复杂流体讲义

复杂流体讲义第1页/共80页2023/3/262力学面临的机遇和挑战中国科学技术协会主编，力学学科发展报告，中国科学技术出版社，2007年北京１．引言第2页/共80页2023/3/263１．引言力学与天文学是最早形成的两门自然科学。从牛顿时代开始，到十九世纪末，力学以质点、质点系、刚体、理想弹性体和理想流体为模型，运用微积分等数学工具形成了自己完整的理论体系。进入二十世纪后，力学开始以自然界和工程技术中遇到的复杂介质和复杂系统为研究对象，力学研究领域的不断开拓，一方面导致力学新分支学科不断出现，另一方面，使得力学成为现代工程技术（比如：航空航天工程、船舶工程、土木工程、机械工程、热能工程和兵器工程等）的重要基础。。第3页/共80页2023/3/264１．引言2000年底，美国工程院评出20世纪对人类社会影响最大的20项技术，许多关键技术的进展与力学相关。以排在前3位的技术为例：1)电力系统技术。叶轮机、发电机以及输电线路的设计都离不开力学。二十世纪后50年，从力学设计导致叶轮机效率提高约1/3，经济效益达5000亿美元，而力学设计导致锅炉燃烧效率提高的经济效益也非常可观。2)汽车制造技术。力学设计使汽车发动机的效率近50年提高约1/3，仅小轿车节省的燃料费就达2000亿美元，排气污染减少90％以上。3)航空技术。几乎每一阶段的重大进步均与力学家的贡献密不可分。科学技术的进步永无止境。再过100年，20世纪引以为豪的技术成就只是人类现代文明的一个新的起点。第4页/共80页2023/3/265１．引言图-144(M=2.2)协和号(M=2.02)协和号(1976-2003)由法英联合研制，它和图-144(1975-1987)同为世界上仅有的商业超音速客机。1996年2月7日，协和飞机从伦敦飞抵纽约仅耗时2小时52分59秒。第5页/共80页2023/3/266科学大师谈力学“尽管我们今天确实知道古典力学不能用来作为统治全部物理学的基础，可是它在物理学中仍然占领着我们全部思想的中心。”

A.Einstein《物理学的进化》“自然的一切现象，完全可以根据力学的原理用相似的推理一一演示出来。”

牛顿《自然哲学的数学原理》1643-1727

1879-1955第6页/共80页2023/3/267力学与现代工程的关系“力学是航天航空的基石”

王永志

“力学搭起了基础科学与工程技术之间的桥梁”

黄克智“力学能为缓解能源短缺,提高能源利用率做出重要贡献”过增元“宇宙之大,基本粒子之小,力无所不在”杨卫“机械科学技术中的关键问题依赖力学的发展”温诗铸第7页/共80页2023/3/268问渠那得清如许，为有源头活水来．

—宋·朱熹《观书有感》流体力学的源头活水：研究对象的拓展和新研究方法的探寻．１．引言第8页/共80页2023/3/269混沌：少了一颗钉子，….丢了一个国家。Bernard对流在二十世纪初发现１．引言第9页/共80页2023/3/2610孤立波首先由S.Russell(1834)在运河中发现１．引言第10页/共80页2023/3/2611原地重现孤立波的实验（1995）

１．引言第11页/共80页2023/3/2612经典流体力学主要研究牛顿流体的运动规律和应用，二十世纪以来，近代流体流体力学迅速发展，其主要标志之一是研究对象开始从牛顿流体拓展到复杂流体。１．引言第12页/共80页2023/3/2613问题：为什么要关注复杂流体？ICTAM2012大会将在北京举行第13页/共80页2023/3/2614第14页/共80页2023/3/2615II.FluidPhysicsResearchThefluidphysicsprogramencompassesawiderangeofresearchinphysicsandengineeringscience,includingstudiesofheatandmasstransferprocesses,fluiddynamics,andthephysicsofcomplexfluids.A.Complexfluids

1)Colloidsandsuspensions

2)Nanoscalefabricationinthefluidphase

3)Granularmechanics

4)Non-Newtonianfluid

B.Interfacialphenomena

C.Multiphaseflow

andphasechange

D.BiofluidsNASAResearchAnnouncement第15页/共80页2023/3/26161.1复杂流体的例子泥浆火山熔岩钢水第16页/共80页2023/3/2617血液牙膏生活中的：稀饭、果酱、酸奶、沥青、油漆、黏合剂等复杂流体有许多不同于牛顿流体的独特性质1.1复杂流体的例子同学发言：请再举出几个复杂流体的例子．第17页/共80页2023/3/2618电流变液1.2复杂流体的流动特性第18页/共80页2023/3/2619Newtonianfluid

