基础力学第八章节

1基础力学第八章节2第8章扭转返回§8—4受扭圆杆的强度条件和刚度条件§8—6矩形截面杆的扭转§8—2薄壁圆筒扭转时的应力和变形§8—3圆杆扭转时的应力和变形§8—5等圆截面直杆在扭转时的应变能§8—1扭矩和扭矩图3内容提要8-1扭矩和扭矩图8-2薄壁圆筒扭转时的应力和变形8-3圆杆扭转时的应力和变形4

扭转变形特征：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。受力特征：由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆轴的两个力偶引起。MeMe5一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。工程实例MMFFM63、机器中的传动轴工作时受扭。4、钻井中的钻杆工作时受扭。Mm78MeMeOO’AB§8-1扭矩和扭矩图一、杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形b’ab在两个转向相反的外力偶作用下发生扭转变形时，表面上原有直线ab变为螺旋线ab’。诸横截面绕杆的轴线相对转动。9nnmm•xm•x在n—n

截面处假想将轴截开，取左侧为研究对象分析图示圆轴任一横截面n—n上的内力。仍用

截面法。二、扭矩和扭矩图10nnMeMe•xMe•xT横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上扭矩。Mex••T取右侧为研究对象，其扭矩与取左侧为研究对象时数值相同但转向相反。统一标准11右手螺旋法则：使卷曲右手的四指转向与扭矩转向相同,若大拇指的指向离开横截面则该扭矩为正;反之为负。扭矩符号的规定++nnMeMe•xMe•xTMe•x•T12用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的纵坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。

13例题

:作用在传动轴上的外力矩的大小分别为:MA=2KN.m,MB=3.5KN.m,MC=1KN.m,MD=0.5KN.m,试作该轴的扭矩图.ABCDMAMBMCMD解:分别求出AB,BC,CD段任一横截面上的扭矩14ABCDMAMBMCMDAB段:(假设扭矩为正

)11AMAT115ABCDMAMBMCMDBC段:(假设扭矩为正

)22AMAMBBT216ABCDMAMBMCMDCD段:(假设扭矩为正

)33DMDT317ABCDMAMBMCMD21.50.5++-单位：KN.m18R0

是薄壁圆筒的厚度，

R0是平均半径。§8—2薄壁圆筒扭转时的应力和变形一、横截面上的切应力19用截面法求任一横截面n—n上的内力MMlnn20MnnMMlnnT薄壁圆筒扭转时其任一横截面n-n上的内力为扭矩T

。21实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。1、实验：预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。222、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。233、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。244、定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，方向必与圆周相切。

⑶因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。25MM圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为相对扭转角

，用表示。26Mnnxr5、推导公式由上述分析，就可得出薄壁圆筒扭转时，横截面上任一点处的切应力都是相等的，而其方向与圆周相切。T27R0为薄壁圆筒平均半径MnnxrT28上式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式。MnnxrT29薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致。T30二、剪切胡克定律MABCDlM31MABCDlR为薄壁圆筒的外半徑M薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶M

在某一范围内时，与M（在数值上等于T）成正比

32To从T与之间的线性关系，可推出

与

间的线性关系。该式称为材料的

剪切胡克定律oP薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶M

在某一范围内时，与M（在数值上等于T）成正比

33G

称为材料的

剪切弹性模量

。其单位是Pa。剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的剪切屈服极限P时才适用。即材料在线弹性范围内工作。34拉(压)、剪切弹性模量与泊松比的关系35§8—3圆杆扭转时的应力和变形一、横截面上的应力

36预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。37MM两圆周线绕杆件的轴线相对旋转了一个角度，圆周线的形状和大小均未改变;实验结果：在变形微小的情况下，纵向线则倾斜了一个相同的角度。38MM刚性平面假设：变形前垂直于轴的圆形横截面，在变形后仍保持为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。39导出这类杆件横截面上切应力计算公式的关键在于确定切应力在横截面上的变化规律，即与的关系。→利用静力学关系得出的计算公式。为确定切应力在横截面上的变化规律，需首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，推断杆件内任意处圆柱面上的切应变，最后还要利用切应力与切应变的物理关系。下面按照问题中的几何关系、物理关系以及静力学关系这三个方面来具体分析圆杆受扭时横截面上的应力。40aabTTdxb1、几何方面DA倾角

