实现结构影响运算误差

实现结构影响运算误差第一页，编辑于星期六：十六点五十四分。第1页，共68页。本章作业练习

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12345(d)6(d)(e)(f)8第二页，编辑于星期六：十六点五十四分。第2页，共68页。第五章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

第三页，编辑于星期六：十六点五十四分。第3页，共68页。5.1引言数字滤波器的系统函数：常系数线性差分方程:时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述第四页，编辑于星期六：十六点五十四分。第4页，共68页。系统实现

系统通过对输入序列x(n）进行一定的运算操作，而得到输出序列.由差分方程只需三种运算：

加法、单位延迟、乘常数。因此实现的方法有两种：（1）利用通用计算机编程，即软件实现;（2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。第五页，编辑于星期六：十六点五十四分。第5页，共68页。由系统函数等价的形式有多种同一系统函数实现时对应多种实现结构，实现结构影响运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。网络实现结构实际表示的是一种运算。第六页，编辑于星期六：十六点五十四分。第6页，共68页。5.2用信号流图表示网络结构由差分方程可知数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算用流图表示如下图所示：方框图信号流图第七页，编辑于星期六：十六点五十四分。第7页，共68页。例：二阶数字系统方框图结构流图结构第八页，编辑于星期六：十六点五十四分。第8页，共68页。几个基本概念：a）输入节点或源节点，所处的节点；b）输出节点或阱节点，所处的节点；c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输出的节点；将值分配到每一支路;d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以上输入的节点。*支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。第九页，编辑于星期六：十六点五十四分。第9页，共68页。

信号流图的描述术语即运算规则节点源节点支路阱节点网络节点分支节点输入支路和节点-----相加器节点的值=所有输入支路的值之和输出支路支路的值=支路起点处的节点值传输系数第十页，编辑于星期六：十六点五十四分。第10页，共68页。1例如，和点：1，5；分点：2，3，4；源点：6；阱点：7235467a1y(n-1)y(n)第十一页，编辑于星期六：十六点五十四分。第11页，共68页。第十二页，编辑于星期六：十六点五十四分。第12页，共68页。基本信号流图(PrimitiveSignalFlowGraghs)不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(PrimitiveSignalFlowGraghs)。(1)信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1(2)流图环路中必须存在延时支路(3)节点和支路的数目是有限的。第十三页，编辑于星期六：十六点五十四分。第13页，共68页。例5.2.1求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。

解将5.2.1式进行z变换，得到联立求解得到复杂结构可用梅森公式直接写出（见附录A）第十四页，编辑于星期六：十六点五十四分。第14页，共68页。网络结构分两类一般将网络结构分成两类，一类称为有限长脉冲响应网络，简称FIR(FiniteImpulseResponse)网络，另一类称为无限长脉冲响应网络，简称IIR(InfiniteImpulseResponse)网络。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：其单位脉冲响应h(n)是有限长的第十五页，编辑于星期六：十六点五十四分。第15页，共68页。另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。第十六页，编辑于星期六：十六点五十四分。第16页，共68页。IIR系统的特点1、单位冲激响应h（n）是无限长的。2、系统函数H（z）在有限Z平面（）上有极点存在。3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型§5.3无限长脉冲响应基本网络结构

第十七页，编辑于星期六：十六点五十四分。第17页，共68页。1、直接型（1）系统函数（2）差分方程（N阶）

第十八页，编辑于星期六：十六点五十四分。第18页，共68页。(3)结构流图

设M=N=2按差分方程可以写出。

第十九页，编辑于星期六：十六点五十四分。第19页，共68页。按写出一般情况下，由差分方程可以写出第二十页，编辑于星期六：十六点五十四分。第20页，共68页。第二十一页，编辑于星期六：十六点五十四分。第21页，共68页。(4)特点第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。*共需（M+N）个存储延时单元。第二十二页，编辑于星期六：十六点五十四分。第22页，共68页。例5.3.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解由H(z)写出差分方程如下：第二十三页，编辑于星期六：十六点五十四分。第23页，共68页。图5.3.2例5.3.1图第二十四页，编辑于星期六：十六点五十四分。第24页，共68页。2、级联型先将系统函数按零、极点进行因式分解式中A是常数，Cr和dr，分别表示零点和极点。由于多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点(极点)放在一起，形成个二阶多项式并构成二阶网络Hj(z)，Hj(z)如下式：第二十五页，编辑于星期六：十六点五十四分。第25页，共68页。式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。于是H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。第二十六页，编辑于星期六：十六点五十四分。第26页，共68页。

(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构第二十七页，编辑于星期六：十六点五十四分。第27页，共68页。当（M=N=2）时AB第二十八页，编辑于星期六：十六点五十四分。第28页，共68页。当（M=N=4）时当（M=N=6）时第二十九页，编辑于星期六：十六点五十四分。第29页，共68页。特点：仅影响第j对零点，同样仅影响第j对极点，便于调节滤波器的频率特性。所用的存储器的个数最少。AZ-1Z-1第三十页，编辑于星期六：十六点五十四分。第30页，共68页。例5.3.2设系统函数H(z)如下式：试画出其级联型网络结构。解将H(z)分子分母进行因式分解，得到

为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络。第三十一页，编辑于星期六：十六点五十四分。第31页，共68页。第三十二页，编辑于星期六：十六点五十四分。第32页，共68页。级联型结构的特点级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。调整分子多项式的三个系数可以改变一对零点的位置，调整分母多项式的两个可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，调整方便是优点。级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。第三十三页，编辑于星期六：十六点五十四分。第33页，共68页。式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。其输出Y(z)表示为Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，可得到IIR并联型结构。3.并联型第三十四页，编辑于星期六：十六点五十四分。第34页，共68页。并联型的特点