ViscoelasticfluidSpraysoffluids1.2复杂流体的流动特性第19页/共80页2023/3/2620Asuspensionsedimentinginafluid

InaNewtonianfluid

Inaviscoelasticfluid

1.2复杂流体的流动特性第20页/共80页2023/3/2621Dropimpactoffluids

Newtonianfluid

Viscoelasticfluid1.2复杂流体的流动特性第21页/共80页2023/3/2622T.CubaudandT.G.Mason,Foldingofviscousthreadsindivergingmicrochannels,Phys.Rev.Lett.96,114501(2006).1.2复杂流体的流动特性第22页/共80页2023/3/26231.2复杂流体的流动特性Manycomplexmaterialscannotbedescribedbysimplemodels!GroismanA,SteinbergV.EfficientmixingatlowReynoldsnumbersusingpolymeradditives.Nature,2001,410:905-8

第23页/共80页2023/3/2624Weissenberg效应1.2复杂流体的流动特性本讲座将集中讨论复杂的粘弹性流体第24页/共80页2023/3/26251.2复杂流体的流动特性定义：粘弹性流体是一种既具有粘性又具有弹性的介质。首先介绍粘弹性流体的几个经典模型：它们的构造方法非常简单。弹性体是固体力学的理想化模型（弹簧），粘性流体是流体力学的理想化模型（粘性阻尼器）。粘弹性流体是两者组合而成的体系。

spring(Hooklaw)dashpot(Newtonianfrictionlaw)第25页/共80页2023/3/2626

KelvinmodelMaxwellmodelOldroyd-Bmodel1.3粘弹性流体的经典模型问题：如何导出以上系统的应力－应变关系（本构关系）？基本原则：并联:应力相加，应变相同；串联:应力相同，应变相加第26页/共80页2023/3/26271.3粘弹性流体的经典模型第27页/共80页2023/3/26281.3粘弹性流体的经典模型实验表明，以上经典模型过于简单，无法描述某些真实粘弹性材料的行为模式，需要探寻新的开拓方法和新的模型（源头活水）。在进一步开拓复杂粘弹流体本构关系的各种探索中，最大胆的设想由G.W.ScottBlair

在1947年提出．G.W.ScottBlair,Theroleofpsychophysicsinrheology,JournalofColloidScience,1947,Vol.2,pp.21-32

G.W.ScottBlair,Psychoreology:linkbetweenthepastandthepresent,JournalofTextureStudies,1974,Vol.5,pp.3-12

第28页/共80页2023/3/26292.ScottBlair模型G.W.ScottBlair在他的经典论文“心理物理学在流变学中的作用”中指出，弹性体的应力与应变的零阶时间导数成正比，牛顿流体的应力与应变的一阶时间导数成正比，进一步的研究则需要考虑应力与应变的分数阶导数成正比的复杂粘弹性流体。G.W.ScottBlair,Theroleofpsychophysicsinrheology,JournalofColloidScience,1947,Vol.2,pp.21-32

第29页/共80页2023/3/2630Thisisathree-parametermodelandintroducedbyScottBlair.Spring(1676)Dashpot(1686)Fractionalelement

(1947)分数阶导数在描述许多粘弹性材料的流变学行为中十分有效。

2.ScottBlair模型第30页/共80页2023/3/2631FractionalMaxwellfluidA.Hernández-Jiménez,etal,RelaxationmodulusinPMMAandPTFEfittingbyfractionalMaxwellmodel,Polym.Test.21(2002)325–331.PolymerMethylmethacrylateMaxwellfluidPolytetrafluorethyleneThisisafour-parametermodelofviscoelasticfluids.

Conclusion:fractionalelementplaysavitalroleinthedescriptionofcomplexviscoelasticfluids!2.ScottBlair模型第31页/共80页2023/3/2632Canthemeaningofaderivativeofintegerorderdny/dxnhavemeaningwhennis1/2?

