喀兴林高等量子力学习题EX142013

练习14.1对于一个纯态的密度算符，证明：；（1）2（2）在的本征值中，必有一个且仅有一个等于1；det0。（3）化的纯态为，由解：（1）设归一2所以，2（2）由得即所以1，即在的本征值中，必有一个且仅有一个等于1。1为(3)由上题知，的本征态则m11nmnm1n1角阵，而且对角元中1它是一个对易得det0只有一个元素不为0（）1111#14.2从一个描写纯态的密度算符，能否求出：（何贤文）（1）任意物理量在此态中取各值的概率？（2）此物理量取各值的概率幅？（3）描写这个态的态矢量？，其中是归一化的态矢量。描写纯态的密度算符解：（1）任意物理量A在态中取值ia的概率W：iaaaaaW2iiiiii是a，态矢量是由有限个态叠（2）设物理量A的本征矢量为a，相应的本征值ii加得到的，即cncc1122n物理量A在状态中取各值a的概率幅为iaacca1ca2ii1i2inn1c11c212cini12i22nn12cijjj1（3）处于纯态时，系统的密度算符是将上式中的作用于态矢，有即是在上式中，1是算符的一个本征值。的矩阵元可以表示为：在坐标表象中，密度算符rrrr(,)rr即有(r,r)r2#14.3一个纯态，由态矢量描写转为密度算符描写后，是丢失了一些信息呢还是一点信息也没有丢失？（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）解：一个纯态，由态矢量描写转为密度算符描写后，是一点信息也没有丢失。密度算符一个物理量A在态中的平均值可以写成nAntrAAAnnA(1)nn物理量A在态中取值a的概率WiiWiaaaaa2(2)iiiii由（1）和（2）两式可知，密度算符可以完全替代态矢量来描写纯态，密度算符包含了态矢量的一切信息。#14.4对于（14.27）式类型的密度算符[满足（14.28）式的条件]，证明（14.20）和（14.21）二式成立。（做题者：班卫华审核者：何贤文）：由题意，得证明m'Pmmm'PCPC,P1,Cm,C21mimm''imiimiimi取一组基n，利用完全性关系iimnn1，有nm'Pmnnm'CPCmnntrm'mm'im'mmi'nm'mnmmmmPP1im'm'iiiim'miitr2nm'Pmm'Pmnmm'jmm'im'n'CPCmm'm'iiijCPCmjmmmim'jmj'ijmmm'm'Pmmm'm'Pmmiiijjjmm'ijPPPPP2P1j22ijijijiijjiijijijij对纯态，m'Pm,2mm'm'Pmmm'm'CPCmnm'Pmnn2ntr2mm'm'iiminnmm'mmPP1mm'im'm'iiiimm'ii#练习14.5当（14.19）式中参与混合态的状态是归一化且互相正交时，重新证明密度算i符的性质即（14.20）和（14.21）二式。（张伟）证明：取一组基{n}，利用完全性关系nn1，有n|p|n|npp1iitriiiiiniii上式即为（14.20）式tr2|p|njn|piiijjijn|ppj|jiijiij因为（14.19）式中参与混合态的状态是归一化且互相正交的，所以i|j即tr2iijppp1jiijijiiji#练习14.6由一个单电子自旋态，已知在此态中自旋三个分量的平均值S、S、S，xy求：（1）此态的密度矩阵；（2）此态纯态的条件。成为010i10Sx，S，S解：（1）已知2102i0201yabcd令由AtrA，得01abcd2(cb)SSStrStr210tr（1）（2）（3）2cdabxyx0iabicid(icib)ibtrStrcdtr2022iiay10abab2(ad)trStrtr201cdcd2tr1密度算符的性质，又由ad1所以（4）由(1)、(2)、(3)、(4)可解得：SiSx1S2ySiS1SxY2tr1（2）满足纯态的条件是2SiSxSiSx1212SSyy2SSSiSSiS11xYxY22S2Sx2(1S)2y22S2Sx22(12)2Sy12S22(S2Str2)12222xy即得S2S2S224xy2S2S2S2。所以此态成为纯态的条件是4xy#14.7有一自旋混合态，其参与态及概率如下：（高思泽）11111,p122,p;,p;11044412322（1）求这个态的密度矩阵，判断此态是否混合态。（2）求能给出同样密度矩阵的两个正交态及相应的参与概率。（3）用（2）中所求得的结果反过来去计算密度矩阵作为验证。解：（1）这个态的密度矩阵为11151110112211181311221140242222tr1,tr291，所以此态为混合态。可以算出16（2）是厄米算符，求出其本征态和本征值。1令其本征态，本征值为p，则a5111|1p813aa52解得：a12,p88本征态和本征值为：1p12,1228111p12,122812,可知正交，其相应的本征值即为相应的参与概率。12（4）用（2）中所求得的结果反过来去计算密度矩阵