第四章 随机模拟

第四章随机模拟第1页，共57页，2023年，2月20日，星期三一、随机模拟简介

随机模拟方法又称蒙特卡罗（MonteCarlo）方法或统计试验法，是指随机系统可以用概率模型来描述并进行试验的方法。随机模拟方法在现在精算和风险分析中起着非常重要的作用。模拟是建立系统或决策问题的数学或逻辑模型，并以该模型进行试验，以获得对系统行为的认识或帮助解决决策问题的过程。第2页，共57页，2023年，2月20日，星期三蒙特卡罗模拟方法的原理计算图中不规则图形的面积与正方形图形面积的比率:xf(x)aa0＊选择一组随机数(x,y)，

x，y均属于(0,b),b>a,在正方形内描出坐标点(x,y)＊多次重复这一过程，到某一步为止。第3页，共57页，2023年，2月20日，星期三什么时候用模拟？

＊在费用和时间上均难以对风险系统进行大量实测；＊由于实际风险系统的损失后果严重而不能进行实测；＊难以对复杂的风险系统构造精确的解析模型；＊用解析模型不易求解；＊对解析模型进行验证。第4页，共57页，2023年，2月20日，星期三模拟的基本步骤：＊建立恰当模型；＊设计试验方法；＊从概率分布中重复生成随机数；＊分析模拟结果。

步骤3是任何随机模拟的基本要素，本章将讨论几种常用分布的随机数生成方法，并通过几个简单例子来说明随机模拟方法在保险精算中的应用。第5页，共57页，2023年，2月20日，星期三均匀随机数模拟定积分计算常规方法不易计算，利用随机数获得一近似值。设U～U[0,1],Y=f(U),则由数理统计知识可知，利用某种手段产生[0,1]上的均匀随机数：则第6页，共57页，2023年，2月20日，星期三二、均匀随机数与伪随机数对随机现象进行模拟，首要的问题是解决随机数的生成问题，服从均匀分布U(0,1)的随机数是一切随机模拟的基础。因而产生[0,1]区间上的服从均匀分布的随机数是随机模拟的关键。随机数应满足的条件：＊统计性能好＊周期长＊计算简便第7页，共57页，2023年，2月20日，星期三产生均匀随机数的方法：＊检表法＊物理方法＊数学方法真随机数(平方取中法、倍积取中法、乘同余法)利用递推公式和一组初值，逐步求出第8页，共57页，2023年，2月20日，星期三产生均匀随机数的数学方法：1.

自然取中法(平方取中法)：用数学式子表示就是：＊任取一m位正整数为初值w0＊逐步求出＊将数列除以10m，则得[0,1]上的均匀随机数列第9页，共57页，2023年，2月20日，星期三例1.设w0＝3456，利用平方取中法，求服从区间[0,1]上服从均匀分布的随机数列。解：得到[0,1]上的均匀随机数列则则则第10页，共57页，2023年，2月20日，星期三产生均匀随机数的数学方法：2.

倍积取中法：用数学式子表示就是：＊任取一m位正整数为初值w0＊再选取一正整数k（m位）步骤与平方取中法一样。第11页，共57页，2023年，2月20日，星期三产生均匀随机数的数学方法：3.

乘同余法(一阶线性同余法)：最常用其数学公式为这里k，m和w0都是正整数

根据模运算可知wn

的可能值是0,1,…,m－1，因而最多经过m次运算，将出现重复。所以在采用乘同余法时，必须选择适当的k,m使得对任意初值w0，不发生重复的的数列的项数必须足够大。第12页，共57页，2023年，2月20日，星期三例2.如果选择m＝999563，k＝470001，根据乘同余法求出5个在区间[0,1]上服从均匀分布的随机数。解：取初值w0＝671800，则有第13页，共57页，2023年，2月20日，星期三例2.如果选择m＝999563，k＝470001，根据乘同余法求出5个在区间[0,1]上服从均匀分布的随机数。解：故，所求出的5个随机数为第14页，共57页，2023年，2月20日，星期三3.

