2023届高考数学最后冲刺复习（七）参考答案

2023届高考数学最后冲刺复习(七)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知集合A=[x\x2<2x],集合B={x|10g2(x-l)<l},则A|B=()A.{』0〈人<3}B.{』1〈人<2}C.|a|2<a<3)D.{』0<人<2}【答案】B【解析】因为人={]|/<2吊,x2-2x<0-可得0<x<2.因^B={x|log2(x-l)<l},log2(x-l)<l,即Q<x-\<2,可得1<«3,取交集可得AcB={』l<*<2},故选：B.已知复数z满足(】+2i)z=2+i,则复数万在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】z=【答案】【解析】z=l+2i(l+2i)(l-2i) 5 55所以复数乏在复平面所以复数乏在复平面内对应的点的坐标为位丁•第一象限.故选：A.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用•副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图''中，若BC=a.BA=b、BE=3EF,则AE=()

【答案】Aa+—b25C.25 25D.2宀25 25AE=BE-BA=~BF-BA=^(BC+CF)-BA=^BC-^AE-BA,25 3 3\^—AE=-BC-BA=-a-b.16 4 4所以AE=-a-—b.25 25【答案】Aa+—b25C.25 25D.2宀25 25AE=BE-BA=~BF-BA=^(BC+CF)-BA=^BC-^AE-BA,25 3 3\^—AE=-BC-BA=-a-b.16 4 4所以AE=-a-—b.25 25【解析】依题意,故选：A己知函数y=f(x)的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是()C.y=sinx-xcosx 1-COSXB-尸kD.y=sinx—xe【答案】c【解析】对「A,In]=,n(7777+x)=,n^=r又y=\n(仙+17)的定义域为R,.•.y=ln(J77T_x)为r上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符;当X>W，y=7?+l为増函数，y=x为增函数，乂、=1而在(0,2)上单调递增,由复合函数单调性可知：y=ln(BMT+x)在［0,+8)上单调递增,又y=\n(Jx?+]-x)=一In(-Jx2+\

）在［0,+8）上单调递减，与已知图象不符，A错误;对于B,由矿-e、0得："°，= 的定义域为｛中莉｝，与已知图象不符，B错误;对于D, sin(—X)—(―x)e丄=—sinx-l-A*e人尹一sir>x+«xe*,..y=sinx-xe'不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符,D借误.故选：c.己知抛物线C-.x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为/,直线1过F且与抛物线。交于N两点、,r与/交于点。，则DM•NF+DN•MF=(A.0D."或A.0【答案】A【解析】不妨假设交点M在）'轴右侧，分别过M,N作准线/的垂线，垂足分别为M'，V，y=~y=~由二•角形的相似及抛物线的定义知|/w|：|£w|=|mw'|：|aw'|=|w|：|*1.因此恒^\DM\-\NF\=\DN\-\MF\,结合所涉及的四个向量的方向可知DM•NF=-DN•MF，也即DMNF+DNMF=O,故选：A.已知函数/⑴=血3+弘>。）是在区间借蔔上的单调减函数，其图象关于直线…*对称，且4詩卜节）=°’则”的最小值为（A.2B.12A.2B.12C.4D.8【答案】C【解析】因为函数須（x）=sin（5+伊）的图象关于直线x=~对称，所以+e=f+m作Z,所以行TOC\o"1-5"\h\z36 36 2顷制屮，",,n5兀con5am(on 5伽«—<x<—.iijij—<twx<—,—+(p<a)x+(p<—+(ptIo3oIoJoIo Jo因为須⑴=sin㈤+0是在区间借胡上的单调减函数.

