电路的分析方法之二电路方程法演示文稿

电路的分析方法之二电路方程法演示文稿当前1页，总共60页。优选电路的分析方法之二电路方程法当前2页，总共60页。3-1网络图论的基本概念12345671512341、图，边和顶点2、子图

退化子图生成子图3、连通图与非连通图4、有向图与无向图6、平面图与非平面图，网孔5、回路（平面图）（非平面图）当前3页，总共60页。3-1网络图论的基本概念1234567151234网孔的概念6、平面图与非平面图，网孔（mesh）内网孔，外网孔内网孔数目b–n+17、对偶图对偶图的概念问题:如何求一给定图的对偶图?GG当图G的某两个节点间连接着一条支路时,则图G的对应的两个网孔之间就有一条公共支路,反之亦然节点网孔(含外网孔)网孔(含外网孔)节点当前4页，总共60页。1245671512343123412347657、对偶图求一给定图的对偶图的方法3-1网络图论的基本概念8、树

树的概念连通子图连通所有节点不含回路2571512343当前5页，总共60页。12456738、树（tree）256314564567

树支及树支数目bt=n–1当前6页，总共60页。8、树（tree）树亦可按满足下面三个条件中的任意两条加以定义连通所有节点；不含回路；仅有n–1条支路

连支及连支数目bl=b–n+19、割集

讨论割集的意义

概念严格定义(两个条件)移去支路的含义12456731467移去支路2、3、5当前7页，总共60页。（cut-set）9、割集124567315673{1、2、4}1273{4、5、6}473{1、2、5、6}273{1、4、5、6}当前8页，总共60页。（cut-set）9、割集例判断支路集合是否为割集。12612345673，4，5，7561234561，2，3，43-1网络图论的基本概念当前9页，总共60页。uk(t)=0KCL

对任一集中参数电路中的任一节点，在任一时间，离开节点的各支路电流代数和等于零。ik(t)=0KVL

对任一集中参数电路中的任一回路，在任一时间，沿回路的各支路电压代数和等于零。树1234561234416T2123T1315T3453T4526T5423T6当前10页，总共60页。1234561234512T7412T8452T9415T10632T11316T12365T13346T14624T15165T16连通所有节点；不含回路；仅有n–1条支路连支bt=n–1bl=b–n+1树支当前11页，总共60页。12345678910111213123456789101112131234567891011121312345678910111213例判断是否为树。{2、4、10、7、8、13}{2、3、11、9、5、8、13}{9、1、10、13、12、7、4}{1、3、6、9、10、11、12}当前12页，总共60页。3-2有向图的矩阵表示从电路考虑要关注一个有向图的哪些信息？3-2-1关联矩阵A12345612341、Aa的编写规则2、Aa的列的特点r(Aa)n1支路节点Aa=aik1

支路k与节点i关联，且方向离开节点i-1

支路k与节点i关联，且方向指向节点i0

支路k与节点i不关联aik=3、（降阶）关联矩阵A10010-1-1110000-100-1100–1-110Aa=当前13页，总共60页。3-2有向图的矩阵表示3-2-1关联矩阵A3、（降阶）关联矩阵A

概念

A的子阵Atr(A)=n-1A=10010-1-1110000-100-11A=01-1100100-110-10100-1246135At=100-11000-1detAt=-11234561234当前14页，总共60页。一般情况的证明结论在矩阵A中，与任一树的树支对应的列组成的（n-1）阶子矩阵是非奇异的。且detAt=±1。

