绵阳一诊理科数学解析

绵阳一诊理科数学解析版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：22017绵阳市一诊数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1．（5分）会集A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}2．（5分）命题“?x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．?x0∈R，x02﹣x0+1≤0B．?x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．?x0R，x02﹣x0+1≤0D．?x0∈R，x02﹣x0+1≤03．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有以下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8B．9C．10D．114．（5分）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0B．1C．2D．5．（5分）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q建立的（）A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件6．（5分）2016年国庆时期，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，依照购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同样，详尽以下：优惠劵A：若商品标价高出100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价高出200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价高出200元，则付款时减免高出200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元7．（5分）要获取函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左第3页（共24页）平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个2）8．（5分）已知sinθ+cosθ=2sin，αsin2θ=2sinβ，则（22A．cosβ=2cosαB．cosβ=2cosαC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α9．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为an（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7B．C．D．1410．（5分）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角均分线AD的长为（）A．B．C．2D．111．（5分）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题13．（5分）若向量满足，则x=．．（分）公差不为0的等差数列{an}中，a1+a3，且4为a2和a9和等比中项，145=8a则a5=．第4页（共24页）．（分）函数（）2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x155fx=的图象在点（e平行，则f（x）的极值点是．16．（5分）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒建立，则实数t的取值范围是．三.解答题（共70分）17．（12分）函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．18．（12分）设数列{an}前n项和为Sn，已知Sn=2an﹣1（n∈N*），1）求数列{an}的通项公式；2）若对任意的n∈N*，不等式k（Sn+1）≥2n﹣9恒建立，求实数k的取值范围．19．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．20．（12分）f（x）=xsinx+cosx；1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参照数据：2.4）第5页（共24页）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx建立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=ex﹣e．1）谈论f（x）的单调区间；2）若a=1，且关于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒建立，求实数m的取值范围．[极坐标与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，2已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ=4cos；θ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C订交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．第6页（共24页）2017绵阳市一诊数学试卷（理科）参照答案与试题解析一、选择题（共60分）1．（5分）（2016秋?天水期末）会集A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}【解析】由一元二次不等式的解法求出会集B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵会集B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，且会集A={x|﹣2＜x＜3}，A∩B={1，2}，应选A．【谈论】本题观察了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）（2015?唐山二模）命题“?x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．?x0∈R，x02﹣x0+1≤0B．?x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．?x0R，x02﹣x0+1≤0D．?x0∈R，x02﹣x0+1≤0【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：由于全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：?x0∈R，x02﹣x0+1≤0．应选：D．【谈论】本题观察命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的观察．3．（5分）（2017春?北市里校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有以下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8B．9C．10D．11第7页（共24页）【解析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，a9=a5+4d=5+4×1=9．应选：B．【谈论】本题观察等差数列的通项公式，观察了上洗手间了的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）（2016秋?西昌市校级月考）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0B．1C．2D．【解析】第一画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：x，y对应的可行域如图：z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A（1，0）时在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为2×1+0=2；应选C．【谈论】本题观察了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何第8页（共24页）意义求最值是要点．5．