—+<p>—+2lat,keZ. -（-+—+n）n>—+2kn,neZ,keZ.所以18 2 18236 2"'色+心竺+2如,AwZ,‘迥（丄+竺顷M竺+2血，心Z,SZ,36 2 36236 2-+[-+—+ii\^-+2k,neZ,keZ,18U36）2—[-+—+n\^—+2k,neZ.keZ.〔36【236丿2\2（2k-fi）<a）<6（2k-n+\）.〃eZ，keZ因为ty>0，所以以-〃=0或2k-”=l,当2k-n=0时，0<<y<6，当快一〃=1时，12<ty<12；由于三<壬芸〈浓，（x）=sinS+e）是在区间偽,出上的单调减函数’1812936 36）；；：（；+衰+''）"=伽+1）宀m《Z，hgZ.G)X +且侑』加・所以（!籍号）‘°]为加的•个对称中心，兩强；；：（；+衰+''）"=伽+1）宀m《Z，hgZ.G)X +根据0<tyV6或12《刃<12,ct>=8（2m-n）+4,根据0<tyV6或12《刃<12,可得切=4.或刃=12,所以。的最小值为4.故选：C.AB=AC=2,AA=\.AB±AC,点E,与分别是棱BC.B.C的中点，点G如图，直三棱柱ARC- 中，在棱A句上，且GB^，截面AA百E内的动点〃满足GBAB=AC=2,AA=\.AB±AC,点E,与分别是棱BC.B.C的中点，点G【答案】【答案】A乂AE・^E=E,AE、E、Eu平面A\EXE,所以BE丄平面AA^E.设点G在平而AA.E.E内的投影为H},则点X在线段A片上，且AlG2=2AlHl2,即（2-7I）2=2A.H,2=> =>/2-1.所以与反,=人片一4H,=1,设点H在线段旭上，且班'=1，则四边形HH&E是一个正方形，点「的轨迹是其对角线HE[.将.HEE]与皿百展开到一个面内，得到如图图形,因此PE+P坎的最小值是b,e.由余弦定理，得B禅2=「+很■'-2x1x7?=5.所以8退二由.B.(-<».-e]B.(-<».-e]E若函数f（x）=Qx：-2'M-2a\nx+ax2有两个不同的零点，则实数。的取值范围是（(*.-e)C.(-e,0)【解析】函数/(X)的定义域为(。，+8)，f(x)=e''2ln,-2a\nx+ax2=ef：-2[nx+o(x2-2In尤)，设h(x)=x2-2Inx(x>0),则h'(x)=2x-—= _—,X X令h'(x)>0=>x>l,令h'(x)<0=>0<x<1,所以函数五3)在(0,1)上单调递减,在(L*o)上单调递增,且人(1)=1,所以方(玖而=人(1)=1，所以h(X)>\,函数六X)有两个不同的零点等价于方程M=0有两个不同的解，贝lj厂队+心一2Inx)=0=—a=J ,等价于函数y=-^y=-±——图象有两个不同的交点.x--2\nx令j-21nx=f，g«)=/j>l,则函数y-f与g(f)=§j>l图象有一个交点，则&'(,)=弓==穿>。，所以函数g(f)在(1,卬)上单调递增，所以g“)>g(l)=e,且，趋向于正无穷时，g(，)=¥趋向于正无穷，所以-«>e,解得，v-c.故选：A.二、选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选销的得()分。以下说法正确的是()89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位数为95具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据(气，儿)，(财*2)， ，(土，呂)，由此得到的线性回归方程为gx+Q,回归直线y=bx+a至少经过点(死，为)， ，(*2”)中的一个点相关系数r的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强巳知随机事件A,B满足P(A)>0,P(«)>0,且P(B\A)=P(B),则事件A与8不互斥【答案】ACD【解析】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，贝ij/=9x75%=6.75不是整数，则第75白分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95,所以A选项正确：对于B选项：线性回归方程y=bx+a不一定经过点（如为）， ，（％嘴中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即（兄亍），所以B选项错误：对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数〃的绝对值越接近于1，所以C选项正确；对于D选项：因为P（3|A）=P（8）,则P（AB）=P（B\A）P（A）=P（B）P（A）,则事件A与B相互独立，所以事件人与B不互斥，所以D选项正确；故选：ACD.