小专题复习课（六）算法、统计、概率

小专题复习课（六）算法、统计、概率热点聚焦考

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热点一：程序框图

1.以程序框图为主要考查对象，常与数列、三角、统计等知识交汇命题2.试题以选择题、填空题为主，考查学生的基础知识、基本技能，属于基础题

热点二：古典概型

1.以求概率为主要考查对象，常与排列、组合等知识交汇命题2.试题以选择题、填空题为主，考查学生的基础知识、基本技能，属于基础题热点聚焦考

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热点三：几何概型1.以求概率为主要考查对象，常与几何图形的长度、角度、面积、体积等知识交汇命题2.试题以选择题、填空题为主，考查学生的基础知识、基本技能，属于基础题热点四：互斥事件、对立事件及其概率的求法1.该类问题涉及的知识面较广，常与随机事件概率、古典概型等知识结合在一起考查2.多以选择题、填空题形式出现，考查互斥事件、对立事件的基本概念及其概率的求法，属于基础题热点聚焦考

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热点五：条件概率、相互独立事件的概率以及二项分布概率的求法1.该类问题涉及的知识面较广，常将等可能事件、互斥事件、独立事件的概率、二项分布综合考查2.多以选择题、填空题形式出现，考查等可能事件、互斥事件、对立事件的概率、独立事件的概率、二项分布的概率，考查条件概率的求法，属于中档题

热点六：离散型随机变量的概率分布列及其期望、方差的求法1.该类问题涉及的知识面较广，常将等可能事件、古典概型、互斥事件、对立事件的概率、排列与组合等知识综合考查2.常以解答题形式出现，考查等可能事件、互斥事件、对立事件的概率，考查离散型随机变量的期望与方差的求法，属于中档题热点一

程序框图1.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()(A)3(B)4(C)5(D)6【解析】选B.由a=1,i=0→i=0+1=1,a=1×1+1=2→i=1+1=2,a=2×2+1=5→i=2+1=3,a=3×5+1=16→i=3+1=4,a=4×16+1=65＞50，∴输出i的值为4.2.(2013·东北三校联考)如图，若依次输入的x为相应输出的y分别为y1,y2,则y1,y2的大小关系是()(A)y1=y2(B)y1＞y2(C)y1＜y2(D)无法确定【解析】选C.由程序框图可知，当输入的x为时，sin＞cos成立，所以输出的y1=sin=当输入的x为时，sin＞cos不成立，所以输出的所以y1＜y2.3.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填_____，输出的S=_____.队员i123456三分球个数a1a2a3a4a5a6【解析】由题意可知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的相关知识可知，判断框应填i＜7？或i≤6?，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6，故输出的S=a1+a2+…+a6.答案:i＜7?(或i≤6?)a1+a2+…+a6热点二

古典概型1.已知函数y＝x－1，令x＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P1，P2，则P1，P2两点在同一反比例函数图象上的概率是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.所有基本事件的总数为36，其中(2,1)，(-1，-2)在反比例函数的图象上，(3,2)，(－2，－3)在反比例函数的图象上，(4,3)，(－3，－4)在反比例函数的图象上，因此，概率为2.在区间［0,4］上随机取两个整数m，n，则关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根的概率为()(B)(C)(D)【解析】选D.因为方程x2－x＋m＝0有实数根，所以n－4m≥0.由于m，n∈［0,4］且m，n是整数，因此，m，n的可能取的值共有25组，又满足n－4m≥0的分别为共6组，因此有实数根的概率为3.设函数f(x)＝的定义域为D.(1)a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，求使D＝R的概率.(2)a∈［0,4］，b∈［0,3］，求使D＝R的概率.【思路点拨】函数定义域为R，说明其判别式不大于零，第一问中(a，b)取值个数有限，是古典概型.第二问中(a，b)的取值个数无限，是几何概型，把(a，b)看作坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可.【解析】(1)∵a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，∴(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种.而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，那么满足D＝R的(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种，∴其概率为(2)∵a∈［0,4］，b∈［0,3］，∴所有的点(a，b)构成的区域的面积为12，而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，满足a∈［0,4］，b∈［0,3］，|a－1|≤b的点(a，b)构成的区域的面积为7，故所求概率为热点三

几何概型1.(2013·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()【解析】选∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B).2.(2013·武汉模拟)已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0}，A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点B，则点B落入区域A的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.属于几何概型，Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0}的面积为18，A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0}的面积为4，3.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝________.【解析】圆的面积是π，正方形的面积是2，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝答案:4.一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________.【解析】如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为答案:热点四

互斥事件、对立事件及其概率的求法1.一个掷骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)=P(B)=∵表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而2.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率为取到方片(事件B)的概率为则取到红色牌的概率为______.【解析】将取到红色牌记为事件C，由于事件A与事件B是互斥的且C＝A∪B，由P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝答案:3.一盒中装有各色球12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求取出一球是红球或黑球或白球的概率.【解析】取出一球为红球记为事件A，取出一球为黑球记为事件B，取出一球为白球记为事件C，那么取出一球是红球或黑球或白球，即为事件A∪B∪C，由于事件A、事件B、事件C彼此互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)热点五条件概率、相互独立事件的概率以及二项分布概率的求法1.(1)高三(1)班的甲、乙两个数学兴趣小组中，甲组有5名同学，乙组有7名同学，现从中抽取3人参加数学竞赛，已知甲组有一名同学确定参加，求另两名同学恰好每组一名的概率.(2)某科研所培育成功一种玉米新品种，经试验知该玉米品种的发芽率为0.9，出芽后幼苗的成活率为0.8，求玉米新品种的一粒种子能成长为幼苗的概率.【解析】(1)记A＝{甲组有一名同学确定参加}，B＝{另两名同学恰好每组一名}，则n(A)＝(2)记A＝{一粒种子发芽}，B＝{一粒种子成长幼苗}，依题设P(A)＝0.9，P(B|A)＝0.8，则所求事件的概率P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为乙队中3人答对的概率分别为且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲队总分不低于2分的概率.(2)用A表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).【解析】(1)由于甲队每人答对的概率均为因此甲队3人依次答题可视为独立重复试验模型，记Ci表示事件“甲队总得分为i分”，i＝0,1,2,3，且Ci互相独立，则所求事件的概率为P(C2∪C3)＝P(C2)＋P(C3)＝(2)用Ak表示事件“甲队得k分”，Bk表示事件“乙队得k分”，k＝0,1,2,3，且Ak和Bk(k＝0,1,2,3)相互独立，则P(AB)＝P(A3B0＋A2B1)＝P(A3)P(B0)＋P(A2)P(B1)＝热点六离散型随机变量的概率分布列及其期望、方差的求法1.设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝k＝0,1,2,3，则c＝_________.【解析】由P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1得答案：2.某项专业技术认证考试按科目A和科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为科目B每次考试成绩合格的概率均为假设各次考试成绩合格与否互不影响.(1)求他不需要补考就可获得证书的概率.(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加2次、3次、4次考试的概率.【解析】设“科目