反之，如果(n-1)阶子矩阵的列不对应于任一树的树支，则此(n-1)阶子矩阵一定是奇异的。

Num(T)=det(AAT)12345612343-2-2网孔矩阵M1、M的编写规则m1m2m32、内网孔是一组独立回路r(M)=bn+13-2-3基本回路与基本回路矩阵一个连通图有多少个回路，其中独立的回路是多少个？当前15页，总共60页。1261233-2-3基本回路与基本回路矩阵12345612341356123412451234134124235234456134234612341、基本回路概念基本回路数=bn+124613512342、基本回路矩阵Bf（单连支回路）当前16页，总共60页。3-2-3基本回路与基本回路矩阵242、基本回路矩阵Bf编写规则三个约定(1)先连支后树支；(2)回路的参考方向选取与确定该回路的连支参考方向一致；(3)回路的编号与连支排列的先后顺序相一致；613512342131000-1-1010-1-10001111Bf=246135123Bf=1lFr(Bf)=b–n+1如何选取独立回路?当前17页，总共60页。3-2-4基本割集与基本割集矩阵1、基本割集概念2461352341基本割集数=n12、基本割集矩阵Qf割集的参考方向编写规则三个约定01-110011-101010-1001Qf=246135123Qf=E1(n-1)r(Qf)=n–1123当前18页，总共60页。3-2有向图的矩阵表示3-2-5有向图矩阵间的关系1、关联矩阵与回路矩阵ABT=0

（或BAT=0

）特别，ABfT=0

，AMT=0证明ABfT=0

展开2、回路矩阵与割集矩阵QBT=0

（或BQT=0

）特别，QfBfT=0QfBfT=0

展开当前19页，总共60页。3-3KCL与KVL的矩阵形式3-3-1KCL1、用关联矩阵A表示的KCL2461351234

方程的矩阵形式123456i1i2i3i4i5i6=12310010-10-11100000-100-110Aib=0

方程的讨论，独立和完备的电流变量123100-1110-10i1i2i310-10000-11i4i5i6=–456Atit=–Alil当前20页，总共60页。it=–At-1Alil3-3-1KCL1、用关联矩阵A表示的KCL

方程的讨论，独立和完备的电流变量(连支不可能构成割集)i1i2i3=–10-10000-11i4i5i6456123100-1110-10–12、用基本割集矩阵Qf表示的KCL246135234112324613512301-110011-101010-1001i2i4i6i1i3i5=000

KCL方程Qib=0当前21页，总共60页。3-3-1KCL2、用基本割集矩阵Qf表示的KCL246135234112324613512301-110011-101010-1001i2i4i6i1i3i5=000100010001i1i3i501-111-110-1i2i4i6=1352461it=Eili1i3i501-111-110-1i2i4i6=246

讨论it=Eil当前22页，总共60页。3-3-1KCL3、用网孔矩阵M表示的KCL1234561234m1m2m3123456101-10001-10-10000111M=m1m2m3

方程的导出，网孔电流的概念

独立、完备的电流变量4、用基本回路矩阵Bf表示的KCL

与用M表示KCL类似的思路2461351234213Bf=2461351231000-1-1010-1-10001111

由A表示的KCL出发ib=MTim当前23页，总共60页。3-3-1KCL4、用基本回路矩阵Bf表示的KCL

由A表示的KCL出发it=–At-1AlilFT=–At-1Al=BfTilib=ilitilFTil=1FTil=3-3-2KVL1、用Bf和M表示的KVL2461351234213Bf=2461351231000-1-1010-1-10001111ib=BfTil当前24页，总共60页。24613512342132461351231000-1-1010-1-10001111u2u4u6u1u3u5=0003-3-2KVL1、用Bf和M表示的KVL

方程

讨论246123100010001u2u4u6u1u3u50-1-1-1-10111135=–Bfub=01ul=–Fut当前25页，总共60页。3-3-2KVL1、用Bf和M表示的KVL246123100010001u2u4u6u1u3u50-1-1-1-10111135=–1ul=–FutBfub=0u2u4u6u1u3u50-1-1-1-10111135=–ul=–Fut2461351234213

Mub=02、用Qf表示的KVL应用Qf与Bf的关系当前26页，总共60页。2、用Qf表示的KVL应用Qf与Bf的关系3-3-2KVLub=ulut–Futut=–F1ut=ub=QTutET1ut=ut=QT2461352341123u2u4u6u1u3u5=01110-1–1-100010001u1u3u524613512301-110011-101010-1001Qf=当前27页，总共60页。3、用A表示的KVL3-3-2KVL