（5分）（2016秋?绵阳月考）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q建立的（）A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件【解析】分别求出关于p，q建立的x的范围，依照会集的包含关系判断即可．【解答】解：＜1，即p：x＞0；命题q：lnx＜1，即：0＜x＜e，则p是q建立的必要不充分条件，应选：B．【谈论】本题观察了充分必要条件，观察会集的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．6．（5分）（2016秋?西昌市校级月考）2016年国庆时期，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，依照购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同样，详尽以下：优惠劵A：若商品标价高出100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价高出200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价高出200元，则付款时减免高出200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元【解析】依照条件，分别求出减免钱款，可得结论；利用顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，建立不等式，即可求出他购买的商品的标价的最低价．【解答】解：设标价为x元，则（x﹣200）×20%＞x×10%且（x﹣200）×20%30，第9页（共24页）x＞400，即他购买的商品的标价应高于400元．应选B．【谈论】本题观察利用数学知识解决实责问题，观察学生解析解决问题的能力，比较基础．7．（5分）（2016秋?绵阳月考）要获取函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个【解析】依照两角和差的正弦公式求得（fx）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数（fx）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），故将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得f（x）=2sin（2x+）的图象，应选：A．【谈论】本题主要观察两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）（2016秋?西昌市校级月考）已知sinθ+cosθ=2sin，αsin2θ=2sin2β，则（）22A．cosβ=2cosαB．cosβ=2cosαC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得21+sin2θ=4sinα，再利用二倍角公式化简可得cos2α=cos2，β从而得出结论．2【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sin，αsin2θ=2sinβ，222=4?，∴1+sin2θ=4sinα，即1+2sinβ=4sinα，即1+2?化简可得cos2α=2cos2，β应选：D．【谈论】本题主要观察同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础第10页（共24页）题．9．（5分）（2016秋?绵阳月考）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为an（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7B．C．D．14【解析】f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．可得a1（），，=fq=2可得an，即可得出．【解答】解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．a1=f（）=，q=2，∴an==2n﹣3，a3+a4+a5=1+2+22=7．应选：A．【谈论】本题观察了二次函数的单调性、等比数列的通项公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017春?金牛区校级月考）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角均分线AD的长为（）A．B．C．2D．1【解析】由条件利用余弦定理求得BC、cosB的值，依照角均分线的性质求得BD的值，再利用余弦定理求得AD的值．【解答】解：在△ABC中，由于cosA=，AB=4，AC=2，则由余弦定理可得222BC=AB+AC﹣2AB?AC?cosA=16+4﹣16×=18，解得BC=3，第11页（共24页）所以cosB===，依照角均分线的性质可得：=，所以BD=，CD=，由余弦定理得，AD2=AB2+BD2﹣2AB?BD?cosB=16+8﹣2×4××=4，则AD=2，应选C．【谈论】本题观察了余弦定理，以及角均分线的性质的综合应用，观察化简、计算能力．11．（5分）（2016秋?绵阳月考）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）A．B．C．D．【解析】梅涅劳斯定理，，，，求出m，n的关系，即可利用基本不等式求解2m+3n的最小值．【解答】解：矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，可得：，，第12页（共24页）由梅涅劳斯定理，，，可得：，即，?2m+3n=5mn，2m+3n≥，解的：mn．当且仅当2m=3n时取等号，2m+3n=5mn≥应选C．【谈论】本题观察实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法规的合理运用12．（5分）（2016秋?西昌市校级月考）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解析】问题转变为ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，建立，x≠0时，a＞﹣﹣4（x﹣）﹣2，求出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1＞0，ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，建立，x≠0时，a＞﹣x2﹣﹣4（x﹣）=﹣﹣4（x﹣）﹣2，设x﹣=t，则a＞﹣t2﹣4t﹣2=﹣（t+2）2+2，要使x≠0时a恒大于﹣（t+2）2+2，则只需a比﹣（t+2）2+2的最大值大，故a＞2，第13页（共24页）综上，a＞2，应选：A．【谈论】本题观察了函数恒建立问题，观察二次函数的性质以及转变思想，是一道中档题．二、填空题13．（5分）（2017?甘肃模拟）若向量满足，则x=1．【解析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值．【解答】解：∵，∴，又，且，x﹣1=0，即x=1．故答案为：1．【谈论】本题观察平面向量的数量积运算，观察了向量垂直与坐标之间的关系，是基础的计算题．14．（5分）（2017?全国模拟）公差不为0的等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=13．【解析】设等差数列{an}的公差d≠0，由a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，可得2a1+2d=8，，联立解出即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，∴2a1+2d=8，，解得a1=1，d=3．则a5=1+3×4=13．故答案为：13．【谈论】本题观察了等差数列与等比数列的通项公式，观察了推理能力与计算能第14页（共24页）力，属于中档题．15．（5分）（2016秋?绵阳月考）函数f（）=的图象在点（2，f（e2））处xe的切线与直线y=﹣x平行，则f（x）的极值点是x=e．【解析】求出函数的导数，依照f′（e2）=﹣=﹣，求出a的值，从而求出fx）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可．【解答】解：f′（x）=，故f′（e2）=﹣=﹣，解得：a=1，故f（x）=，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=e，经检验x=e是函数的极值点，故答案为：x=e．