面积S=gab24,即面积的最小值为4,

此时直线方程为］+3=1,BP2x+y-4=0.

【解析】(1)直线心(2+zn)x+(m-l)y-3ni=0可化为+y-3)+2x-y=0,然后结合

直线系方程可求：

(2)当。P_U时，原点到直线I的距离最大，结合两点间距离公式可求：

(3)设直线，的方程为?+<=1,(a>0,b>0),由直线I过定点P(l,2),可得;+宗=1,然后结合

基本不等式可求.

本题主要考查了由直线系方程求解定点，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

38.【答案】证明：(1)连接OF,

由四边形力BCD是正方形可知，点。为BD的中点,

又尸为8E的中点，

所以。F〃DE.

又OFu平面4CF,OEC平面4CF,

所以DE〃平面ACF.

(2)在线段E。上存在点G,使CG1平面BDE,

证明如下：取E。的中点G,连接CG,

在四棱锥E-ABCD中，AB=&CE,CO=:AB=CE，

所以CG1E0.

又由EC1底面ABCD,BDu底面力BCD,

所以EC1BD.

由四边形力BCD是正方形可知，A