椭圆中的焦点三角形及求离心率问题有答案

椭圆中的焦点三角形及求离心率问题1、若椭圆方程为彳+M=1,NPF1F2=90°,试求△PF1F2的面积.TOC\o"1-5"\h\z一一一 X2V2 .【解】椭圆方程4+y=1,知a=2,c=1,由椭圆定义，得IPFJ+IPF21=2a=4,且IF1F21=2,在^PF1F2中，NPF1F2=90°.I.IPF2|2=|PFJ2+IF1F2|2.从而(4—IPF11)2=, … 3IPF1I2+4,贝”PF1I=2，因此S△PFF=1-IFFI.IPF]I=3.故所求^PFF的面积为3.12 2 12 1 2 12 22、设F1,F2是椭圆丁+:=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且IPF1I:IPF2I=2：1,则4F1PF2的面积等于(B)A.5B.4C.3D.1【解】由椭圆方程，得a=3,b=2,c=\区AIPF1I+IPF2I=2a=6,又IPF1I：IPF2I=2：1,.AIPF1I=4,IPF2I=2,由22+42=(2-..,15)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为%PF1I-IPF2I=；X4X2=4,故选B.3、过椭圆^+b=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若NF1PF2=60°,则椭圆的离心率为.【解】由题意，△PF1F2为直角三角形，且NF1PF2=60°,所以IPF2I=2IPF1I.设IPF1I2c一 2c 4c=x，贝”PF2I=2x,IF1F2I=\：3x，又IF1F2I=2c,所以x=和和IPF1I=-,,IPF2I=-73.2c4c 一c-x'3由椭圆的定义知，IPF1I+IPF2I=2a，所以l3H■-5=2a,即e=a=看.——4、已知椭圆的两焦点为F1、F2,A为椭圆上一点，且AF1-AF^2=0,NAF2F1=60°,则该椭圆的离心率为【解】丁AF1-AF^2=0,AAF1±AF.2,且NAF.2F1=60°.设IF1F2I=2c,AAF1I="c,c2IAF2I=c.由椭圆定义知：飞3c+c=2a即(,13+1)c=2a.Ae=a=7+]='.,,3—1.5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(A)1 1 1 -,,12A.2 B.3 C.4D.^-乙 J I 乙

6、设椭圆海*l(a>b>°)与'轴交于点4以0A为边作等腰三角形°”,其顶点P在椭圆上，且NOPA=12°。，求椭圆的离心率.【解】设A【解】设A(a,°),点P在第一象限，由题意，点p的横坐标是a，设p(2,“由点p所以NPOA=在椭圆上，得今+b2=1,y2=3b2,即p",坐b^又NOPA=所以NPOA=2 %；3 ca:a2—b2 3b2—b22-J23°°,故tanNPOA=-=3，所以a=3b，所以e=a=Ja= 3b =3°°,27、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率.【解】 如图，设椭圆两焦点为F1,F2,与正六边形其中两个交点为A,B，并设正六边形边长为m，则根据正六边形的性质有：NFAB=12°。，IOF1I=m，根据余弦定理F1B2=m2+m2—2m-m-cos12°°=3m2,，F1B=■■■..3m，又2a=F1B+BF2=\/3m+m,a1'3+1 cm，a=-^―2—m，又c=m,/.a=、5+1=<3—1,即椭圆的离心率为\：3—1."2m8、已知椭圆C：丁+b=1(a>b>°)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点，连结AF,BF.若IABI=1°,IBFI=8,cosNABF=4，则C的离心率为(B)5-4 6B.7C.5D.7【解】在^ABF中，IAFI2=IABI2+IBFI2—2IABI-IBFI-cosNABF=1°2+82—42义1°义8义5=36,则IAFI=6.由IABI2=IAFI2+IBFI2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c=IOF=竽=5.设椭圆的另一焦点