己知直角坐标系原点为0，直线/：奴-y-A+2=0（ER）,点a为圆。:亍+丁二产賣〉。）上的动点，则下列结论正确的是（）直线，恒过定点（項）当R=1时，圆0上存在三点到直线/距离等于專的充要条件是当/*=75时，直线/上存在点“使=则?或*204 3若有且只有一条直线/被圆0截得弦长为2>/J，则「=退【答案】BC【解析】对于A选项，直线l:k.x-y-k+2=O（k^R）即A（x_l）_（y_2）=O,令（厂得/恒过定点。-2=0p（l,2）,故A错误;对丁选项，当卜1时，圆心到直线/距离为毛，如图，2过0且与直线，平行的直线与圆交于AB两点，半径ONH,则AB到直线/的距离为乎，圆0上存在三点到直线/距离等丁•毛的充要条件是N到百.线/的距离为毛，即「=《，所以圖0上存在三点到宜线/2 2距离等于乎的充要条件是r=>/2.故B正确；

对于C选项，直线/存在点M使= 当心与圆0相切时，ZAMO最大，只需此时ZAMO>^~.4 4 即\0M\<2,所以圆心到直线/距离"=金*《2,解得k<~或入0,故C正确;对于D选项，直线/恒过定点P(l,2),若有且只有一条直线/被圆。截得弦长为2JJ,则此直线为过圆心的直线OP或过只点且与OP垂直的直线，圆心到直线距离为』=。或"=|00=必/=/+3,所以「=占或r=2>/2.故D错误：故选：BC.如图，有一列曲线Q,Q d, .....,且。丨是边长为1的等边三角形，0*是对0.(/=1,2,)进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到。宀，记曲线d(〃=L2,..)的边数为厶，周长为q,围成的面积为S,,,则下列说法正确的是()TOC\o"1-5"\h\zA0G 0 …Q| C2。3 。4数列｛厶｝是首项为3,公比为4的等比数列数列｛C,｝是首项为3,公比为:的等比数列c.数列｛&｝是首项为匝，公比为;的等比数列4 i当〃无限增大时，S,,趋近于定值学【答案】ABD【解析】乙s是在厶的基础上，每条边新增加3条新的边，故Xf+3/=4",乂L,=3,所以数列｛LnJ是首项为3,公比为4的等比数列，且L=3x4”‘故A正确，第"个图形的边氐为(?)=3x(1'，所以q=",故数列(C」是首项为3,公比为:的等比数列，故B正确，因为Q是在Q的每条边上再生出一个小正三角形，丁是&=S,+3異），同理，对。“是在JV的每条边上再生出-•个小正三角形，于是。』勺面积等于的而积加上J个新增小三角形的而积,即s.=s『L娉G）二s.=s.,+韻S,于是可以利用累加的方法得到岛=耳+挥§将上面式子累加得心费佛••侦卜俱制飞针帑制1当S时，s,,T乎X?孕，故C错误，D正确，故选：ABD己知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，且C4丄CB,CA=CB=2.球0的表面积为12兀,三棱锥P-ABC的体积为:，记点a到平面BOC的距离为心则（）A.PC=— B.PO=^/36C.d=-j2 D.ZAOB=|【答案】BC【解析】设球0的半径为沢，则4狀‘=12兀，可得R=@.因为C4丄CB,CA=CB=2.则S^abc=^CACB=2,ab=-Jca2+cb2=2^2•设点p到平面ABC的距离为力，则岭倒=§△*•/?=*=：,所以，h=2.对于B选项，PO=R邓,B对；对于D选项，｛£ZOAB中，OA=DB=y/5,AB=2jl'所以，O^+OB^AB2^所以，/AOB。：，D错；对丁C选项，取AB的中点£），连接OD，由球体的几何性质可知OD丄平面ABC，因为ABu平面ABC•则OD1AB-所以，od=-Joa2-ad2=V3-2=i.取BC的中点£,连接OE、OB、OC,则OE丄BC，所以，OE=-Jon2-BE2=5/3-1=>/2•SAOBc=?BC.OE=\x2xyfi=也,Vab=、Syd=gd=%，解得d=v?，c对;对J■-A选项，球0上一点到平面ABC的距离的最大值为OD+R=1+旧,因为2<1+75・所以，点〃的轨迹是与平面ABC平行的平面与球0的交线（圆）,故PC的长度不确定，A错.第II卷三、填空题：本題共4小题，每小題S分，共20分。已知/。）=半+2血学，贝IJ曲线y=f（x）在点（!./（!））处的切线方程为【答案】3x-尸1=0【解析】因为/（力=迪+2sin?,则/（x）=3（，~*nX）+ncos—，X z X z所以，/（i）=2,r（'）=3.故所求切线方程为y-2=3（—1）,即3尤-'-1=0.