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文档简介
2022年湖南省衡阳市高考数学一模试卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的。
1.(5分)集合{y|y=sinx}=()
A.RB.{九}C.{邓XW1}D.{小20}
2.(5分)若曲线y=e1+而在点(1,1)处的切线与直线ax+y=0平行,则。=
A.-1B.1C.-2D.2
等,则cosx=(
3.(5分)已知sin*=)
7117
A.-gB--3C.一D.一
39
4.(5分)2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号厂遥十三运
载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射,顺利将翟志刚、王亚平、叶
光富3名航天员送入太空,飞行乘组状态良好,发射取得圆满成功.火箭在发射时会产
生巨大的噪音,已知声音的声强级d(x)(单位:48)与声强x(单位:W/川)满足d(x)
=10欣消心若人交谈时的声强级约为5048,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强
的比值约为10、则火箭发射时的声强级约为()
A.130JBB.14048C.150JBD.160dB
1J_Q
5.(5分)已知函数f(x)=2x—京+国r若,则()
A./(I)4/<-1)<0B./(-2)V(2)>0
C./(1)-/(-2)<0D./(-1)+/(2)>0
6.(5分)2022年2月4日,中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的
方式开始倒计时创意新颖,惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文
化,特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别
放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与
“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式有多少种?()
A.192B.240C.120D.288
7.(5分)设抛物线C-.)2=4X的焦点为F,点P为C上的任意点,若点A使得|AP|+|P~
的最小值为4,则下列选项中,符合题意的点A可为()
A.(4,2)B.(4,4)C.(3,3)D.(3,4)
第1页共16页
8.(5分)在正方体48。。-481。。|中,点尸满足8$=%/4+丫81。+281。1,且x+y+z
71
=1,若二面角Bi-P£h-C的大小为?。为△AC£>i的中心,则sinNPZ)iO=()
V3V6y/3V6
A.—B.—C.—D.—
6633
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
(多选)9.(5分)复数z=x+yi,x,yWR,xyWO,则下列选项一定正确的是()
A.z+z6/?B.z-zERC.zzERD.zG/?
z
(多选)10.(5分)下列选项中,与“/>『'互为充要条件的是()
A.x>lB.2x2>2X
1
C.-<1D.(x-1)|=x(x-1)
X
(多选)11.(5分)已知双曲线C:(«>0,。>0)的左焦点为F,过点尸作C
的一条渐近线的平行线交C于点A,交另一条渐近线于点8.若工=26,则下列说法
正确的是()
A.双曲线C的渐近线方程为)'=±公
B.双曲线C的离心率为我
b2
C.点A到两渐近线的距离的乘积为无
D.。为坐标原点,则tan乙4OB=*
(多选)12.(5分)数列{即}满足,a\=a,2aft+\-anan+i=l9贝ij()
A.数列{板}可能为常数列
B.当”=0时,数列{高方前10项之和为-55
1Q1
C.当。=五时,。〃的最小值为]
D.若数列{如}为递增数列,则。<1
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)已知a=(3,4),b=(2,x),若a_Lb,贝.
4?
14.(5分)已知x>0,y>0,-=4y—y2,则x+^=.
第2页共16页
15.(5分)已知点A(遮,1),点P在圆/+尸=1上,则直线AP倾斜角的最大值为.
16.(5分)已知函数/'(x)=sinx+V3|cosx|,写出函数/(x)的一个单调递增区间;
当x€[0,a]时,函数f(x)的值域为[1,2],则a的取值范围是.
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=VLb=后
c—1.
(1)求sinA,sinB,sinC中的最大值;
(2)求AC边上的中线长.
18.(12分)已知数列{“”}的前〃项和为S”,m=3,Sn=l+an+\.
(1)证明:数列{S〃-1}为等比数列;
(2)记数列{2•}的前”项和为证明:7),VI.
19.(12分)如图,正四面体A8C£>,E为AB的中点.
(1)证明:平面ECOJ_平面ABC;
(2)若CTM=52CT4,求EM与平面4c。所成角的正弦值.
20.(12分)甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛,每场比赛采用5局3胜制(即有一运动员先
胜3局即获胜,比赛结束).比赛排名采用积分制,积分规则如下:比赛中,以3:0或3:
1取胜的运动员积3分,负者积0分,以3:2取胜的运动员积2分,负者积1分,已知
甲、乙两人比赛,甲每局获胜的概率为点
(1)甲、乙两人比赛1场后,求甲的积分X的概率分布列和数学期望;
(2)甲、乙两人比赛2场后,求两人积分相等的概率.
