经济数学第十章无穷级数1

第十章无穷级数§10.1无穷级数的基本概念§10.2无穷级数的基本性质§10.3常数项级数的收敛性判别法§10.4函数项级数与幂级数§10.5函数的幂级数展开一、无穷级数的概念1、无穷级数的概念定义1设给定一个数列：称（1）为无穷级数，简称级数.一般项为无穷级数，简称级数.为数时，称为数项级数.为x的函数时，称为函数项级数.前项和称为(1)的部分和.构成一个新的数列:2、级数的收敛与发散称为部分和数列记若不存在,则称级数(1)发散.若称

为级数(1)的余项若则称级数(1)收敛,且收敛和为定义23、数项级数的敛散性的概念若则称级数(1)收敛,且收敛和为所以,级数发散.例1.

判别级数的敛散性.解例2.

判别级数的敛散性.解所以,原级数收敛,且收敛和为1.例4.

判别级数的敛散性.解:(1).级数收敛.例5.

讨论等比级数(几何级数)的敛散性

（q称为级数的公比，a0）解:1).当时,,发散;3).当时,当时,,收敛;2).当时,,发散;当时,,发散.当时,收敛于当时,发散.发散例如例4.

证明调和级数发散.证明反证法与假设矛盾，所以,原级数必发散于是二、无穷级数的基本性质性质1证若则证收敛级数的线性组合仍收敛.性质2性质3证加括号后得(2)(2)的前m项和相当于(1)的前n项和.收敛级数加括号后所得新级数仍收敛,且收敛和不变显然，{Wm}是{Sn}的一个子数列设(1)(1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.反例:收敛,(2).若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛.注意(3).若加括号后所得级数发散,则原级数发散.性质4增加、去掉或改变级数的前有限项，级数敛散性不变.证级数(1)去掉前项得级数(2)为常数,故当时,与的极限同时存在或不存在.所以级数(1)与(2)具有相同的敛散性.其它情况类似可证.级数(2)的前n项和为例如,与具有相同的敛散性,均收敛.但收敛和不同级数的敛散性与前有限项无关.性质5证（1).条件必要而不充分,即逆命题不成立.由,不能断定收敛.收敛，（级数收敛的必要条件）若则注意例如,调和级数但该级数发散(2).逆否命题成立.若则一定发散.例如,因发散例4.

判别级数的敛散性.解:(1).级数收敛.1、正项级数及其敛散性判别正项级数：部分和数列单增：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界.定理1三、常数项级数收敛性判别法2、正项级数敛散性的判别(比较判别法)设1).若收敛,则收敛;2).若发散,则发散.证.定理2推论设都是正项级数,2）若发散，则发散。1）若收敛，则收敛。级数,当时收敛;当时发散.结论比较判别法:将要判定的级数与已知收敛或发散的级数作比较解发散.则当时,有当时;例如,发散;收敛.例1.

判别下列级数的敛散性:解发散,

故原级数发散故原级数收敛.收敛,例2解定理3设为正项级数,(1)若则敛散性相同.(比较判别法的极限形式)(2)若则(2)若则例1.

判别下列级数的敛散性:解发散,

故原级数发散收敛,

故原级数收敛发散,

故原级数发散例2.

判别级数的敛散性:解取因发散,故原级数发散.例3.判别级数的敛散性.解取收敛,故原级数收敛.140809下午例4.判别级数的敛散性.解

而级数收敛,故原级数收敛.取定理4设正项级数当时,级数收敛;当发散;当时,敛散性不定.(比值判别法)u<v…u/v=5解:级数收敛.级数发散.例5.判别级数的敛散性:级数收敛.解.级数收敛.例6.判别级数的敛散性:收敛,故原级数收敛.收敛,故原级数收敛.而定理5设正项级数当时,级数收敛;当发散;当时,敛散性不定.(柯西根值判别法)例7.

判别级数的敛散性:解.级数收敛.级数收敛.原级数收敛.2、交错级数及其判别法交错级数：或即，正负项相间的级数为交错级数。定理若满足:则级数收敛,其余项(莱布尼茨定理)且证.单增且有上界,证毕故例1.

判定级数的敛散性:解.所以级数收敛.所以级数收敛.例3.判定级数的敛散性,解原级数发散.解原级数收敛.（1）任意项级数：为任意实数.3、任意项级数的绝对收敛和条件收敛正项级数,交错级数是任意项级数的特殊情况必定收敛.证设收敛,令由正项级数比较判别法知收敛.收敛,若级数则级数定理7

1).逆命题不成立.注意由性质知,收敛.证毕.发散收敛.例如解故由定理知原级数收敛.对应的正项级数为1).若收敛,则称为绝对收敛.2).若收敛,但发散,则称为条件收敛.（2）绝对收敛、条件收敛.正项级数收敛时一定是绝对收敛注意解故由定理知原级数收敛.对应的正项级数为例2.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?解故原级数绝对收敛.例3.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?解对应的正项级数为因为所以发散所以有故原级数收敛，且为条件收敛。定理8设任意项级数当时,级数绝对收敛;当发散;当时,敛散性不定.发散.若由比值审敛法或根值审敛法判定发散,则可以断定注意例4.判定级数的敛散性,解可见，