故答案为：3x-y-l=0.2023年2月8日中国国民党主席夏立言率团访问大陆期间需安排含甲、乙、丙在内的5位志愿者分配到3个会议室参加服务，要求每位志愿者只能去1个会议室，每个会议室至少需要分配1位志愿者，则甲与乙分配在同一会议室，但甲与丙不在同一会议室的分配方案共有 种(用数字作答).【答案】30【解析】由题意，把5人可按1,1,3和1,2,2分组，若分为1,丨，3时，甲乙同组，再从非丙的两人中选一人到3人组，共有Cl=2种不同的分组；若分为1,2,2时，甲乙同组，非丙的两人成2人组或从其它两人选一人与丙成2人组，共有C；+C；=3种不同的分组；所以甲与丙不在同一会议室的分配方案共有(2+3)xA；=30种不同的分配方案.故答案为：30.若随机变量&的数学期望和方差分别为£«),D(g),则对于任意£>0,不等式P(|“旦切>£)<繼成立.在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有500名学生参加考试，全体学生的成绩&的期望芯(§)=80,方差D«)=42，则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过 人【答案】10【解析】取£=20，P(k-8()|22()X器，所以”100或g0)g器=0.04,()04又因为£(4)=80,所以P(^>100)^—=0.02.即估计分数不低于100分的学生不超过500x0.02=10(人).故答案为：10己知函数/(同的定义域为R,其导函数为g(x),若函数/(2x+2)为偶函数，函数g(x-l)为偶函数，则下列说法正确的序号有 .函数/⑴关于了=2轴对称；函数M关于(-L0)中心对称；若A-2)=1,/(5)=T,则g(26)+/(16)=-3;若当一1。《2时,/(*)=。5-1,则当1牝顽7时,/(x)="t-1.【答案】®@®【解析】由「函数/(2a-+2)为偶函数，则②/(2x+2)=/(-2x+2),则函数/⑴关Tx=2轴对称.①正确：进而函数g(x)关于点(Z0)中心对称，由丁•函数g(x-1)为偶函数测g(x-1)=g(-x-1),则函数g(x)关于户-1轴对称，进而函数/⑴关于(-!,/(-!))中心对称，②错误；由题可得函数/⑴的周期为4x[2-(-l)]=12,g(X)的周期为4x|_l_2|=12,故g(26)=g(2)=0,/(16)=/(4)=/(0),由屮心对称性/(-2)+/(0)=2/(-1)=2/(5)=-2,所以/(0)=-2-/(-2)=-2T=—3,所以/(16)=-3,故g(26)+/(16)=-3，③正确：^14<x<17l^-l<16-x<2./(x)=f(x-12)=f[4-(x-12)]=/(16-x)=e'7--1，④正确.故答案为：④四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。(10分)己知数列｛%｝满足2a„-3anti+ant2=n-\.⑴是否为等比数列？并说明理由；(2)若%=处=1,求｛七｝的通项公式.【解析】(1)由2《-3%|+%2=〃T得：+(〃+1)=&t-爲,,+2«=2(%一|一％+〃),当％F+】=0时，数列｛〜-%+”｝为各项为0的常数列,不是等比数列;当马-%+1壬。时，数列｛板一％+〃｝是以七-6+1为首项，2为公比的等比数列.(2)当at=a2=l时，a2-a)+1=1,由(1)知：数列｛“*-%+〃｝是以1为首项，2为公比的等比数列，-«»+«=2”T,即。_a„=2n~'-n,当〃Z2时，％=(%-W_2)+(，jr+=2"-2-(〃一1)+2"T-(〃一2)+2"1-(〃一3)+.・+2i-2+2。一1+1=(2。+21+...+2”-2)_[1+2+...+(〃_1)]+[=![2疽_〃(；1)+]=2'1_生二1),又％=1满足为= %= eN*).(12分)如图，在JBC中，内角A,B.C的对边分别为u,b,c,满足亞_+tanB=>A.acosBA⑴求A；(2)在丄BC所在平面上存在点E，连接BE,CE，若EC=J^AC^ACE=ZA.ZEBC=30,BC=2,求HBC的面积.【解析】(1)在二ABC中，由‘tanB=>/3,得y/3c=y/JacosR-asin/f‘acosB由正弦定理，得>/3sinC=^sinAcosB-sinAsinB.因为sinC=sin[ic-(A+8)]=sin(A+8),因此J5sin(A+A)=>/3sin>\cos^-sirvAsin^,即JJcosAsinB=-sinAsinfi.而0<A<l80,0<B<180,有sinB/0•即有娘：osi=-siM,且显然cosA壬0，于是tanA=->/3.