【谈论】本题观察了函数的单调性、极值问题，观察导数的应用，是一道基础题．16．（5分）（2016秋?西昌市校级月考）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒建立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．【解析】由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数知|3x﹣t|≥|2x|，转变为对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，5x2﹣6xt+t2≥0恒建立问题．【解答】解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数，f（3x﹣t）≥8f（x）=f（2x）；|3x﹣t|≥|2x|；∴（3x﹣t）2≥（2x）2；化简后：5x2﹣6xt+t2≥0①；（1）当t＞0时，①式解为：x≤或x≥t；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒建立，则需：t≤2t﹣1第15页（共24页）故t≥1；（2）当t＜0时，①是解为：x≤t或x≥；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒建立，则需：2t+3≤t故t≤﹣3；3）当t=0时，①式恒建立；综上所述，t≤﹣3或t≥1或t=0．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．【谈论】本题主要观察了函数的基本性质，以及函数恒建立问题，属中等题．三.解答题（共70分）17．（12分）（2016秋?绵阳月考）函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．【解析】（1）利用函数的图象，求出A，T，解出ω，求出，即可获取函数的解析式．2）利用已知条件转变求出角的正弦函数，利用角的变换，求解即可．【解答】解：（1）由图得：A=2．由，解得ω=π．（3分）由，可得，解得，又，可得，第16页（共24页）∴．（6分）（2）由（Ⅰ）知，∴，由α∈（0，），得∈（，），∴．（9分）∴==．（12分）【谈论】本题观察两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，观察计算能力．18．（12分）（2016秋?绵阳月考）设数列{an}前n项和为Sn，已知Sn=2an﹣1（nN*），1）求数列{an}的通项公式；2）若对任意的n∈N*，不等式k（Sn+1）≥2n﹣9恒建立，求实数k的取值范围．【解析】（1）求出数列的首项，利用an=Sn﹣Sn﹣1，求解数列的通项公式．（2）由k（Sn+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，判断数列的单调性，求出最大项，尔后求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）令n=1，S1=2a1﹣1=a1，解得a1=1．（2分）由Sn=2an﹣1，有Sn﹣1=2an﹣1﹣1，两式相减得an=2an﹣2an﹣1，化简得an=2an﹣1（n≥2），∴数列{an}是以首项为1，公比为2的等比数列，∴数列{an}的通项公式．（6分）第17页（共24页）（2）由k（Sn+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，则，（8分）n=1，2，3，4，5时，，∴b1＜b2＜b3＜b4＜b5．（10分）n=6，7，8，时，6＞b7＞b8＞，即b∵b5=＜，∴bn的最大值是．∴实数k的取值范围是．（12分）【谈论】本题观察数列的递推关系式以及数列与函数相结合，观察构造法以及函数的单调性的应用，观察计算能力．19．（12分）（2016秋?绵阳月考）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．【解析】①由，得，代入三角形面积公式求得△ABC的面积S；②由，利用余弦定理求出，再由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：①由，得，∴；②由，可得，于是，即，（1）第18页（共24页）又O为△ABC的外接圆圆心，则，=，2）将（1）代入（2），获取=，解得||=4．由正弦定理得，可解得sinB=．【谈论】本题观察平面向量的数量积运算，观察了平面向量基本定理及其意义，训练了正弦定理和余弦定理在求解三角形问题中的应用，是中档题．20．（12分）（2016秋?绵阳月考）f（x）=xsinx+cosx；1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参照数据：2.4）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx建立，求实数k的取值范围．【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调性，依照零点的判判定理证明即可；（2）求出．令，求出函数的导数，依照函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，x∈（2，3）时，f'（x）=xcosx＜0，∴函数f（x）在（2，3）上是减函数．（2分）又，（4分）∵，，f（3）=3sin3+cos3＜0，由零点存在性定理，f（x）在区间（2，3）上只有1个零点．（6分）（2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx2+cosx，第19页（共24页）整理得．（7分）令，则，令g（x）=xcosx﹣sinx，g'（x）=﹣xsinx＜0，∴g（x）在上单调递减，（9分）∴，即g（x）=xcosx﹣sinx＜0，∴，即在上单调递减，（11分）∴，即．（12分）【谈论】本题观察了函数的零点判判定理，观察函数的单调性、最值问题，观察导数的应用，是一道中档题．21．（12分）（2016秋?绵阳月考）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=ex﹣e．1）谈论f（x）的单调区间；2）若a=1，且关于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒建立，求实数m的取值范围．【解析】（1）求导得f'（x）=，对a进行分类谈论，尔后解不等式，即可分别求出单调区间；（2）构造新函数h（x）=m（ex﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），利用转变思想，将条件转化为关于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒建立，h'（x）=mex﹣（），则h'（1）=me﹣3．若h'（1）＜0，存在x∈（1，+∞），使得h（x）＜0，不吻合条件；若h'（1）≥0，则h'（x）≥﹣﹣2x，利用导数可判断φ（x）=﹣﹣2x＞0在（1，+∞）上恒建立，即h'（x）＞0恒建立，则h（x）在（1，+∞）上单调递加，从而h（x）＞h（1）=0恒建立，故m的取值范围为[，+∞）．第20页（共24页）【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）==a≥0时，f'（x）＞0恒建立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；a＜0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜；由f'（x）＜0，得x＞，故f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；2）a=1时，f（x）=lnx+x2﹣1记h（x）=mg（x）﹣f（x）=m（ex﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），x∈（1，+∞），则h1）=0，∵关于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒建立，∴关于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒建立，h'（x）=mex﹣（），则h'（1）=me﹣3若h'（1）＜0，即m＜，则存在x0∈（1，+∞），使得x∈（1，x0）时，h'（x）0，即h（x）在（1，x0）上单调递减，此时h（x）＜h（1）=0，不吻合条件；若h'（1）≥0，即m≥，则h'（x）≥﹣﹣2x，令φ（x）=（x＞1），∵φ'（x）=＞＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递加，∴φ（x）＞φ（1）=0，即h'（x）≥φ（x）＞