总之，级数当|x|<1时，绝对收敛，当x=1时，条件收敛，|x|>1或x=--1时，发散.发散.收敛当x=1时，级数当x=−1时，级数1、函数项级数的概念函数项级数：（1）对确定的点若收敛，称为级数(1)的一个收敛点若发散，称为级数(1)的一个发散点级数(1)收敛点的全体称为它的收敛域.四、函数项级数与幂级数对收敛域内每一点和函数:记则称为余项.例如,2、幂级数及其收敛性形如：特别地（1）（2）(1)是关于的幂级数，(2)是关于的幂级数.例如,幂级数当时,它收敛于当时发散.的收敛域为:(1).如果

l|x|<1,(l0)对幂级数因为由比值判别法得出绝对收敛.(2).如果

l|x|>1,发散(3).如果

l|x|=1,可能收敛可能发散2.如果

l=0,对任何x都绝对收敛.3.如果

l=,对x=0

收敛，对非零x都发散.1.如果

l0综上若幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在,使得当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散;当时,幂级数可能收敛也可能发散;正数R称为幂级数的收敛半径.收敛区间为:其中之一.例如,存在数R=1,当时当时发散.所以的收敛半径为收敛区间为R=1,定理2.(幂级数收敛半径的求法)设对于幂级数(2)其中是(2)中相邻两项的系数.则其收敛半径为:例1.

求幂级数的收敛半径与收敛区间.解所以当时,发散;当时,收敛收敛区间为:例2.求幂级数的收敛区间.解当时,收敛;当时,收敛.收敛区间为:例3.求幂级数的收敛半径及收敛区间:收敛区间为:级数只在x=0处收敛.例4.求幂级数的收敛区间.解令则幂级数变为:收敛半径当时,收敛;当时,发散.收敛区间为:即即所以,原级数的收敛区间为:例5.求幂级数的收敛半径.解(利用正项级数的比值收敛法)当即时,级数收敛;当即时,级数发散所以,收敛半径为另解令则级数变为:所以,原级数的收敛半径为:1、幂级数的运算设幂级数的收敛半径分别为则且1).2).其中性质1.（1）四则运算（1）分析运算幂级数在收敛区域内,和函数满足:性质2在内连续;(2).在内可导,且可逐项求导;(3).在内可积,且可逐项求积;逐项求导或逐项求积后所得幂级数具有与原级数相同的收敛半径,但收敛区域可能改变,主要体现在端点处.说明(1)例1.

求幂级数在收敛区间(-1,1)内的和函数.解设两边求导得两边积分得因所以例2.

求幂级数内的和函数.解:设两边积分得两边求导得另解例3.求幂级数的和函数.解

幂级数的收敛区间为设两边求导,两边积分,当时,易见,所以五、函数的幂级数展开1、泰勒级数2、函数展开成幂级数直接展开间接展开1、泰勒级数泰勒公式若函数在某邻域内有直到阶的导数，则——拉格郎日型余项(1)为的泰勒级数.若在某邻域内有任意阶导数，称(2)为的泰勒级数.(2)在(2)中,特别地(3)称为函数的马克劳林级数.若能展成的幂级数的话,则展开式唯一,就是它的马克劳林级数2、函数展开成幂级数.1o.直接展开法(1).求出的各阶导数:(2).求函数及各阶导数在处的函数值:(3).写出幂级数:并求出收敛半径R.(4).考察当时,是否为零?若则按以下步骤进行:例1.将函数展开成的幂级数.解的麦克劳林级数为:考察级数级数收敛,所以例2.将函数展成的幂级数.解的麦克劳林级数为:例3.将函数展成的幂级数.其中m为任意常数.解所以得级数可以证明，该级数收敛于函数二项展开式特别地,2o.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则(四则法则,逐项求导逐项求积),将所给函数展成幂级数.常用的函数展开式有:例4.将函数展开成的幂级数.解由知例5.将函数展开成的幂级数.解由两边求导得例6.将函数展开成的幂级数.解知即若内的展式已得到,而级数处仍收敛,且处连续,则展式处也成立.由说明尤其是经过求导或求积后得到的展式,必须考虑在端点的情况.解两边积分得因所以当时,收敛,当时,收敛,所以例7.将函数展开成幂级数例8.将函数

展开成

的幂级数.解两边积分得当时,当时,发散,收敛.例9.将函数展开成的幂级数.解由得例10.将函数展开成的幂级数.解例11.将函数展开成的幂级数.解由得例12.将函数展开成的幂级数.解由且得利用函数的幂级数展开式进行近似计算

例1计算要求误差不超过0.0001.解

由二项展开式4、幂级数的应用举例取若取前