解得A=120°，所以A=120°.(2)令Z4BC=a.四边形内角和为360,由(1)的结论知：£=90-a.在上ABC中，由正弦定理得：竺=罗，即有AC=^sina・sinAsina 3在MCE中，=尧,则区=蜡=—*—=丄’smNCBEsinE“sinEsin(90-a)cos。XEC=-J3AC，则有4sina=—!—.即2sin2a=l,sin2a=：.cosa 2因为A=12O,A+a+NAC0=18O,贝I]。<a<60，丁•是2Q=30，即a=15°.f7_5又sina=sinl5=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=V.4因此AC=手sina=③皿;东,ZACB=45.所以一ABC的面积S*=?ACBCsin45=?x玉与亟x2x^=19.（12分）如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面AE/7与CFG所截后剩余部分，且满足BD〃平面AEH，FGHBD,FG=BD=2eAB=2GH.(1)当”多长时，AE1CG，证明你的结论:⑵当您丄CG时，求平面AEH与平面CFG所成角的余弦值.【解析】(1)当BF=-j2时，AELCG.证明如下：将该几何体补全为正四棱柱ABCD-初WG,连接8M,如下图所示:由题意可知底而ABCD为正方形，则AB=BC=2-11BD=2VI•因为BD〃平面AEH,FG//BD.所以FG〃平面又FGu平面EFGH,平面AEHEFGH=EH.所以FG//EH.又AB=2GH,所以H为GM的中点，所以E为MF的中点.因为BC//MG，BC=MG，所以四边形BCGM为平行四边形，所以CG//BM,因为CG丄A£・所以BAf丄旭.因为ZAM8+ZM4E=90°,ZM4E+须£4=90°,所以ZAMB=ZMEA>所以△"“△ME4，所以答=籍，AM2=MEAB=\x2=2^所以叔=如AMAB所以当BF=y/2时，AE1.CG.(2)以Q为坐标原点，分别以DA,DC,OG所在直线为尤轴、)，轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由(1)得A(2,0,0),E(2,l裁),H(1,O,回,C(0,2,0),F(Z2M),G(0,0W),设平面AEH的法向量为也=(x,y,z)・zn-AE=(x,y,z)-(0,l,V2)=y+-^z=0in-AH=(x,y,z)・(—l,0,V^)=—x+ =0令Z=1,则x=y/2.y=-^2,故平面AEH的法向量为，〃=(很,-Z,l)，设平面CFG的法向量为〃二(为,％,功.〃CF=(X|,yj,Z|)(2,0,V?)=2X|+7?Z|=0n-CG=(X],凹，Z])•((),-2,VI)=-2y,+-j2zi=0令凹=1，则z,=JIk=-1,则平面CFG的法向量为〃=（-1,1,《）•••。。如）佛=小繆=书:平面A刖与平面CFG所成角为锐角，・.•平面AEV与平面CFG所成角的余弦值为晋.20.（12分）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起釆取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数.，与该机场飞往A地航班放行准点率E（i=l,2,L,10）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.放行准点率/百分比TOC\o"1-5"\h\z84- .83• . .82- .・81• .80-79- •78- •77- ・76-75-74——!——I——I——<——|——|——| >——•——• ►20122013201420152016201720182019202020212022年份数Xy710/-I10Z-Vi1-110官10/-I2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8110其中^=•"（-'；-2012）,F=—IU1=1⑴根据散点图判断，y=bx+a与y=cln（x_2012）+d哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率），关于年份数X的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A地、8地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往8地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%,试解决以下问题：（i） 现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率：（ii） 若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据（叩耳）,（吋2），…，（%*），其回归直线卩=。