21.(12分)已知椭圆E:与+与=l(a>b>0)的右焦点为F、过尸的直线与椭圆E交于
Qb
点4、B、当直线AB的方程为y=x-孝时,直线AB过椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆E的标准方程;
第3页共16页
(2)已知点M(VL0),若|MA|=2|M8|,求直线AB的斜率.
22.(12分)已知函数f(x)=与工一k》—1.
(1)若%=1,求/(x)在(0,+°°)上的单调性;
(2)试确定火的所有可能取值,使得存在f>0,对Vx€(0,f),恒有|/(x)|<?.
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2022年湖南省衡阳市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的。
1.(5分)集合{y|y=sinx}=()
A.RB.国-lWxWl}C.{x|0WxWl}D.{4r20}
【解答】解:集合{y|y=sinx}={R-
故选:B.
2.(5分)若曲线y=e"i+加x在点(1,1)处的切线与直线《x+y=O平行,则〃=()
A.-1B.1C.-2D.2
【解答】解:f(x)=-7+/〃X的导数为,(x)p
可得曲线在点(1,1)处的切线斜率为%=1+1=2,
由切线与直线6+y=0平行,可得左=-m
即-〃=2,解得a—~2,
故选:C.
3.(5分)已知sin・=字,贝ljcosx=()
7117
A.一百B.—«C.-D.一
9339
【解答】解:因为s»W=等,
〜%cXV31
所以cos-=1-2sirr—=1-2X(—)o2=可,
2433
所以cosx=2cos22-1=2X(-)2-1=
239
故选:A.
4.(5分)2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号尸遥十三运
载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射,顺利将翟志刚、王亚平、叶
光富3名航天员送入太空,飞行乘组状态良好,发射取得圆满成功.火箭在发射时会产
生巨大的噪音,已知声音的声强级d(x)(单位:d5)与声强x(单位:W/〃?2)满足](])
=1°/里岛7・若人交谈时的声强级约为50d8,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强
10~12
的比值约为109,则火箭发射时的声强级约为()
第5页共16页
A.130d5B.140d3C.150dBD.160dB
x
【解答】解:设交谈时的声强为x,则50=10/8万甚,
.\x=10-7,
所以火箭发射时的声强为:107X109=102,
102
故火箭发射时声强级为:d(x)=10七=7=140,
010T2
故选:B.
5.(5分)已知函数"%)=2#-十+仞暮,则()
A./(I)+f<-<0B./(-2)+/(2)>0
C.7(I)-/(-2)<0D./(-1)+/(2)>0
【解答】解:根据题意,函数"%)=2”—£岩,
%+3
由:;一>0,解得-3VxV3,即函数的定义域为(-3,3),
3-%
又一(-X)=-f(X),所以函数f(X)为奇函数,
在区间(-3,3)上,y=2,、尸一支和尸/名三都是增函数,
则函数f(x)在(-3,3)上为增函数.
对于A,函数/(x)为定义域为(-3,3)的奇函数,则f(1)4/(-1)=0,A错误;
对于B,函数/(X)为定义域为(-3,3)的奇函数,贝丫(-2)+f(2)=0,B错误;
对于C,7(I)-/(-2)(1)+f(2)>0,C错误;
对于D,/(-1)+f<2)=/(2)-f⑴>0,D正确.
故选:C.
6.(5分)2022年2月4日,中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的
方式开始倒计时创意新颖,惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文
化,特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别
放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与
“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式有多少种?()
A.192B.240C.120D.288
【解答】解:根据题意不同的放置方式有鹿掰-2掰=240.
故选:A.
7.(5分)设抛物线C:)2=标的焦点为尸,点尸为C上的任意点,若点A使得依尸|+|「同
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的最小值为4,则下列选项中,符合题意的点A可为()
A.(4,2)B.(4,4)C.(3,3)D.(3,4)
【解答】解:因为抛物线C:)2=4x,
所以尸(1,0),准线方程为x=-l,
过P作准线的垂线,垂足为Q,则有|PQ|=|Pf],
所以|AP|+|Pf]=|AP|+|PQ|,
当A,P,。三点共线时,|4P|+|PQ|取最小值为|AQ=XA-(-1)=XA+1=4,
所以X4=3,
又因为A点必在抛物线内部才满足,(A在抛物线外部H寸,当A,尸,F三点共线时,IAPI+IPF]
取最小值为IAQ,此时无选项.)