(L’Hospital1695

)L’Hospital1661-1704以上内容，欢迎提问2.ScottBlair模型第32页/共80页2023/3/2633一些著名的数学大师都曾着迷于Hospital问题，比如：Euler1707-1783Fourier

1768-1830Laplace1749-1827Abel1802-1829Liouville1809-1882Riemann1826-18662.1ScottBlair模型的数学基础Riemanndevelopedadifferenttheoryoffractionaloperationsduringhisstudentdays,butitwaspublishedonlyposthumouslyin1876.ThefirstuseoffractionaloperationwasAbelin1823(21岁).第33页/共80页2023/3/2634In1819startingwithy=xm,S.F.Lacroixpresentedhisexpressionof½-orderderivativeintermsofLegendre’ssymbolwhichdefinitionofa½-orderwasintroducedbyLaplacein1812.2.1ScottBlair模型的数学基础与Laplace定义的对比Notation:then-foldintegral;

then-orderderivative.第34页/共80页2023/3/26352.1ScottBlair模型的数学基础Then-folditeratedintegraloff(t)isgivenbytheCauchy’sformulaForexampleTheRiemann-LiouvilleoperatoroffractionalintegrationisdefinedasForexample第35页/共80页2023/3/26362.1ScottBlair模型的数学基础ThenwegettheRiemann-Liouvilleoperator

offractionalderivativewhichcoincideswithLaplace’sdefinitionof½-orderderivative.

Taking

=1/2andm=1intheRiemann-LiouvilleoperatoryieldsTakingm-order(misinteger)derivativegives第36页/共80页2023/3/2637Recentlymathematicallyfractionalcalculushasobtainedmuchsuccessinthestudyofphysicsincludingcomplexviscoelasticfluids.R.Hilfer,ApplicationsofFractionalCalculusinPhysics,WorldScientific,2000讨论：除了数学定义和运算，针对ScottBlair模型下一步应该研究的关键问题是什么？目前在聚合材料中，分数阶微积分已经成为分析应力松弛现象的一种极为重要的工具。2.1ScottBlair模型的数学基础关键问题：ScottBlair模型的力学机理和基础。第37页/共80页2023/3/26382.2ScottBlair模型的力学基础H.Schiessel&A.Blumen(1993)

firstlyconstructedfractionalrheologicalconstitutiveequationsonthebasisofwellknownmechanicalmodels.

H.Schiessel&A.Blumen,Hierarchicalanaloguestofractionalrelaxationequations,J.Phys.A:Math.Gen.1993,Vol.26,pp.5057-5069Spring-dashpotladder第38页/共80页2023/3/26392.2ScottBlair模型的力学基础Schiessel&Blumen利用拉氏变换，证明了系统各级弹簧和阻尼器参数满足一定递推关系时，其应变拉氏变换与应力拉氏变换服从以下关系再利用逆变换得到具体的过程将用另一个我们所提出的更加简单的例子来说明。第39页/共80页2023/3/26402.2ScottBlair模型的力学基础HerewepresentanovelmechanicalmodeloffractionalelementQuestion:howdoweobtaintheconstitutiveequationofthetree?Spring-dashpottreewhichwasenlightenedfromaresistor-capacitorself-similarstructure.

I.Podlubny,FractionalDifferentialEquations,AcademicPress,1999.P280,Fig.10.4第40页/共80页2023/3/26412.2ScottBlair模型的力学基础Schiessel&Blumen使用的拉氏变换法，对一层的树形结构：对两层的树形结构：第41页/共80页2023/3/26422.2ScottBlair模型的力学基础对三层的树形结构：递推求解，得到该系统的应变拉氏变换与应力拉氏变换服从以下关系第42页/共80页2023/3/2643令右边为A，利用结构层次为无穷的特点所产生的自相似性，可得到第43页/共80页2023/3/26442.2ScottBlair模型的力学基础解得用另一种方法：Heaviside算子法逆变换得到第44页/共80页2023/3/2645KelvinmodelMaxwellmodelOldroyd-Bmodel2.2ScottBlair模型的力学基础第45页/共80页2023/3/2646弹簧假定系统的本构关系2.2ScottBlair模型的力学基础阻尼器总应变自相似总应力第46页/共80页2023/3/2647Heavisideoperatorpisdisposedasaparameterduringthealgebraicoperation.2.2ScottBlair模型的力学基础第47页/共80页2023/3/26482.2ScottBlair模型的力学基础Heavisidedevelopedoperationalcalculusbetween1880and1887,whichisoneofthethreemostimportantmathematicaldiscoveriesofthelate19thCenturyandcausedmuchcontroversy.

