第三章控制系统的时域分析

第三章控制系统的时域分析第1页，共67页，2023年，2月20日，星期三一、基本概念1、时间响应：系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化而变化的过程。2、瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。3、稳态响应：时间t趋于无穷时，系统输出的稳定状态。§3-1时间响应与典型输入信号第2页，共67页，2023年，2月20日，星期三二、典型输入信号1、选取原则（1）选取的输入信号应反映系统工作的大部分实际情况。（2）选取输入信号的形式应尽可能简单，便于用数学式表达及分析处理。（3）应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信号。第3页，共67页，2023年，2月20日，星期三2、典型信号（1）、阶跃信号（2）、斜坡信号斜坡函数第4页，共67页，2023年，2月20日，星期三（3）、抛物线信号（4）、脉冲信号第5页，共67页，2023年，2月20日，星期三§3-2一阶系统的时间响应一、数学模型一阶系统：以一阶微分方程描述的系统。标准形式传递函数第6页，共67页，2023年，2月20日，星期三二．一阶系统的单位阶跃响应第7页，共67页，2023年，2月20日，星期三第8页，共67页，2023年，2月20日，星期三三、一阶系统的单位脉冲响应1/TTtc(t)第9页，共67页，2023年，2月20日，星期三四、一阶系统的单位斜坡响应TTtx(t)第10页，共67页，2023年，2月20日，星期三一阶系统输入与响应输入响应五、响应之间的关系第11页，共67页，2023年，2月20日，星期三五、响应之间的关系系统对某输入信号的导数的响应，就等于对该信号响应的导数。*适用于任意阶线性定常系统。第12页，共67页，2023年，2月20日，星期三§3-3二阶系统的时间响应一、二阶系统的数学模型 二阶系统是用二阶微分方程描述的系统。1.微分方程第13页，共67页，2023年，2月20日，星期三2.传递函数和方框图Xi(s)Xo(s)3.等效传递函数和方框图Xi(s)Xo(s)第14页，共67页，2023年，2月20日，星期三4.特征方程和特征根第15页，共67页，2023年，2月20日，星期三二、二阶系统的单位阶跃响应1.（临界阻尼），，两相等实根s1s2单调上升Xo(t)10t第16页，共67页，2023年，2月20日，星期三等幅振荡2.（无阻尼），，一对纯虚根s2s10tc(t)1第17页，共67页，2023年，2月20日，星期三

（过阻尼），，两不等实根s1s2第18页，共67页，2023年，2月20日，星期三0tx01单调上升第19页，共67页，2023年，2月20日，星期三4.

（欠阻尼）有一对共轭复根s1s2第20页，共67页，2023年，2月20日，星期三tξ=0.3ξ=0.50XC(t)衰减振荡第21页，共67页，2023年，2月20日，星期三第22页，共67页，2023年，2月20日，星期三二阶系统单位阶跃响应总结时，系统特征根为两正实根，响应为发散振荡，系统不稳定；系统特征根为一对纯虚根，响应为等幅震荡；系统特征根为一对共轭复根，响应为衰减振荡；系统特征根为两负实根，响应为单调上升，与一阶系统相似；第23页，共67页，2023年，2月20日，星期三习题1.设系统的单位阶跃响应为：（1）求系统的闭环传递函数；（2）求系统的阻尼比和自然振荡频率；第24页，共67页，2023年，2月20日，星期三习题2.某温度计系统如图所示，先用温度计测量容器内的水温，发现需要1min的时间，才能指示实际水温的98%，如果容器内水温以10℃/min的速度线性增加，试求温度计的稳态指示误差。1/Ts-R(s)C(s)第25页，共67页，2023年，2月20日，星期三§3-4瞬态响应的性能指标一、系统的瞬态响应指标0tx01第26页，共67页，2023年，2月20日，星期三1.延迟时间td响应曲线第一次达到稳定值一半所用的时间。2.上升时间tr响应曲线第一次达到稳态值所需要的时间，对于过阻尼系统，指响应曲线从稳态值的10%到90%所需要的时间。3.峰值时间tp响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。4.调整时间ts在稳态响应曲线上，用稳态值的百分数（通常为5%或2%）作一个误差允许范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许范围内所需要的时间。5最大超调量Mp响应曲线的最大峰值与稳态值的差称为最大超调量Mp。通常用百分数表示.第27页，共67页，2023年，2月20日，星期三二、瞬态响应指标的计算1上升时间第28页，共67页，2023年，2月20日，星期三2.峰值时间第29页，共67页，2023年，2月20日，星期三3.超调量第30页，共67页，2023年，2月20日，星期三4.调整时间第31页，共67页，2023年，2月20日，星期三例1已知图所示为某一机械振动系统，当有300N的力（阶跃输入）作用于系统时m的运动如图所示。试根据响应曲线确定质量m，阻尼系数f和弹性系数k的值。m300Nfk1.0Mp=0.0952X(t)/cmt/sX(t)第32页，共67页，2023年，2月20日，星期三例2.二阶系统如图所示,其中,当输入信号为单位阶跃信号时，求系统的动态性能指标。第33页，共67页，2023年，2月20日，星期三第34页，共67页，2023年，2月20日，星期三例3.二阶系统如图所示,系统单位阶跃响应指标具有：,试确定增益K和反馈系数。C(s)R(s)第35页，共67页，2023年，2月20日，星期三第36页，共67页，2023年，2月20日，星期三第37页，共67页，2023年，2月20日，星期三§3-5稳态误差分析与计算稳态误差仅仅对稳定系统才有意义。稳态误差反映系统的控制精度。稳态误差取决于系统的结构参数和外作用信号的形式。第38页，共67页，2023年，2月20日，星期三一、误差和稳态误差1.误差：希望输出与实际输出之差。