故选:C.
8.(5分)在正方体ABCD-A\B\C\D\中,点P满足B;P=xB^A+yB;C+zB:D「且x+y+z
7T
=1,若二面角Bi-PDi-C的大小为]。为△ACQi的中心,则sin/PDiO=()
y/3V6y/3V6
A.—B.—C.—D.—
6633
【解答】解:设正方体ABCD-A1B1C1Q1中心为01,
•点P满足B[P=xBxA+yBtC+zBR,且x+y+z—1,
平面ACDi,
;平面ACDiA平面B\PD\=PD\,由正方体性质得81O_L平面ACDi,且BiOC平面ACD\
=0,
作OQ_LQiP于Q,连接081,则。D\PVOQ,8iQC0Q=Q,
.,.。$_1_面OQBi,...NBiQ。即为81-PDi-C的平面角,:.ZB\QO=^,
设正方体棱长为1,RtABiOg中,B\0=|V12+l2+I2=竽,
.nn_2总"一2
..OQ=-X-T=J,
在RtZXOQA中,0Di=孚x/=^,
.\sinZPDiD=^-V6
UU^3'
故选:D.
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二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
(多选)9.(5分)复数z=x+yi,x,yGR,盯W0,则下列选项一定正确的是()
A.zH-z6/?B.z-zERC.zzGRD,-ER
z
【解答】解:二,复数z=x+yi,x,yWR,xyWO,BPx,y#0.
/.z+z=x+yi+x-yi=2xGR,z—z=x+yi-(x-yi)=2yi£R,
zz=Cx+yi)(x-yi)=X2+J2GR,
zx+yi(x+yi)2x2-y22xy
—~----=-------------=-------+------厚R,
zx-yi(x-yi)(x+yi)x2+y2x2+y2
故选:AC.
(多选)10.(5分)下列选项中,与“*>x”互为充要条件的是()
A.x>\B.2x2>2X
1
C.-<1D.\x(X-1)\=x(x-1)
X
【解答】解:v?>x,
Ax<0或x>l,
-:2x2>2X,解得即xVO或x>l,
111—x
-<1,——l<0,---<0,解得x<0或x>l,
XXX
由|x(X-1)\=x(X-1)可得x(x-1)NO,解得xWO或
根据充要条件的定义可判断得出:选项符合,
故选:BC.
(多选)11.(5分)已知双曲线C:鸟一鸟=1(a>0,QO)的左焦点为F,过点p作C
的一条渐近线的平行线交C于点A,交另一条渐近线于点艮若总1=2几,则下列说法
第8页共16页
正确的是()
A.双曲线C的渐近线方程为>=土级
B.双曲线C的离心率为遍
b2
C.点A到两渐近线的距离的乘积为不
万
D.。为坐标原点,^\tanZ-AOB=
【解答】解:设直线次的方程为),=2(x+c),与渐近线)=—,联立可得8(二,—
aQ2a
因为凡T4=24T8,则A(-竽?c,—be
33a
4c2C2
将A的坐标代入双曲线的方程:---=1,
9a29a2
可得。2=3/,可得离心率e=T=V5,所以B正确;
b\c2-a2_
所以渐近线的方程为:y=土/=±^^^=±缶,所以A不正确;
|此)一%卜|此!+%|_a2b2_a2b2_玫
4到两条渐近线的距离d\d2=,所以C正确;
c23a23
%OA=一与=一4,kAB——V2,所以-1,
2a2a
所以OAUB,|0川=]警+皆=冬,|A8|=JV+,c)2+俄-&2=翁,
故tanNAO8=所以。正确;
故选:BCD.