方程的导出246135123412345612310010-1-1110000-100-11A=u1u2u3u4u5u6=e1e2e3-1001-10100000-1-101Ub=ATe

独立、完备的电压变量(节点电压)e—节点电压列向量当前28页，总共60页。3-3KCL与KVL的矩阵形式Aib=0Qib=0ib=BfTilib=MTimBfub=0

Mub=0ub=QTutUb=ATeKCLKVLAQfMBf当前29页，总共60页。Rkisk+-usk+-ukikiskRk+-usk+-ukik-+RkiskGkisk+-usk+-ukikGkisk+-usk+-ukik+--Gkisk+ukikGkuskuk=Rkik+usk–Rkiskik=Gkuk+isk–GkuskRkisk+-usk+-ukik3-4-1典型支路及其方程3-4电网络的2b方程当前30页，总共60页。Ib=GbUb+Isb-GbUSbi1i2i3i4i5i6G1000000G2000000G3000000G4000000G5000000G6-is00000+=u1u2u3u4u5u6-G1000000G2000000G3000000G4000000G5000000G60000uS03-4-1典型支路及其方程i1=G1u1–isi5=G5u5–G5us-R1R4R2R3R5R6+usisi1例1写出图示电路以支路电压表示支路电流的支路方程当前31页，总共60页。u1u2u3u4u5u6R1000000R2000000R30-rm0000R40-gmR4R60000R5000000R6R1000000R2000000R3000000R4000000R5000000R6i1i2i3i4i5i6iS00000-=例2写出图示电路以支路电流表示支路电压的支路方程

gmu6+-i2isrmi5R3R1R2R6R4i1i3i4i5R5i63-4-1典型支路及其方程u1=R1i1–R1iSu3=R3i3–rmi5u4=R4i4–R4gmu6u4=R4i4–R4gmR6i6当前32页，总共60页。矩阵形式：Ub=RbIb+Usb-RbISbIb=GbIb+Isb-GbUSbUb、Ib—b维支路电压、支路电流列向量Gkisk+-usk+-ukikRkisk+-usk+-ukikuk=Rkik+usk–Rkiskik=Gkuk+isk–Gkusk3-4-1典型支路及其方程Usb、ISb—b维支路电压源、支路电流源列向量

电源项的正负号

RbISb和GbUSb的隐含意义当前33页，总共60页。3-4-2电网络的2b方程Rb、Gb—支路电阻矩阵和支路电导矩阵（b阶方阵）3-4-1典型支路及其方程R1000000R2000000R30-rm0000R40-gmR4R60000R5000000R6Rb=G1000000G2000000G3000000G4000000G5000000G6Gb=

特点Ub=RbIb+Usb-RbISb（或

Ib=GbIb+Isb-GbUSb）AIb=0BUb=0bn–1b–n+1当前34页，总共60页。3-5支路电流分析法以支路电流为求解对象，直接根据KCL和KVL建立方程3-5-1支路电流方程（1）（2）（3）（4）-R1R4R2R3R5R6+usisi1i6i2i3i4i5i1+i2+i6=0-i2+i3+i4=0-i4+i5-i6=0AIb=0–R3i3+R4i4+R5i5=–uS–R2i2–R4i4+R6i6=0–u1+u2+u3=0–(R1i1+R1iS)+R2i2+R3i3=0–R1i1+R2i2+R3i3=R1iSl1l3l2BUb=0Ub=RbIb+Usb-RbISbBRbIb=–B(Usb–RbISb)当前35页，总共60页。5-2支路电流分析法BRbIb=–B(Usb–RbISb)矩阵形式方程的分析视察法列写方程的规则解题主要步骤第j个方程的左边bjkRkik第j个方程的右边