R.Courant&D.Hilbert,MethodsofMathematicalPhysics,Vol.IIPartialdifferentialequations,IntersciencePublishers,JohnWiley&Sons,1962,P507Heaviside(1850-1925)Heaviside'soperationalcalculuswasplacedonarigorousmathematicalbasisbyJanMikusinski,whoconstructedanalgebraicsettingfortheoperationalmethods.J.Mikusinski,OperationalCalculus,PergamonPress,NewYork,1983

在运算微积中，算子p作为参数进行代数运算，有依据吗？

第48页/共80页2023/3/2649瞬态问题或混合问题有重要应用背景(比如:机电工程)，讨论这一问题的文献很多，其中重点是Heaviside符号算子法。该方法处理问题直捷惊人，往往能给出不能以其它方法同样简单地获得的明确解答。原先发表这一方法时对于符号运算步骤并无严格道理可讲；事实上，Heaviside对职业数学家的疑虑甚至颇表不屑。然而Heaviside方法的成就压倒一切，使人们非得从数学上去弄清它的道理不可，结果完全证明这种方法有理论依据，而终于大大促进符号方法的发展。

引自R.Courant和D.Hilbert的经典名著“数学物理方法”第五章附录二“瞬态问题和Heaviside运算微积”2.2ScottBlair模型的力学基础第49页/共80页2023/3/26502.2ScottBlair模型的力学基础I.Podlubny,FractionalDifferentialEquations,AcademicPress,1999.(P274,Fig.10.3)homeworkKelvinmodel

第50页/共80页2023/3/26512.2ScottBlair模型的力学基础homework2第51页/共80页2023/3/26523.1圆管起动流动量方程初边值条件是速度分解为定常和非定常两部分之和

为Heaviside阶跃函数

3.复杂粘弹性流体的流动第52页/共80页2023/3/2653定常部分解的非定常部分应满足齐次方程与定常部分迭加在一起，得到3.1圆管起动流第53页/共80页2023/3/26543.1圆管起动流第54页/共80页2023/3/2655问题：Scott-Blair模型的圆管起动流是否会有不同的特性？3.1圆管起动流第55页/共80页2023/3/2656分数元模型动量方程其中得到3.1圆管起动流第56页/共80页2023/3/2657用Heaviside运算微积和分数阶微积分得到其中

称为Mittag-Leffler函数,是指数函数的推广,为指数函数

3.1圆管起动流第57页/共80页2023/3/2658第58页/共80页2023/3/2659第59页/共80页2023/3/2660第60页/共80页2023/3/2661第61页/共80页2023/3/2662小结l

Theconstitutiveequationsofspring-dashpotsystemscanbeeasilyderivedbyoperationalmethods.

l

Anewmechanicalsystemoffractionalelementispresented.l

Theexactsolutionofstartingflowoffractionalelement

inapipeisobtained.l

Thestarting

flowoffractionalelement

inapipewillstopfinallyexcept.第62页/共80页2023/3/2663讨论牛顿流体在静止时不能承受剪切力，为何分数元流体会出现类固体的特性？Kelvin模型

Maxwell模型Oldroyd-B模型第63页/共80页2023/3/2664讨论第64页/共80页2023/3/26653.2圆管振荡流牛顿流体3.复杂粘弹性流体的流动第65页/共80页2023/3/2666牛顿流体3.2圆管振荡流第66页/共80页2023/3/2667第67页/共80页2023/3/2668FractionalMaxwellmodelMaxwellmodelwhena＝b

＝1分数阶Maxwell流体的圆管振荡流3.2圆管振荡流第68页/共80页2023/3/2669Exactsolution3.2圆管振荡流第69页/共80页2023/3/2670Maxwellfluid

PTFE3.2圆管振荡流第70页/共80页2023/3/26713.3复杂粘弹性流体的Couette流Tan,W.C.&Xu,M.Y.,PlanesurfacesuddenlysetinmotioninaviscoelasticfluidwithfractionalMaxwellmodel.ActaMech.Sinica(2002)18:342–349W.Shaowei&X.Mingyu,ExactsolutiononunsteadyCouetteflowofgeneralizedMaxwellfluidwithfractionalderivative,ActaMechanica(2006)187:103–112HaitaoQi&HuiJin,UnsteadyrotatingflowsofaviscoelasticfluidwiththefractionalMaxwellmodelbetweencoaxialcylinders,ActaMech.Sinica

(2006)22:301–305第71页/共80页2023/3/26724.分数阶微积分在流体力学中的其它应用Sugimoto,N,PropagationofnonlinearacousticwavesinatunnelwithanarrayofHelmholtzresonators.JFM,1992,244:55-784.1在排列有一组Helmh