+伽的斜率和截距的最小二乘估“ fl£3-汀）3-0）£叩,一威.e计分别为0= = ,a=v-pii£（《项尸r=l ；=!参考数据:lnl0«2.30.lnll«2.40.In12^2.48.【解析】（1）由散点图判断y=c\n（x-2O\2）+d适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率「关于年份数x的经验回归方程类型.令Z=ln（x-2012）,先建立y关于，的絞性回归方程.9 —T,汀"，y1226.8-10x1.5x80.427.7-10x1.5由于c=号 =—: :~-—=427.7-10x1.5£宀10疽4=1J=y-cr=80.4-4x1.5=74.4,该机场C往A地航班放行准点率y关于7的线性冋归方程为§=4/+74.4.因此y关于年份数*的回归方程为9=41n(x_2012)+74.4所以当X=2023时，该机场飞往A地航班放行准点率V的预报值为步=4In（2Q23—2012）+74.4=4In11+74.4=s4x2.40+74.4=84.所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率)，的预报值为84%.(2)设A="该航班飞往A地”，4=“该航班飞往3地”，4=“该航班飞往其他地区"，C=“该航班准点放行",则p（A）=0.2,P仇）=0.2,P0）=o.6,P（C|A）=0.84,P（C|A）=0.8,P（C|aJ=0.75.(i)由全概率公式得,P（C）=P（MP（C|4）+P（AjP（C|Aj+P0）P（C|Aj=0.84x0.2+0.8x0.2+0.75x0.6=0.778.所以该航班准点放行的概率为0.778. —即)=藉=籍辭=端piA©二>—C）二P（A2）P（C|Aj=0.2x0.8'2|'P（C） P（C） 0.778p（A|c）二>（&C）二PS）P（C|4j（）.6x0.75''P（C） P（C） 0.778因为0.6x0.75>0.2x0.84>0.2x08，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.（12分）双曲线具有这样的性质：若和橢，*0)为双曲线芯菱-#=1(">。，。>0)上任意一点，则双曲线在点P处的切线方程为罗-普=1.已知双曲线E:#-#=l(o>0»>0)的离心率为整,并且经过(72,2).

⑴求双曲线E的方程;（2）若直线/经过点（2,0）,与双曲线右支交于P,Q两点（其中点P在第一象限），点Q关于原点的对称点为A,点Q关于），轴的对称点为8,且直线AP与BQ交于点直线AB与PQ交于点N.证明：双曲线在点P处的切线平分线段M/V.【解析】⑴依题恵，离心率e=号i= 号号=1，解得O庆=4,故双曲线的方程为E（2）方法一：设尸3.乂），。（七为），宜线PQ为x=U+2（,hO），代入双曲线方程尸一也=],12得：（4r-l）y12得：（4r-l）y2+16A'+12=0,则4户-阵0且A=16（4-+3）＞0,恥-4尸一］=——<0,16/4r-l山心+洲4,（16/4r-l山心+洲4,（岩）一=4,+4..・直线时方程为、+，2=4心+也），令、=刈得：知号-如令f"，•.•直线PQ为x=ty+2,令x=—七得：yN=-^.=-y2-i,即n（f，-/T，设线段的V的中点坐标为丁■必），则式0=互半丄专•-与，％=主守1=..•过点P的切线方程为：x,x-^=l要证双曲线在点户处的切线平分线段EF,即证点户处的切线经过线段MV的中点T.・.・咕—W= 修F-2）+《，4=11-4/- 1一4产， 、，1-4/- 12 1一4〃（ 16/4=1二"十）"对-4=〒扣,二厂所以点P处的切线经过线段MN的中点T,即点F处的切线平分线段方法二：设尸（心呂），@3必），则A（-壬.一叫），&（-七，力）.由题意可知，点M在直线R4上,且纵坐标为力，设M（xM,y2）,由场=知可得：7TT=7?rr»整理得：x=2」），2+丐力一呵月,二M（2为力+工2,2一易乂、凹+力'I乂+力，2丿，同理可得N_/为+祁-2斗

设线段A/N的中点坐标为，(气,%),则心=存+；")__则心=存+；