–bjkuSk–B(Usb–RbISb)=–BUsb当前36页，总共60页。5-2-2含受控电源电路的支路电流方程处理方法(1)(2)(3)312-i1+i2+i3=0-i3-i4+i5=0-i2+i4+i6=0R1i1+R2i2+R6i6=R1iS-R2i2+R3i3-R4i4-rmi5+gmR4R6i6=0R4i4+R5i5

–(R6+gmR4R6)i6=05-2支路电流分析法–R2i2+R3i3–R4i4=rmi5–gmR4u6–R2i2+R3i3–R4i4=rmi5–gmR4R6i6gmu6+-i2isrmi5R3R1R2R6R4i1i3i4i5R5i6例1当前37页，总共60页。例2-usu1R1R3R2+-++-

u1i1i2i3-i1+i2+i3=0R1i1+R3i3=us-μR1i1+R2i2-R3i3=0支路电流分析法评述5-2-3网络含无伴电流源的处理问题两种方法解决(1)虚设电压变量(2)选合适独立回路

(与合适树对应）R3R4R6R5++--us4us6is2R1i1i3i4i5i65-2支路电流分析法当前38页，总共60页。支路电流分析法AIb=0BRbIb=–B(Usb–RbISb)=–BUsb+例写图示电路的支路法方程+++++------1A2V2V3V1VU34U3I164228I2I3I4I512I1–I2–I3–1=0I3+I4–I5+1=0l1l2l3–6I1–4I2=–2–34I2

–2I3+2I4=1+3–2–2I4–8I5=–1–4U3=–1–4(–2I3)–8I3–2I4–8I5=–1当前39页，总共60页。5-3节点电压分析法以n-1个节点到参考节点的电压为求解对象，根据KCL建立方程（1）（2）（3）（4）-R1R4R2R3R5R6+usisi1i6i2i3i4i55-3-1节点电压方程AIb=0AGbATΦ=AGbUSb-AISbIb=GbUb+Isb-GbUSbUb=ATΦGnΦ=InS当前40页，总共60页。（1）（2）（3）（4）-R1R4R2R3R5R6+usisi1i6i2i3i4i5例1100010-11100000-11-1A=i1i2i3i4i5i6G1000000G2000000G3000000G4000000G5000000G6-is00000+=u1u2u3u4u5u6-G1000000G2000000G3000000G4000000G5000000G60000uS0GbISbUSbAGbATΦ=AGbUSb-AISbGnΦ=InS当前41页，总共60页。5-3-2节点电压方程的分析1、节点电导矩阵GnGn=AGbAT1）对称性2）gii—节点i的自电导3）gij—节点i与j的互电导2、节点电流源电流列向量

InS=AGbUSb-AISb=-AIbSG1+G2+G6-G2-G6Φ1iS-G2G2+G3+G4-G4Φ2=0

-G6-G4G4+G5+G6Φ3G5uS(1)(2)(3)(4)-R1R4R2R3R5R6+usisi1i6i2i3i4i5gii=aikGka’kik=1bgij=aikGka’kjk=1biiS=–