乘同余法(一阶线性同余法)：这里k1，m和w0都是正整数混合乘同余法高阶混合乘同余法（二阶）第15页，共57页，2023年，2月20日，星期三例3

用二阶线性同余法产生3个[0，1]区间上均匀分布的随机数，取m=998917，k1=366528，k2=508531,w0=931125,w1=970710。解：w2=（k1

w1+k2w0）mod(m)

=366528*970710+508531*931125(Mod998917)

假设w2=456531，则有u1=456531/998917=0.4570w3=（k1

w2+k2w1）mod(m)

=366528*456531+508531*970710(Mod998917)

假设w3=541290，则有u2=541290/998917=0.5419

假设w4=236974，则有u3=236974/998917=0.2372

第16页，共57页，2023年，2月20日，星期三

验证这些随机数是否满足区间[0,1]上均匀分布的随机变量的抽样分布特征，一般用卡方检验法检验均匀性，用相关系数法检验独立性。

在实际应用中，常见的统计软件都可以产生很好的均匀分布的伪随机数，它们能很好地近似真实的均匀分布随机数，所以，可以认为有一个“黑箱”能产生任意所需的均匀分布随机数。第17页，共57页，2023年，2月20日，星期三三、一般分布的随机数已知来自均匀分布[0,1]上的随机数u，对于随机变量X～F(x)，求来自X的随机数（子样）。2.3.1常用方法：＊反函数法：理论上，任意随机变量都可以由它产生相应的随机数；＊取舍法＊

Box-Muller方法＊极方法第18页，共57页，2023年，2月20日，星期三1.反函数法

若X～F(x)，令x=F-1(u)，则x就是所要求的随机数，其中u为[0,1]上的均匀分布的随机数。说明：1、若U~U(0,1)，则随机变量F-1(U)的分布函数F(x)，即在分布相等的意义上x=F-1(u)。2、若已知X的分布函数为F(x)，只要产生一个均匀分布随机数u，对应地取分布函数F(x)的u分为点即可。第19页，共57页，2023年，2月20日，星期三2.取舍法若X的分布密度函数ƒ(x)可分解为：

ƒ(x)=C•h(x)•g(x)

其中C为大于等于1的常数，0＜g(x)≤1，h(x)是一个简单的密度函数(用反函数法易求)

＊先产生均匀分布的随机数u；

＊再产生与u对应的h(x)的随机数y；＊若u≤g(y),则令x=y；

＊否则新生成均匀分布的随机数u。第20页，共57页，2023年，2月20日，星期三3.Box-Muller方法首先产生[0，1]区间上两个独立的均匀分布的随机数u1与u2，令

x1=(-2lnu1)1/2cos(2πu2)

x2=(-2lnu2)1/2sin(2πu2)

则x1，x2就是两个相互独立的服从N（0，1）分布的随机数。

第21页，共57页，2023年，2月20日，星期三4.极方法首先产生[0，1]区间上两个独立的均匀分布的随机数u1与u2，令

vi=2ui－1ρ=v12+v22

若ρ

>1，重新生成u1和u2；否则令

则x1，x2就是两个相互独立的服从N（0，1）分布的随机数。

第22页，共57页，2023年，2月20日，星期三2.3.2连续型随机变量的模拟例1

设随机变量X的分布函数为

F(x)=xn

0<x<1

试用反函数法给出X的随机数。解：令x=F-1(u)，则

u=F(x)=xn于是x=u1/n即为随机变量X的随机数，其中u为[0,1]上均匀分布的随机数。第23页，共57页，2023年，2月20日，星期三例2

设随机变量X服从参数为l>0的指数分布，其分布函数为

F(x)=1-e-lx

x>0试用反函数法给出X的随机数。解：令x=F-1(u)，则

u=F(x)=1-e-lx

或者1-u=e–lx于是即为X的随机数，其中u为[0,1]上均匀分布的随机数。又故也为X的随机数。第24页，共57页，2023年，2月20日，星期三例3

设随机变量X服从参数为c>0,g>0的韦布尔分布，其分布函数为

试用反函数法给出X的随机数。解：令x=F-1(u)，则于是即为X的随机数，其中u为[0,1]上均匀分布的随机数。第25页，共57页，2023年，2月20日，星期三例4设随机变量X的概率密度为

f(x)=20x(1-x)3,0<x<1试用取舍法模拟随机变量X。解：由于随机变量X在区间(0,1)之外的值都等于零，不妨取h(x)=1,0<x<1下面确定满足f(x)=ch(x)g(x)的最小整数c求函数的最大值，得于是有c=135/64，采用以下取舍法对随机变量X进行模拟：(1)产生(0,1)上的均匀随机数u；(2)若u<g(u),则取x=u，为X的随机数；(3)否则重新生成(0,1)上的均匀随机数。第26页，共57页，2023年，2月20日，星期三例5

