高等数学中国人民大学答案

高等数学中国人民大学答案出版社高数(第四版)习题1-3答案观察一般项xn如下的数列?xn?的变化趋势，写出它们的极限：；（2）xnn（1）xn（5）xn?13n???1?n1n；（3）xn?2?1n3；（4）xn?n?2；n?2???1?n知识点：数列定义。思路：写出前几项，观察规律。解：（1）,131,9127,1???0；811111,?,,?,??0；23451111,2?,2?,???2；（3）2?1,2?,2?8276412544441?1?,1?,1?,?1?,??1（4）xn?1?n?2345100（2）?1,（5）?1,；2?3,4,???。★★2．利用数列极限定义证明：（1）lim11?3n3n?2k?0lim?limsinn?0。（为正常数）；（2）；（3）2n??nkn??4n?1n??4n?2知识点：极限定义。思路：按定义即可。证明：（1）lim11?0：对任意给定的正数，要使＊?0???kn??nkn，即??1???n，只要取???1?0n??nk1k1??k11??n?????，则对任意给定的??0，当n?n时，就有k?0???????n??，即lim1??k1??（注，只要保证n的取值能够让n以后的所有项的值满足＊式即可，因此n可取大于或等于???????????的整数）；（2）lim1?3n33n?137?：对任意给定的正数?，要使＊????，只要n??4n?144n?144(4n?1)，∴取nn?7?4?16?3n?13?7?4??，则对任意给定的??0，当n?n时，就有??????4n?14?16??，∴lim1?3n3?n??4n?14n?2cos?0?n2n1，取n1n?1cos?0??，只要??，即n2n，则对任意给定的?n???1????（n???取大于或等于?1????的整数都可以）???0，当n?n时，就有当?1n?1n??0。cos?0??，∴limcosn??n2n2?0?001时，可取n?1000。★4．设ann??1???1??sin2?n?，证明数列?an?没有极限。知识点：判定数列极限不存在的方法思路：若某数列极限为a，则其任意子列的极限都为a，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列极限不存在。证明：令n?2k,1?2k??k?n，则得子列a2k??1??sin2?2k?，当n??时，k??；则lim1?2k???0；1??sin?k??2?2k?取另一个子列n?4k?1,k?n，得a4k?11?(4k?1)??1???????1???1??sin?sin?2k???，22??4k?1??4k?1??当n??时，k?4k?1???lim1?1?1；1????，则lim?1?sin?k??k??4k?12?4k?1??0，证明：limxnyn?0。n??综上，原极限不存在。★5．设数列yn?xn?有界，又limn??知识点：数列有界及数列极限定义思路：有条件可知xn?m；yn??1，如何让两者结合，证明xnyn??成立，是解决问题的关键。证明：①数列?xn?有界，则存在正常数m，使对任意n，都有xn?m，则xnyn?myn；②limn??yn?0，则对任意正数?1，存在n，当n?n时，有yn??1；则对于任意正数?，取?1从而有：??m,由②可知：存在自然数n，当n?n时，有yn??1??m，xnyn?m??0?m??，∴limxnynn??★6．对数列x2k?1?a，limx2k?xn?，若limk??k???a，证明limxn?a。n??知识点：子列极限和原数列极限的对应关系；思路：对???0，根据条件，寻找使xn?a??成立的n的范围。证明：对于???0，由limx2k?1?a，则存在n1，当2k-1?n1时，x2k?1?a??；k??由limx2kk???a，则存在n2，当2k?n2时，x2k?1?a??；取n（无论n?2k?1还是n?2k）?max?n1,n2?，当n?n时，都有xn?a??，即limxn?a。n??【篇二：网络人大-数学作业一~答案】txt>第一章函数第二章极限与连接纯手工手写无聊弄的欢迎前来下载希望同学作业能够做满分【篇三：中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第6章课后习题详解】txt>课后习题全解习题6-2★1．求由曲线y?x与直线y?x所围图形的面积。知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为x-型还是y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1∵所围区域d表达为x-型：??0?x?1?0?y?1，（或d表达为y-型：?2）?x?y?x?y?x?y312121∴sd??(x?x)dx?(x2?x)?032601（sd★2．求在区间[0，??(y?y2)dy?11）6?/2]上，曲线y?sinx与直线x?0、y?1所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为x-型还是y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-2???0?y?1?0?x?∵所围区域d表达为x-型：?，（或d表达为y-型：）?2?0?x?arcsiny??sinx?y?1?∴sd2???(1?sinx)dx?(x?cosx)021??2?1（sd★★3．求由曲线??arcsinydy??2?1）y2?x与y2??x?4所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为y-型时解法较简单，所以用y-型做解：见图6-2-3?y2?x?x?2∵两条曲线的交点：?，??2y??y??x?4??∴所围区域d表达为y-型：???2?y?2?y?x?4?y22，∴sd???2(4?y?y)dy?(4y?y3)23?222?21623（由于图形关于x轴对称，所以也可以解为：sd?2?2216(4?y?y)dy?2(4y?y3)?2）33022★★4．求由曲线y?x2、4y?x2、及直线y?1所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为y-型时，解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域d1表达为y-型：?0?y?1，y?x?2y??31∴sd?2sd12?2?(2y?y)dy?2?y2031?430?x?1??2（若用x-型做，则第一象限内所围区域d1?da?db，其中da：?x2，?y?x??41?x?2?12x2x24?22dx?(1?dx]?；∴sd?2sd?2[?(x?）db：?x?1410?y?143??41★★5．求由曲线y?与直线y?x及x?2所围图形的面积x知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为x-型,解法较简单，所以用x-型做解：见图6-2-5∵两条曲线y?x和y?x的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和x?2分别交于(2,1、(2,2)21?x?2??1∴所围区域d表达为x-型：?，?y?x??x∴sd??21113(x?dx?(x2?lnx)??ln2x22y2?2x分圆x2?y2?8的面积为两部分，求这两部分的面积2★★★6．抛物线知识点：平面图形面积思路：所围图形关于x轴对称，而且在第一象限内的图形表达为y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为sd1，剩余面积为sd2∵两条曲线y2?2x、x2?y2?8的交于(2,?2)（舍去x??4的解），??2?y?2?2∴所围区域d1表达为y-型：?y2?x??y??2∴sd12；又图形关于x轴对称，2y2y34422?2?(8?y?)dy?2(?8?y?)?2(??2??2??00260332（其中?28?ydy2y?22sint????422cost?22costdt?8?41?cos2t???2）2∴sd2??8?2??44?6??33★★★7．求由曲线y?ex、y?e?x与直线x?1所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为x-型时，解法较简单，所以用x-型做解：见图6-2-7∵两条曲线y?ex和y?e?x的交点为（0，1），又这两条线和x?1分别交于?1(1,e)和(1,e)?0?x?1?xx?e?y?e10∴所围区域d表达为x-型：?1，∴sd??(ex?e?x)dx?(ex?e?x)?e?e?1?2★★★8．求由曲线y?lnx与直线y?lna