在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共扼极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。第三十五页，编辑于星期六：十六点五十四分。第35页，共68页。例5.3.3画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图所示。第三十六页，编辑于星期六：十六点五十四分。第36页，共68页。图5.3.5例5.3.3图第三十七页，编辑于星期六：十六点五十四分。第37页，共68页。小结直接型优点：直接型结构简单直观，用的延迟器最少(为N和M中较大者的个数)。缺点：1.系数对滤波器件能的控制关系不直接，因此调整不方便o2.具体实现滤波器时，系数的量化误差将使滤波器的频响产生很大的改变，甚至影响到系统的稳定性；直接型结构一般用以实现低阶系统。对高阶系统，级联和并联结构更具优越性。第三十八页，编辑于星期六：十六点五十四分。第38页，共68页。特点；1.级联结构便于准确地实现系统的零、极点，也便于进行滤波器性能的调整。从总体看，容易控制零点而难于调整极点：2.级联结构的零极点配对方式和基本节级联次序具有很大的灵活性，但由于有限字长的影响，对于不问的排列，运算误差各不相同。3.每个基本节都有相同的结构，硬件实现时可以用一个二阶节进行时分复用，故只需很少的序储单元和运算部件。第三十九页，编辑于星期六：十六点五十四分。第39页，共68页。①运算速度快．各基本节的误差互不影响，总误差低于级联型结构的总LX蟹①从整体卜看，并联结构容易调整极点位置，不容易直接控制零点：第四十页，编辑于星期六：十六点五十四分。第40页，共68页。5.4有限长脉冲响应（FIR）基本网络结构

FIR系统的描述第四十一页，编辑于星期六：十六点五十四分。第41页，共68页。Z=0处为（N-1）阶极点，FIR系统的特点：1、h（n）在有限个n值处不为零。2、H（z）在处收敛，极点全部在Z=0处。，有（N-1）阶零点。3、FIR网络结构为非递归结构，即没有反馈支路，没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为第四十二页，编辑于星期六：十六点五十四分。第42页，共68页。1、直接型（卷积型、横截型）它就是线性移不变系统的卷积和公式h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)第四十三页，编辑于星期六：十六点五十四分。第43页，共68页。2、级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现）第四十四页，编辑于星期六：十六点五十四分。第44页，共68页。级联型的特点系数比直接型多，所需的乘法运算多每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点第四十五页，编辑于星期六：十六点五十四分。第45页，共68页。例5.4.1设FIR网络系统函数H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出H(z)的直接型结构和级联型结构。第四十六页，编辑于星期六：十六点五十四分。第46页，共68页。解将H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。图5.4.2例5.4.1图第四十七页，编辑于星期六：十六点五十四分。第47页，共68页。3.频率采样结构

回忆在第三章的频域抽样定理，频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)克由其频域采样值H(k)内插恢复。满足下面关系式：

参见3.3.4式第四十八页，编辑于星期六：十六点五十四分。第48页，共68页。频域采样的内插恢复公式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。问题：IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。第四十九页，编辑于星期六：十六点五十四分。第49页，共68页。子系统：是N节延时单元的梳状滤波器 在单位圆上有N个等间隔角度的零点：第五十页，编辑于星期六：十六点五十四分。第50页，共68页。单位圆上有一个极点：与第k个零点相抵消，使该频率处的频率响应等于H(k)谐振器IIR子系统：单位圆上不能有极点，而且FIR系统除零点之外没有极点！每个一阶网络在单位园上有一个极点，这些极点正好被梳状滤波器的零点抵消。第五十一页，编辑于星期六：十六点五十四分。第51页，共68页。图5.4.3FIR滤波器频率采样结构第五十二页，编辑于星期六：十六点五十四分。第52页，共68页。频率抽样型结构的优缺点(1)在频率采样点，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。第五十三页，编辑于星期六：十六点五十四分。第53页，共68页。频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。当系数量化时，极点移动，因此，系统稳定裕度为零，实际上是不能用的。(2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。

第五十四页，编辑于星期六：十六点五十四分。第54页，共68页。

修正频率抽样结构将零极点移至半径为r的圆上：解决稳定性的方法第五十五页，编辑于星期六：十六点五十四分。第55页，共68页。为使系数为实数，将共轭根合并由对称性：又h(n)为实数，则第五十六页，编辑于星期六：十六点五十四分。第56页，共68页。将第k个和第(N-k)个谐振器合并成一个实系数的二阶网络：解决系数为复数的方法第五十七页，编辑于星期六：十六点五十四分。第57页，共68页。当N为偶数时，还有一对实数根k=0,N/2处：第五十八页，编辑于星期六：十六点五十四分。第58页，共68页。N为奇数时只有一个实数根在k=0处：z=r第五十九页，编辑于星期六：十六点五十四分。第59页，共68页。频率采样结构的优缺点

一般来说，频率采样结构比较复杂，所需的存储器及乘法器也比较多，但频率采样结构也有其优点：1.如果多数采样值H(k)为零(例如窄带低通或带通滤波滤波器的情况)。则对应的二阶节可省去，使结构大为简化2.在信号频谱分析中，有一种方法是用一组窄带滤波器同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时这些并列的滤波器用频率采样结构3.频率采样结构的每个部分都具有很高的规范性，二阶节很多时，设计也并不复杂。第六十页，编辑于星期六