aikikSk=1b当前42页，总共60页。-404030204030100v35v++-例112140130140130+++140130140120+++140130+–()140130+–()10040354012=当前43页，总共60页。-us（1）（2）（3）（4）+isi1i2i3i5i6i4R2R1R6R3R5R4例25-3-3含受控电源网络的节点电压方程问题AGbATΦ=AGbUSb-AISb=-AI'bSGnΦ=InS处理办法当前44页，总共60页。u1u2u3u4u5u610000002000000205000001010000050000005i1i2i3i4i5i61000000+=2S10A1S2S5i55S1S5S(1)(2)+-i2i1i3i4i5i6(3)10u6-10010-11-100-11010001A=1、系统方法i3=2(u3+5i5)=2u3+105u5i4=u4+10u6当前45页，总共60页。10000002000000205000001010000050000005-10010-11-100-11010001=Gn-10010-11-100-11010001=5-2-248-42-10-2-11182S10A1S2S5i55S1S5S(1)(2)+-i2i1i3i4i5i6(3)10u65-2-248-42-10-2-1118Φ1Φ2Φ3=1000当前46页，总共60页。2S10A1S2S5i55S1S5S(1)(2)+-i2i1i3i4i5i6(3)10u6Φ1Φ2Φ35-2-248-42-10-2-1118=10002、视察法如对Gn按无受控电源加以整理5-2-2-28-1-2-18Φ1Φ2Φ3=10-5050Φ2Φ2-10Φ3+10Φ310-5050u5u5-10u6+10u6=10-10i510i5+10u6-10u65-2-2-28-1-2-18Φ1Φ2Φ3=（5u5=i5）先将受控电源视为独立电源写出初步的方程当前47页，总共60页。9-6-1011u1u2-2132=注意：与电流源串联的电阻的电导不应出现在节点电压方程中！u1+-5A5S3S4uxu2+-1S2S4S4v+--+ux例写图示电路的节点法方程。12(2+4+3+5)1–(2+4)2=–5–16–(2+4)1+(2+4+1)2=16+4ux=16+4(4+1

–2)当前48页，总共60页。5-3-4网络含无伴电压源（独立的或受控的）支路的处理无伴电压源支路的电导如何处理？1、电压源转移无伴电压源支路的支路方程问题：11--++us1us2R2R3R4R5R6IS12(G2+G4+G5+G6)1=G2(us1+us2)+G4us1+ISi3i3=us1/R3--++us1us2R2R4R5R6IS+us1当前49页，总共60页。2、只含一个无伴电压源支路，问题中又未规定参考节点——选择无伴电压源连接的两节点之一作为参考节点，则另一节点电压为已知。如令2=0，则1=uS13、增设未知量——无伴电压源支路的电流4、广义节点——包围无伴电压源连接的两个节点作闭合面i+--+us1us2R2R3R4R5R6IS132节点电压分析法评述(G2+G4+G5+G6)3(G5+G6)1=ISG2us2令3=0(G2+G4)2+(G5+G6)1=IS+G2us22=1us1当前50页，总共60页。例列写图示电路的节点法方程。-+++--6AI13I12A10V2.2V112250.42134I2I3令2=0则1=3I1

，3=2.2V(2.5+0.5+1)4–2.51–3=41=3I1=3(–0.54)当前51页，总共60页。+-1.520.5343–2–1–26–4–1–33123280=例见教材习题3-23。3–2–1–26–4–1–3512328–32=3–2–1–26–4–105123280=2=2.5V，3=0.5VII=2(3+1.52)=8.5AP=1.52I=31.875W当前52页，总共60页。5-4回路电流分析法回路电流分析法的实质：

以回路电流为求解对象，按KVL建立方程iL1iL2iL3R1R2R3R4R5R6us1+-+-us3isi6i1i2i3i4i5BfUb=0RlIl=ElSUb=RbIb+Usb-RbISbIb=BfTIlBfRbBfTIl=BfRbISb-BfUsb5-4-1回路电流方程当前53页，总共60页。1000-1-1010111001110Bf=Ub=RbIb+Usb-RbISbR1000000R2000000R3000000R4000000R5000000R6Rb=us10-us3000USb=0is0000ISb=iL1iL2iL3R1R2R3R4R5R6us1+-+-us3isi6i1i2i3i4i5BfRbBfTIl=BfRbISb-BfUsb5-4-1回路电流方程RlIl=ElS当前54页，总共60页。iL1iL2iL3R1R2R3R4R5R6us1+-+-us3isi6i1i2i3i4i5R1+R5+R6-R5-R6-R5iL1-uS1-R5-R6R2+R4+R5+R6R4+R5iL2=R2iS-R5R4+R5R3+

R4+R5iL3uS35-4-2回路电流方程的分析1、回路电阻矩阵Rl=BfRbBfT（1）对称性（2）rii——回路i的自电阻（3）rij——回路i回路j的互电阻rii=bikRkb’k