(多选)12.(5分)数列{〃〃}满足,a\=a,2〃〃+i-〃,0?+i=l,贝ij()
A.数列{〃〃}可能为常数列
B.当〃=0时,数列{点二}前1。项之和为-55
1Q1
C.当。=五时,4〃的最小值为孑
D.若数列{〃〃}为递增数列,则。VI
【解答】解:2a〃+i-a“历+1=1,
._1
•'Q"]一方布
1_[=112+即_斯-1
,•an+l-1=
2—an2—即2—an
第9页共16页
对于选项A:当4=1时,有2〃2-。2=1,.*.672=1,
••.。3=告=1,。4=2=1,类比得数列{“"}为常数列,故选项A正确,
乙LvO乙4X0
对于选项&当4=0时,有一--=2&=」一一1,
a
an+l-1n-^
...数列{4}是以二一=-1为首项,-1为公差的等差数列,
”1一1,。1一1
,数列{点匕}前10项之和为10X(-1)+当包x(-1)=-55,故选项B正确,
对于选项C:当a=春时,数歹IJ{看}是以六=甘为首项,-1为公差的等差数歹U,
21
3存不+1=1+/,
...当〃=7时,而有最小值,。7=飞二九+1=-1,故选项C错误,
对于选项。:若数列{的}为递增数列,则由4可知a#1,
由8可知数列匕上?是以二一=工为首项,-1为公差的等差数列,
即一1ax-la-1
a—an+n
an=-----:-
a—an+n
:{〃”}为递增数列,,三VI,
.'.a<1,故选项。正确,
故选:ABD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
TTTTT5
13.(5分)已知a=(3,4),b=(2,x),若a_Lb,则|b|=万.
【解答】解:根据题意,a=(3,4),b=(2,x),
TTTT,4
若alb,则a・b=6+4x=0,解可得x=—,,
则片=(2,-|),则।汇5
2;
故答案为:|.
2
14.(5分)己知x>0,y>0,x+^=4y-y,则x+,=3
Xy
第10页共16页
【解答】解:;x>0,.,.x+:22a=4,当且仅当x=2时等号成立,.•.x+:24,
:.y>0,;.4厂>=_(y-2)2+4W4,此时y=2,
=4y-y2=4,/.x=y=2,
=3,
故答案为:3.
15.(5分)已知点A(遮,1),点P在圆/+y2=l上,则直线.倾斜角的最大值为
【解答】解:设直线A尸的斜率为匕倾斜角为a,
方程为:y—1=k(x—V3)=>kx—y+1-V3fc=0,
当直线AP是圆?+/=1的切线时,
11—y/3kI——
有/「=1=k=0或k=V3,所以有0<k<V3,
迎f2+i
即。<tana<\/3=>0<a<^,
TC
直线AP倾斜角的最大值1,
7T
故答案为:
16.(5分)已知函数/(%)=sinx+B|cosx],写出函数/(九)的一个单调递增区间_[一去_
71TC77r
-J_;当/曰。,时,函数/(X)的值域为[1,2],则a的取值范围是二〕.
626
【解答】解:当一*+2/CTTW无W5+2kn,k£Z时,f(x)=sinx+A/5cosx=2sin(x+1),
7T37r「TT
当一+2/CTT<x<一+2knkeZ时,f(x)=sinx—V3cosx=2sin(x—了),
2293
令一代x+>?得一普
故函数f(x)的一个单调递增区间为[一号勺;
TT7T7T
由正弦函数的性质可知,/(%)在[0,%]上单调递增,在《,刀上单调递减,
当蚂。,京时,f8e[L2]且"0)=6,咒)=1,
令一狂尸父去得Y-W手
所以/(x)在g,等]上单调递增,函数的值域为[1,2J,
第11页共16页
ItTT3TTg57r117T
令A三<x-0<万,得二-<X<——,
23266
57T3TT77r
所以f(x)在匕-,=]上单调递减且/(二)=1,
626
因为xe[O,0时,函数f(X)的值域为[1,2],
所以]普,
4*L巴一-7兀
练上,—工。工-g-.
,.,.,TTTCTC71T
故答案为:[-2,-]>[-,—]
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=&,b=炳,
c=l.
(1)求siivbsinB,sinC中的最大值;
(2)求AC边上的中线长.
【解答】解:(1)因为遥K泛>1,
所以b>a>c,可得sinB>sinA>sinC,
由余弦定理可得cosB=吃+[-泞=—孝,
2xV2xl2
又BE(0,n),
所以B=等,可得sinB=¥.
(2)设AC边上的中线为B。,则访=;(易+品1),
~~3TC
所以(2BC)2=(B4+BC)2=c2+a2+2accosB=12+(72)2+2x1xV2xcos—=1,
4
T11
所以|BD|=I,即AC边上的中线长为不
18.(12分)已知数列{丽}的前“项和为S",ai=3,S0=l+a”+i.
