不确定关系的物理表述及物理意义

不确定关系的物理表述及物理意义第1页，共24页，2023年，2月20日，星期日18-5

物质波(复习上讲）物质波的提出在宏观上，如飞行的子弹m=10-2Kg，速度V=5.0102m/s对应的德布罗意波长为：在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s,对应的德布罗意波长为：太小测不到！第2页，共24页，2023年，2月20日，星期日电子驻波德布罗意提出：把原子定态与驻波联系起来，即把能量量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。如电子绕原子一周，驻波应衔接，所以圆周长应等于波长的整数倍。再根据德布罗意关系得出角动量量子化条件德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c是个“大”常数；普朗克常数是个“小”常数。第3页，共24页，2023年，2月20日，星期日物质波的实验验证戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。GMAd其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。第4页，共24页，2023年，2月20日，星期日当加速电压U=54伏，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长：再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数求得满足相干条件的角度：理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引，在晶体中的波长比在真空中稍小（动量稍大）。经修正后，理论值与实验结果完全符合。第5页，共24页，2023年，2月20日，星期日电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象。电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，从而可大大提高电子显微镜的分辨率。我国已制成80万倍的电子显微镜，分辨率为14.4nm.n，能分辨大个分子有着广泛的应用前景。1993年，观测到“量子围栏”。见FPCAI软件FPCAI第6页，共24页，2023年，2月20日，星期日18-6不确定关系不确定关系的物理表述及物理意义x表示粒子在x方向上的位置的不确定范围，px表示在x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。若一个粒子的能量状态是完全确定的，即E=0，则粒子停留在该态的时间为无限长，t=

。

1927年海森堡提出了不确定关系，它是自然界的客观规律不是测量技术和主观能力的问题。是量子理论中的一个重要概念。第7页，共24页，2023年，2月20日，星期日例如：小球质量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒x=10-6米，则：因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的不确定性远在实验的测量精度之内。例如：电子质量me=9.110-31千克，在原子中电子的x10-10米，则：结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可用不确定关系具体说明。第8页，共24页，2023年，2月20日，星期日

电子单缝衍射例如：在示波管中电子的x10-4米，V107米则：可见这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子具有确定的轨道，可用经典理论来描述。电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性，并验证了不确定关系。第9页，共24页，2023年，2月20日，星期日apxyXp第10页，共24页，2023年，2月20日，星期日根据单缝衍射公式半角宽：电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少：电子通过单缝位置的不确定范围代入德布罗意关系：得出：上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。量子力学严格证明给出：第11页，共24页，2023年，2月20日，星期日不确定关系的应用在原子尺度内，是个良好的近似。估算氢原子可能具有的最低能量电子束缚在半径为r

的球内，所以按不确定关系当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：代入上式得：第12页，共24页，2023年，2月20日，星期日基态能应满足：由此得出基态氢原子半径：基态氢原子的能量：与波尔理论结果一致。本例还说明：量子体系有所谓的零点能。因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，即不被束缚。这与事实相左。第13页，共24页，2023年，2月20日，星期日解释谱线的自然宽度原子中某激发态的平均寿命为普朗克能量子假说不确定关系谱线的自然宽度它能解释谱线的自然宽度第14页，共24页，2023年，2月20日，星期日18-7波函数自由粒子的波函数一个自由粒子有动能E和动量P。对应的德布罗意波具有频率和波长：或者用角频率和波矢量表示：单色平面波的复数形式为：称它为在坐标表象中动量为的本征态。第15页，共24页，2023年，2月20日，星期日

波函数的统计解释用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一波函数模的平方代表时刻，在处粒子出现的几率密度。时刻粒子出现在附近体积内的几率为：波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态电子衍射表明的波粒两象性，可用波函数解释。第16页，共24页，2023年，2月20日，星期日波函数必须满足以下几个条件：单值、连续、有限、归一化连续可微，且一阶导数也连续可微若一个未归一化的波函数其归一化的形式的，它们描述同一个微观状态，则归一化系数：第17页，共24页，2023年，2月20日，星期日态的叠加原理用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在叠加态下观测结果的不确定性。12当双缝同时打开时，一个电子同时处在1态和2态。双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态。单缝1使通过它的电子处于1态；单缝2使其处于2态。处于两态的几率分别为：第18页，共24页，2023年，2月20日，星期日因为第三项称为相干项。量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。它是由微观粒子波粒两象性所决定的。处于两态的几率分别为：双缝同时打开时，电子的几率分布为：第19页，共24页，2023年，2月20日，星期日例题18-3设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：其中A为任意常数，E和b均为确定的常数求：归一化的波函数；几率密度W？即：第20页，共24页，2023年，2月20日，星期日由此可求出归一化的波函数和几率密度几率密度为：如图所示，在区间（b/2,b/2)以外找不到粒子。在x=0处找到粒子的几率最大。b/2-b/2第21页，共24页，2023年，2月20日，星期日18-8薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的