试产生标准正态分布N(0,1)的随机数。可用方法：1）反函数法(分布函数没有显式，所以它的分位点需要查表得到；查表法：先得到[0,1]上均匀分布的随机数u，查标准分布函数表F(x)=u,则x为标准正态分布的一个随机数。)2）Box-Muller方法3）极方法4）中心极限定理第27页，共57页，2023年，2月20日，星期三试产生标准正态分布N(0,1)的随机数。4）中心极限定理先得到[0,1]上均匀分布的随机数u1,u2,…,un，且u1,u2,…,un相互独立，令则x为标准正态分布的一个随机数.特别地，n＝12时，或对计算速度要求较高，对正态分布地尾端情况要求不高。第28页，共57页，2023年，2月20日，星期三例6(利用某些随机变量间的关系求解某些分布的随机数)

已知标准正态分布N(0,1)的5个随机数：－0.49，0.32，－0.62，1.31，0.23求：1.相应的N(2,1)的5个随机数；

2.相应的5个参数为m=2,s2=1的对数正态分布的随机数.N(0,1)随机数x：

－0.49，0.32，－0.62，1.31，0.23N(2,1)随机数y：

y=2+1*x对数正态分布的随机数z：z=ey=e2+1*x1.512.321.383.312.234.5210.183.9727.399.30若lnX～N(m,s2)则X服从参数为m,s2的对数正态分布。第29页，共57页，2023年，2月20日，星期三例7(利用某些随机变量间的关系求解某些分布的随机数)

试求c2(n)分布的随机数。先生成N(0,1)的n个独立的随机数x1,x2,…,xn，则就是c2(n)分布的随机数。P48页例4－6(指数分布合成G分布随机数的例子)

第30页，共57页，2023年，2月20日，星期三2.3.3离散型随机变量的模拟反函数法X的概率分布为

＊首先，用分布函数F(x)：F(a1),F(a2),…,F(an),将区间[0,1]划分为n个子区间；

＊其次，生成[0,1]上均匀随机数u；

＊最后，比较u与F(ai),的大小，若

F(ai)≤u＜F(ai+1)，则取x=ai+1，就是所得的随机数 。Xa1a2…anPp1p2…pn第31页，共57页，2023年，2月20日，星期三例8设X的概率分布为试用反函数法求得X的5个随机数。若已用Excel中的RAND函数生成了5个[0,1]上的均匀随机数：0.51327，0.38110，0.18862，0.73616，0.78422X1234P0.200.150.250.40解：0.35＜0.51327＜0.6x1=30.35＜0.38110＜0.6x2=30＜0.18862＜0.2x3=10.6＜0.73616＜1x4=40.6＜0.78422＜1x5=4所以，所求的5个随机数为：3，3，1，4，4.第32页，共57页，2023年，2月20日，星期三例9模拟参数为n,p的二项分布，记为：则二项分布的一个随机数x可按如下过程得到：生成[0，1]区间上均匀分布的随机数u，若u<F0