(1)证明:数列{S-1}为等比数列;
(2)记数列{々}的前〃项和为心,证明:Tn<\.
【解答】证明:(1)因为S”=1+a“+i=1+S1+1-S”,即Sn+1=2Sn~1)
所以S+I-1=2(Sn-1),
故数列{S-1}为等比数列.
(2)因为ai=3,所以Si-1=3-1=2,
第12页共16页
由(1)知,数列{S「1}是首项2,公比为2的等比数列,
所以S”-1=2・2"-1=2",即的=2"+1,
“111
所以或=西I〈不,
故也V1+今+…+1=式:-()=1一次VI,得证•
22乙1-24
19.(12分)如图,正四面体ABC£>,E为AB的中点.
(1)证明:平面EC£)_L平面ABC;
T7T
(2)若CM=(CA,求EM与平面AC£)所成角的正弦值.
【解答】解:(1)证明:为AB的中点.AC=BC,AD^BD,
:.EC1.AB,DELAB,:ECnDE=E,EC,。氏平面EC。,,AB_L平面EC。,
平面ABC,,平面ECO_L平面ABC;
(2)设几=a,AC=b,AD=c,设正四面体ABCD的边长为1,则则面=或=面=1,
->T1,TT1—1
a*b=2>则a・c=2,则c・b=],
设平面ACD的法向量为蔡=xa+yb4-zc,
i—T—T1T11
则=(xa+yb+zc)・b=0,.•.^尤+y+卧二。,①
-♦—>—>T—>—>1]___
m*c=(M+)由+zc)・c=0,.•・]x+/+z=0,②
由①②令x=l,可得y=z=—/,・,・平面AC。的法向量为薪=展一|•"蓊
/.\17l\—\d—ic|=JQ2+J+J一看X£一看X■+看X=J,
DO丫Lzy。乙。乙D
T2T-*1->T-|T
':CM=^CA,:.AM=jb,:E为4B的中点.:.AE=^a,
TTT11->T-->1->1-♦11—11
又EM=AM—AE=ib—5Q,=(Q—彳2?一亍。)•(—b-—Q)=工
3233326-I8
第13页共16页
2+12+12=-3,
乂扇|=J162-1x|+|a2=冬
.•.EM与平面ACQ所成角为0.
则sin6=|cos<m,EM>\=
V42
:.EM与平面ACD所成角的正弦值为〒.
20.(12分)甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛,每场比赛采用5局3胜制(即有一运动员先
胜3局即获胜,比赛结束).比赛排名采用积分制,积分规则如下:比赛中,以3:0或3:
1取胜的运动员积3分,负者积0分,以3:2取胜的运动员积2分,负者积1分,已知
1
甲、乙两人比赛,甲每局获胜的概率为3
(1)甲、乙两人比赛1场后,求甲的积分x的概率分布列和数学期望;
(2)甲、乙两人比赛2场后,求两人积分相等的概率.
【解答】解:(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=(1)3+c1x|x(|)2xR券,P(X=1)=4x(1)2x(|)2X|=挤
P(X=2)=废x(1)2x修)2x人条,P(X=3)==(1)3+cfx(1)2x|x|=1
二夕
・・・X的分布列为:
X0123
P161681
2781819
,数学期望£(X)=0xi|+lx1|+2x^-+3x|=|y
(2)记“甲、乙比赛两场后,两名运动员积分相等”为事件
设第i场甲、乙两名运动员积分分别为Xi,Yi,则X『=3-匕,i=l,2,
因两名运动员积分相等,
:.Xi+X2=Yi+Y2,
即Xi+X2=(3-Xi)+(3-X2),则XI+X2=3,
:.P(M)=尸(Xi=0)P(X2=3)+P(XI=1)P(X2=2)+P(XI=2)P(X2=l)+P
(XI=3)P(X2=0)
第14页共16页
_161168816116_1120
=27X9+81X81+81X81+9X27=6561'
21.(12分)已知椭圆E:各'=l(a>b>0)的右焦点为F、过F的直线与椭圆E交于
点A、B、当直线AB的方程为、=》一孝时,直线AB过椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知点”(或,0),若求直线A8的斜率.
【解答】解:(1)因为过F的直线与椭圆E交于点A、B、当直线AB的方程为y=x-冬
时,直线AB过椭圆的一个顶点.
可得
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