2021-2022学年北京时代中学高一数学理联考试卷含解析

2021-2022学年北京时代中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（为正整数），若存在正整数满足，那么我们将叫做关于的“对整数”，当时，“对整数”的个数为（

）．A． B． C． D．参考答案：C本题主要考查对数函数．因为，所以，所以，，，，，，，，满足要求，所以当时，则“对整数”的个数为个．故本题正确答案为．2.已知集合；,则中所含元素的个数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.设，则

（A）a>b>c

（B）c>a>b

（C）b>c>a

(D)b>a>c参考答案：B4.下列事件中，必然事件是(

)A．抛掷两枚硬币，同时正面朝上

B．张家口市七月飞雪C．若xy＞0，则x＞0，y＞0

D．今天星期六，明天是星期日参考答案：D略5.函数f（x）=的定义域为（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．[1，2） D．[1，2）∪（2，+∞）参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥1且x≠2，故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞），故选：D．6.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分

的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之

和是

(A)62

(B)63

(C)64

(D)65

参考答案：C略7.函数在区间(1，3)内的零点个数是（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】先证明函数的单调递增，再证明，即得解.【详解】因为函数在区间(1，3)内都是增函数，所以函数在区间(1，3)内都是增函数，又所以，所以函数在区间(1，3)内的零点个数是1.故选：B【点睛】本题主要考查零点定理，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.数列中第10项是（）A

B

C

D

参考答案：A9.已知向量则的坐标是A．（7，1）

B．

C．

D．

参考答案：B10.如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（

）A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为 D.相交且夹角为参考答案：D【分析】先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.【详解】将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.故选:D.【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数恒过定点

.参考答案：12.函数,当时是增函数，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：略13.若圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，则实数m的值为

．参考答案：﹣3【考点】圆方程的综合应用．【分析】由圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，知圆心C（2，﹣1），过点C作y轴的垂线交y轴于点D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，由此能求出实数m．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0，∴（x﹣2）2+（y+1）2=5﹣m，圆心C（2，﹣1），因为∠ACB=90°，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，∴5﹣m=CB2=4+4，解得m=﹣3．故答案为：﹣3．14.（5分）幂函数y=（m2﹣m+1）x5m﹣3在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为

．参考答案：0考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m2﹣m+1=1，再根据函数在（0，+∞）上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m值应满足以上两条．解答： 因为函数y=（m2﹣m+1）x5m﹣3既是幂函数又是（0，+∞）的减函数，所以，解得：m=0．故答案为：0．点评： 本题考查了幂函数的概念及性质，解答此题的关键是掌握幂函数的定义，此题极易把系数理解为不等于0而出错，属基础题．15.设M、N是非空集合，定义M⊙N＝{x|x∈M∪N且xM∩N}．已知M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝2x，x>0}，则M⊙N等于________．参考答案：{x|0≤x≤1或x>2}16.已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是．参考答案：16【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为：R，所以2R+2R=16，所以R=4，扇形的弧长为：8，半径为4，扇形的面积为：S=×8×4=16故答案为：16．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．17.在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间内，则下一步可判定该根所在的区间是_______________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知全集,集合R，；（1）若时，存在集合M使得，求出这样的集合M；

（2）集合、是否能满足？若能，求实数的取值范围；若不能，请说明理由.参考答案：解析：（1）易知P=，且，由已知M应该是一个非空集合，且是Q的一个子集，∴用列举法可得这样的M共有如下7个：{-4}、{1}、{2}、{-4，1}、{-4，2}、{1，2}、{-4，1，2}。…………….4分（2）由得，…………….6分当P=时，P是Q的一个子集，此时，∴；…………….8分若P≠，∵，当时，则得到P=不可能为Q的一个子集，当时，,此时P={1，2}是Q的子集，当时，，此时P={1，2}是Q的子集；…………….12分综上可知：当且仅当P=或P={1，2}时，，∴实数的取值范围是…………….13分19.【本题满分16分】

已知二次函数f(x)满足f(－1)＝0，且x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x恒成立．

（1）求f(1)；

（2）求f(x)的解析表达式；

（3）证明：＋＋…＋＞2．参考答案：解：（1）取x＝1，由1≤f(1)≤(1＋1)，所以f(1)＝1

（2）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)因f(－1)＝0，f(1)＝1，∴a＋c＝b＝，∵f(x)≥x，对x∈R恒成立，∴ax2＋(b－1)x＋c≥0对x∈R恒成立，∴△≤0Ta＞0，ac≥∵a＞0，ac≥＞0，∴c＞0．∵a＋c≥2≥2＝当且仅当a＝c＝时，等式成立∴f(x)＝＝(x＋1)2

（3）证明：∵＝＞＝4(－)

∴＋＋…＋＞4(－)＞2．20.为调查高中生对某活动的参与度，教委对A，B，C，D四所高中按各校人数采用分层抽样的方法抽取了100名学生，将调查情况整理后得到下表：学校ABCD抽查人数50151025参与该活动的人数4012915

（1）在这100名学生中，随机抽取1名学生，求该学生没有参与该活动的概率；（2）在这100名学生中，从B，C两所高中没有参与该活动的学生中随机抽取2名学生，求B，C两所高中各有1名学生没有参与该活动的概率.参考答案：（1）（2）【分析】（1）先计算参与该活动的概率，再用1减去得到答案.（2）先计算，两所高中没有参与该活动的学生人数，再用排列组合公式计算得到答案.【详解】（1）（2）从，两所高中没有参与该活动的学生分别为3人和1人.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.

21.已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的

等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.参考答案：解：（1）∵是公比为的等比数列，∴.∴.从而，.∵是和的等比中项∴，解得或.当时，，不是等比数列，∴.∴.当时，.∵符合∴.

……………6分

（2）∵，

∴.

①

.②

①②得.∴.

……………12分略22.（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=?+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，且经过点（，0），其中ω，λ为常数，ω∈（，1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）先将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标不变，最后将所得图象向上平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．参考答案：考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．专题： 三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析： （1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期，先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，即可求得函数f（x）的解析式；（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换求得g（x）的解析式，求得﹣的取值范围，即可得到g（x）在区间上的值域．解答： （1）∵f（x）=?+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ，=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ，∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z，∴ω=+，又ω∈（，1），∴k=1时，ω=，∵f（）=0，∴2sin（2××﹣）+λ=0，∴λ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）﹣．（2）先将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到的函数解析式