2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期中数学试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z=a+iA.z−=−a+i

B.|z|≥2.设a，b为非零向量，且满足|a−b|=|a|A.既不共线也不垂直 B.垂直 C.同向 D.反向3.已知非零向量a,b满足|b|=4|aA.π3 B.π2 C.2π4.等边△ABC的边长为2，则AB在BA.−12BC B.BC 5.已知i是虚数单位，i−1是关于x的方程x2+pA.4 B.−4 C.2 D.6.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，OA.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面

C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，7.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为(

)A.136 B.433 C.8.下列结论不正确的是(

)A.在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB

B.若△ABC为锐角三角形，则sinA二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设向量a=(2,0)A.|a|=|b| B.a与b的夹角是π4

C.10.若复数z满足z+|z|=8A.z=−3+4i B.|z|=5

11.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为棱A1B1和A.B，C，E，F四点共面

B.P∈平面ABB1A1

C.平面AEF与平面BB

12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=4，A.△ABC外接圆半径为433 B.△ABC面积的最大值为4三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z在复平面内对应的点在射线y=2x(x≥0)上，且14.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，2，3，则其外接球的表面积是______．15.△ABC中，AB=3，AC=4，BC=16.如图所示，位于A处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．甲船立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z的虚部为−1，|z|=2，且z在复平面内对应的点在第四象限．

(1)求复数z；

18.(本小题12.0分)

如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱．

(1)试用x表示圆柱的高h；

(2)当19.(本小题12.0分)

平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．

(120.(本小题12.0分)

在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且CFFB=AEEB=13．

求证：

(1)点21.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=(3c−b)cosA．22.(本小题12.0分)

在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知sinA−sinBsinC=a−ca答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵z=a+i(a∈R)，∴z−=a−i，故A错误；

|z|=a2+1≥1，故B正确；

当a=2.【答案】D

【解析】解：设a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，

|a−b|=|a|+|b|，

同时平方可得，−2a⋅b=23.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查利用向量的数量积求向量的夹角，向量垂直的性质运用，熟练运用公式是解决问题的关键，属于基础题．

由已知向量垂直得到数量积为0，得到非零向量a,b的模与夹角的关系，利用【解答】解：设两个非零向量a,b的夹角为θ，θ∈[0,π]，

因为|b|=4|a|，且a⊥(2a+b)，

所以

4.【答案】A

【解析】解：等边△ABC的边长为2，

则AB⋅BC=2×2×cos120°=−25.【答案】A

【解析】解：i−1是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，

根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：−i−1也是原方程的一个虚根．

∴i−1+6.【答案】D

【解析】解：连结A1C1，AC，则AC∩BD=O，

A1C∩平面C1BD=M，

∴三点C1、M、O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，

∴C1，M，O三点共线，

∴选项A、B、C均正确，选项D错误．

故选：D．

连结A7.【答案】D

【解析】解：右图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知：DE=DF，CH=CF，

设圆台的上底面半径为r，下底面半径R，母线长为l，球的半径为R0，

则有ED=r，HC=R，EH=2R0，过点D作BC的垂线，垂直是G，则有CG=R−r，

8.【答案】D

【解析】解：选项A，在△ABC中，若A>B，则a>b，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA>sinB，即选项A正确；

选项B，因为△ABC为锐角三角形，所以A+B>π2，即A>π2−B，

又A∈(0,π2)，π2−B∈(0,π2)，且y=sinx在x∈(0,π2)上单调递增，

所以sinA9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查向量的模、向量夹角、向量垂直、单位向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

求出向量的模，判断A；利用向量数量积表示两个向量的夹角判断B；向量向量坐标运算和向量垂直的性质判断C；利用单位向量定义判断D．【解答】解：向量a=(2,0)，b=(1,1)，

对于A，|a|=2，|b|=2，∴|a|≠|b|，故A错误；

对于B，cos<a,b

10.【答案】BD【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，

因为z+|z|=8+4i，则a+a2+b2=8b=4，

解得a=3，b=4，

所以z=3+411.【答案】AB【解析】解：对于A，因为BE⋂CF=P，所以BE，CF共面，所以A正确；

对于B，P∈BE，BE⊂平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，故B正确，

对于D，P∈CF，CF⊂平面ACC1A1，P∈平面ACC1A1，

12.【答案】AB【解析】解：∵c=4，C=π3，

对于A：由正弦定理得2R=csinC=833，

∴△ABC外接圆半径R=433，故A正确；

对于B：由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC，即16=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab，当且仅当a=b时，等号成立，即ab≤16，

△ABC面积的最大值为Smax=13.【答案】−2【解析】解：设z=a+bi(a>0,b∈R)，

复数z在复平面内对应的点在射线y=2x(x≥0)上，

则b=2a，

∵|z|=14.【答案】6π【解析】解：∵三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三条侧棱长分别为1，2，3，

故可将其补充为一个长宽高分别为1，2，3的长方体，

则其外接球的直径2R=1+2+3=6，

故球的表面积S=15.【答案】125【解析】解：因为△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，

所以三角形是直角三角形，以A为顶点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，

设P(a,b)，a∈(0,4)，B(3,0)，C16.【答案】21【解析】解：如图所示，

在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，

由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos120°=17.【答案】解：(1)设z=a−i(a∈R)，

∵|z|=2，∴a2+1=【解析】(1)设z=a−i(a∈R)，利用复数的模列式求得a，则z可求；

(218.【答案】解：(1)∵3−h3=x1，∴h=3−3x，(0<x<1【解析】(1)根据比例关系求结果；(2)19.【答案】解：(1)由a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，

则a=mb+nc=m(−1,2)+n(4,1)=(−【解析】(1)由平面向量的线性运算的坐标表示，列方程组求出m、n的值；

(2)设d=(20.【答案】证明：(1)如图所示，连接EF，HG，

空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，

∴HG//AC，

又CFFB=AEEB=13，

∴EF//AC，

∴EF//HG，

E、F、G、H四点共面；

(2)由题得EF与HG不相等，所以EH与FG必相交．

设EH【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．

(1)利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到EF、GH都平行于AC，由平行线的传递性得到EF/21.【答案】解：(1)在△ABC中，由acosB=(3c−b)cosA及正弦定理得(3sinC−sinB)cosA=sinA【解析】(1)利用正弦定理