，则令x=0；若Fk-1≤u

<Fk

，则令x=k。第33页，共57页，2023年，2月20日，星期三例9假设一个医疗保险合约由三个独立的被保险人组成，他们一年中的总看病次数服从二项分布n=3,p=0.9。设每次看病的医疗费用为X，X服从以下分布：每年三人的总医疗费用超过5000元的部分由保险公司支付。1、利用均匀随机数U(0,1)：0.01，0.2产生第一年和第二年的总看病次数。2、利用均匀随机数U(0,1)：0.8，0.95，0.7，0.96，0.54，0.01产生每次看病的费用。计算这两年内保险公司给付总数的一个模拟结果。X10010000P0.90.1第34页，共57页，2023年，2月20日，星期三解：先写出看病次数N的分布律：N0123P0.0010.0270.2430.729F(x)0.0010.0280.27110.001＜0.01＜0.028n1=10.028＜0.2＜0.271n2=2所以，第一年的看病次数为1次；第二年的看病次数为2次。1、利用均匀随机数U(0,1)：0.01，0.2产生第一年和第二年的总看病次数。第35页，共57页，2023年，2月20日，星期三2、利用均匀随机数U(0,1)：0.8，0.95，0.7，0.96，0.54，0.01产生每次看病的费用。计算这两年内保险公司给付总数的一个模拟结果。X10010000P0.90.1x11=100x21=10000x21=100所以，第一年，看病次数为1，费用为100；第二年，看病次数为2，费用为10100-5000=5100。第36页，共57页，2023年，2月20日，星期三例10模拟参数为l的泊松分布，记为：则泊松分布的一个随机数x可按如下方法得到＊反函数法＊分数乘积法满足上式的x为泊松分布的一个随机数，其中ui是均匀随机数。＊中心极限定理近似(l较大时)第37页，共57页，2023年，2月20日，星期三例11产生参数为l=0.1的泊松分布的随机数。解e-0.1=0.9048，再产生一系列均匀分布的随机数：

0.7359,0.1043,0.2689,0.9204,0.1125,0.5734,0.69040.7374,0.9374,0.2109,0.3844,…e-0.1=0.9048>0.7359,则x=0e-0.1=0.9048>0.1043,则x=0e-0.1=0.9048>0.2689,则x=0e-0.1=0.9048>0.9204*0.1125=0.103545,则x=1e-0.1=0.9048>0.5734,则x=0e-0.1=0.9048>0.6904,则x=0e-0.1=0.9048>0.7374,则

x=0e-0.1=0.9048>0.9374*0.2109=0.19769766,则x=1e-0.1=0.9048>0.3844,则x=0每行后面的x的值就是λ=0.1的泊松分布的随机数。第38页，共57页，2023年，2月20日，星期三例12产生参数为l=0.5的泊松分布的随机数。解e-0.5=0.60653，再产生一系列均匀分布的随机数：

0.68379,0.10493,0.81889,0.81953,0.35101,0.16703,0.839460.35006,0.20226,…e-0.5=0.60653<0.68379,又

e-0.5=0.60653>0.68379*0.10493=0.07175,则x=1e-0.5=0.60653<0.81889,又e-0.5=0.60653<0.81889*0.81953=0.67119,又e-0.5=0.60653>0.81889*0.81953*0.35101=0.23559,则x=2e-0.5=0.60653>0.16703,则x=0e-0.5=0.60653<0.83946,又

e-0.5=0.60653>0.83946*0.35006=0.29386,则x=1e-0.5=0.60653>0.20226,则x=0每行后面的x的值就是λ=0.5的泊松分布的随机数。l越大，运算量越大第39页，共57页，2023年，2月20日，星期三序号随机数xi10.73591020.10431030.26891040.9204*0.1125=0.1035450.9204150.57341060.69041070.73741080.9374*0.2109=0.197697660.937419

0.384410e-0.1=0.9048第40页，共57页，2023年，2月20日，星期三序号随机数xi10.68379*0.10493=0.07175

0.68379120.81889*0.81953*0.35101=0.235590.81889*0.81953=0.6711923

0.167031040.83946*0.35006=0.293860.8394615

0.2022610e-0.5=0.60653第41页，共57页，2023年，2月20日，星期三例13模拟负二项分布(帕斯卡分布)的随机数.

负二项分布表（k=6,p=0.6）mP(X=m)P(X≤m)00.04670.046710.11200.158720.15680.315530.16720.482740.15050.633250.12040.753660.8830.84190.68370.10490.81880.81950.351051663均匀随机数第42页，共57页，2023年，2月20日，星期三2.3.4复合型随机变量的模拟设其中Xi