B(S)C(S)Er(S)R(S)-Cor(S)-第39页，共67页，2023年，2月20日，星期三G

(s)H(s)Y(s)Xi(s)-Xo(s)(a)图Xi(s)X0(s)G

(s)H(s)1/H(s)Xor(s)Er(s)-(b)图一非单位反馈系统如图(a)所示，其等效方框图为图(b)。第40页，共67页，2023年，2月20日，星期三系统误差第41页，共67页，2023年，2月20日，星期三2.偏差：系统输入与反馈信号之差。3.偏差和误差的关系第42页，共67页，2023年，2月20日，星期三1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。说明：2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。第43页，共67页，2023年，2月20日，星期三4.稳态误差：稳定系统误差的终值。5.稳态误差的计算第44页，共67页，2023年，2月20日，星期三二、输入信号作用下的稳态误差与系统结构的关系设系统的开环传函为称为0型系统称为I型系统称为II型系统系统的型别以来划分第45页，共67页，2023年，2月20日，星期三1.阶跃输入第46页，共67页，2023年，2月20日，星期三2.斜坡输入第47页，共67页，2023年，2月20日，星期三3.抛物线输入第48页，共67页，2023年，2月20日，星期三4.稳态误差和系统型别的关系第49页，共67页，2023年，2月20日，星期三三、稳态误差计算例1：单位反馈系统的开环传递函数是，当系统输入信号为，系统的稳态误差。第50页，共67页，2023年，2月20日，星期三第51页，共67页，2023年，2月20日，星期三3.6Routh-Hurwitz稳定性判据

3.6.1稳定性的概念

若控制系统在干扰信号的作用下，系统偏离平衡状态，干扰消失后，系统具有恢复原平衡状态的能力，则称这个系统稳定。否则，称这个系统不稳定。第52页，共67页，2023年，2月20日，星期三3.6.2系统稳定的充分必要条件

设n阶线性定常系统的微分方程为

对上式作拉氏变换，得第53页，共67页，2023年，2月20日，星期三在式中取R(s)=1，得到在干扰信号作用下系统的时间响应为若pi为系统特征方程N(s)=0的根且当pi各不相同时，有若系统所有特征根pi的实部均为负值，即Re［pi］<0

则干扰作用下的输出最终将衰减到零，即

这样的系统就是稳定的。

第54页，共67页，2023年，2月20日，星期三反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则暂态响应将随时间的推移而发散，即这样的系统就是不稳定的。综上所述，系统稳定的充分必要条件是系统特征根都具有负实部，或系统的特征根均在根平面的左半平面。第55页，共67页，2023年，2月20日，星期三3.6.3劳斯判据

设n阶系统的特征方程为

D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=

0将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)

第56页，共67页，2023年，2月20日，星期三snanan-2

an-4an-6……sn-1an-1an-3an-5an-7

……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1第57页，共67页，2023年，2月20日，星期三

其中

劳斯判据给出了控制系统稳定的充分条件是，特征方程各项系数均大于零且劳斯表中第一列所有元素均大于零。

在计算劳斯表的过程中，每行中同乘以/除以一个整数，不改变系统稳定性。第58页，共67页，2023年，2月20日，星期三例1已知三阶系统特征方程为劳斯表为故系统是稳定的第59页，共67页，2023年，2月20日，星期三习题：已知系统特征方程劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的，即所有特征根均s平面的左半平面。方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表第60页，共67页，2023年，2月20日，星期三例2系统特征方程为

劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根。

各项系数均大于零。列劳斯表：第61页，共67页，2023年，2月20日，星期三例3系统特征方程

劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半平面的根一个系数为负的，由劳斯判据，系统不稳定。但究竟有几个右根，仍需列劳斯表：第62页，共67页，2023年，2月20日，星期三有两种特殊情况需要说明：＊1.劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素并不为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法进行,此时可用一个无穷小的整数代替，完成后续计算。＊2.劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定的。

第63页，共67页，2023年，2月20日，星期三例4：