2023年高考数学模拟试卷（四）含答案

高考数学模拟试卷一、单选题1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（）A．2 B．－2 C． D．42．“方程表示椭圆”的一个充分条件是（）A． B． C． D．3．记，则（）A． B． C． D．4．已知等差数列满足，，则（）A． B． C． D．5．的展开式中的常数项为（）A．-60 B．60 C．64 D．1206．已知点在直角的斜边上，若，，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（）A．8 B．12 C．16 D．248．已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（）A．2 B． C． D．二、多选题9．已知数列满足：，，下列说法正确的是（）A．，成等差数列B．C．D．，一定不成等比数列10．已知函数满足，则下列结论正确的是（）A．在区间上一定有极大值点B．在上单调递减C．在区间上的零点个数为0D．在区间上可能有极小值点11．“堑堵”“阳马”和“鳖臑””是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．12．设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（）A．线段长度的最小值为4B．若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为C．D．三、填空题13．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC周长的最大值为．15．为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度（单位：cm）的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作物植株高度的80%分位数约为cm.16．定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是．四、解答题17．已知数列，是的前项的和，且满足，数列是等差数列，，.（1）求，的通项公式；（2）设数列的前项和为，设，求的前项的和.18．在中，内角的对边分别为，，，且，.（1）若的周长为，求，的值；（2）若的面积为，求的值.19．如图，在三棱柱中，，D为中点，四边形为正方形．（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.21．湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人．附：0.0500.0100.0053.8416.6357.879参考公式：，其中．（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联?

满意不满意合计工薪族非工薪族合计（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束.记此时抽样次数为．(i)若，求的分布列和数学期望；(ii)请写出的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明的数学期望的实际意义．22．近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：

大学大学大学大学当年毕业人数（千人）3456自主创业人数（千人）0.10.20.40.5参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．（ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；（ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围．

1．A2．A3．A4．B5．B6．D7．C8．C9．B,C,D10．A,D11．A,C,D12．A,B,D13．14．15．7816．17．（1）解：由数列中，满足，当时，，两式相减，可得，即，当时，解得，所以数列是等比数列，所以数列的通项公式为.又由是等差数列，设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）可得，则，所以，则，即.18．（1）解：因为，，所以①在中，由余弦定理得，即②由①②得③.由①③得.（2）解：由，得，由正弦定理，得，，所以，即.19．（1）证明：取的中点，连接，在三棱柱中，因为是的中点，所以，，又因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又由且平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解：若选条件①：因为，，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为且四边形为正方形，可得，则，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．若选条件②：解：因为四边形为正方形且，可得，又因为，所以，由，所以，以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为且四边形为正方形，可得，则，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．20．（1）解：由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，所以双曲线的方程为.（2）证明：由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则且，设，则，直线的方程为，令，可得，即，同理可得，因为为的中点，所以，即，可得，即，所以或，若，则直线方程为，即，此时直线过点，不合题意；若时，则直线方程为，恒过定点，所以为定值，又由为直角三角形，且为斜边，所以当为的中点时，.21．（1）解：由题意可知

满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120．根据的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；（2）解：(i)当时，的取值为1，2，3，4，5．由（1）可知市民的满意度和不满意度分别为和，所以，．所以的分布列为12345P所以；(ii)由①得令，①所以②①-②得所以当