是独立同分布的随机变量，若N服从泊松分布，则称S服从复合泊松分布。

＊首先，生成N分布的随机数n1；

＊然后，再生成n

个Xi分布的随机数x1,x2,…,xn1；即可得S的一个随机数s1＝x1＋x2＋…＋xn1。第43页，共57页，2023年，2月20日，星期三四、模拟应用实例模拟的应用：＊计算积分；＊估计保费；＊计算一些超越数的值，例如π；＊质量检验；＊科学探索。本节以例题的方式给出一些模拟在精算模型中的应用，这些内容只是在模拟的基本方法中加入保险的背景。第44页，共57页，2023年，2月20日，星期三例14模拟一个复合分布的赔付。其中(1)索赔次数N服从二项分布b(3,1-p)，均值为1.8；(2)赔付额均匀分布于{1，2，3，4，5，6，7，8}；(3)索赔额相互独立，且与索赔次数相互独立；(4)模拟索赔次数N，以及各次赔付的索赔额X1,X2,…,XN，然后再重复另一个N以及赔付额，直至得到满意的模拟数量；(5)所有模拟运用反函数法；(6)得到(0,1)上的均匀分布随机数为：0.5,0.1,0.7,0.3,0.4,0.7,0.5,0.9,0.3,0.1；计算第三次模拟的N得到的总的赔付额。第45页，共57页，2023年，2月20日，星期三解：由题意知1.8=3*(1-p)，得p=0.4，故N的分布如下：第一个N对应的随机数为0.5，对应着2次理赔，需使用随机数0.1，0.7模拟赔付额；N0123P0.0640.2880.4320.216F(x)0.0640.3520.78410.352＜0.5＜0.784n1=2第二个N对应的随机数为0.3，对应着1次理赔，需使用随机数0.4；0.064＜0.3＜0.352n2=1第三个N对应的随机数为0.7，对应着2次理赔，需使用随机数0.5，0.9；0.352＜0.7＜0.784n3=248所以，第三次模拟的N得到的总的赔付额为12。第46页，共57页，2023年，2月20日，星期三例15A公司共有20辆货运卡车，公司对未来一年的事故损失制定相应的风险管理计划，为此，需要了解未来一年出现超大损失的情况。经过经验分析，已知：(1)下一年度卡车的碰撞事故次数服从均值为2的泊松分布;(2)每次事故的碰撞损失(以百元为单位)服从自由度为2的c2分布。试确定某个最大损失C，使下一年度公司所有卡车总损失L超过C的概率为5%。即求C，使P(L>C)=0.05。分析：损失L=c21+c22+…+c2N为复合泊松分布。采用随机模拟方法确定L，需生成泊松分布随机数和c2分布随机数，从而估计C的值。第47页，共57页，2023年，2月20日，星期三试验次数事故次数总损失模拟次数事故次数总损失100………………2008628893008749364008859635008959936009059957009141020800926107390093410831000942124311009541258120096613361300975139014009821431150099615711611100418961336第48页，共57页，2023年，2月20日，星期三例16现有课题需要估计某地区平均每个工时的工伤赔偿损失额。已知：(1)赔偿总额B-15~c2(5)。其中c2(5)是自由度为5的c2分布，B以百万元为单位；(2)工人的工作小时数H服从正态分布：均值为25*106小时，标准差为5*106小时。分析：每小时的工伤赔偿损失为B/H。分别模拟B和H的值，得到B/H的值，在计算其平均值即可。第49页，共57页，2023年，2月20日，星期三试验次数B（百万元）H(百万小时)B/H123.117.91.29217.237.70.46326.725.91.03417.520.90.84517.516.81.04620.425.50.80726.224.51.07823.033.60.68921.723.90.911026.025.30.70……………………2222.223.80.932317.624.10.732420.525.20.812517.426.80.65平均值21.224.40.94第50页，共57页，2023年，2月20日，星期三例17现有对某地区机动车辆保险的一些统计研究结果：一般的男性驾驶员平均10年有1次事故，一般的女性驾驶员平均20年有1次事故。这样的统计结果在A先生家中引起了一场争论：A先生与妻子商定，再接下来的10年里，若A先生发生的事故数超出其妻子和女儿发生事故次数中较高者，则A先生对超出的每一次事故向其妻子支付1000元；若10年里A先生的事故次数较其妻子和女儿的事故都低，则由其妻子向A先生支付1000元(无论两者的差是多少)。假设A先生与其妻子女儿都是一般的驾驶员，在接下来的10年中发生事故的次数都服从泊松分布，其中A先生的泊松分布均值为1，其妻子和女儿的泊松分布均值为0.5。是根据随机模拟结果计算A先生向妻子支付金额的平均值。第51页，共57页，2023年，2月20日，星期三A先生A妻A女支付额试验次数随机数事故数随机数事故数随机数事故