是横截面圆周上任一点A处的切应变D1杆件内任意点处圆柱面上的切应变41aabTTdxbDAD1d

是b—b截面相对于a—a截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个角度。42aabTTdxbDAD1经过半径O1A上任一点E的纵向线EG。GE43aabTTdxbDAD1EG也倾斜了一个角度

EG1是横截面半径上任一点

E

处的切应变。G44此式说明：同一半径圆周上各点切应变

均相同，且其值与成正比。452、物理方面由剪切胡克定律46同一圆周上各点应力

均相同

，且其值与成正比，垂直于半径。473、静力学方面oTdA每个微元力对圆心的矩为所有微元力对圆心的矩之和等于横截面上的扭矩T。48oTdA49oTdA上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式50称为横截面对圆心的

极惯性矩式中：T

为横截面上的扭矩；

为求应力的点到圆心的距离：51oT

横截面周边各点处，切应力将达到最大值。说明：切应力与成正比。且垂直于半径。指向与T

的转向一致。圆心处的切应力为零。52WP称作抗扭截面系数，单位为mm3

或m3。53抗扭截面系数公式二、极惯性矩及抗扭截面系数极惯性矩公式54do实心圆截面

55Ddo空心圆截面56

应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）57圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量的是计算等直圆杆相对扭转角的依据。三、扭转角其中d

代表相距为dx

的两横截面间的相对扭转角。58长为l的一段杆两端面间的相对扭转角

可按下式计算对于同一材料制成的等直圆轴（G，Ip为常量），当只在两端受一对外力偶作用时（T为常量），从上式可得GIP

称作抗扭刚度。59例题：图示实心圆轴外径d=60mm，在横截面上分别受外力矩mB=3.8KN.m,mC=1.27KN.m作用，已知材料的剪切弹性模量G=8104MPa。求B截面对于A截面的相对扭转角BA，C截面对于B截面的相对扭转角CB，C截面对于A截面的相对扭转角CA，并求C截面的绝对扭转角C。mBmCABC0.7m1m60mBmCABC0.7m1m解：由截面法得知需分段计算相对扭转角mB=3.8KN.m,mC=1.27KN.m61mBmCABC0.7m1m62mBmCABC0.7m1m63mBmCABC0.7m1m因A截面固定，C截面的绝对扭转角C

，等于C截面相对于A截面的相对扭转角CA

。64例题：一水轮机的功率为P=7350KW，其竖轴是直径为d=650mm而长度为l=6000mm的等截面实心钢轴，材料的切变模量为G=0.8105MPa，求当水轮机以转速n=57.7r/min匀速转动时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角。解：将轴传递功率换算为功它应等于作用在轴上的外力偶在每分钟作的功。M65M外力偶在每分钟作的功等于外力偶矩M与轴在每分钟转动的角度的乘积，即与角速度的乘积。所以注意公式中M，P，n

的单位66本题中最大切应力相对扭转角67低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。四、斜截面上的应力68xxAxxdabc从受扭杆件A点处取一单元体单元体的左、右两侧面属于杆的横截面，顶面和底面属于杆的径向截面，单元体的前后面属于杆的切向平面。69xxAxxdabc由切应力互等定理，单元体的左、右、上、下四个侧面作用着相等的切应力，单元体的前、后面上没有切应力。单元体属于纯剪切应力状态70xxdabc与单元体前、后面垂直的任意斜截面上的应力dabcnx也是斜截面的外法线n与x轴的夹角。71假设de的面积为dAdc

的面积为dAcosce

的面积为dAsin

dabcnxedcetnx72edCtnebetnx73斜截面上应力的计算公式dCedabcnxentx74abcdxnfe在=-450

和=+450

的两斜截面上正应力分别为中的最大值和最小值，它们的绝对值都等于，但一个为拉应力，一个为压应力。且在这两截面上切应力等于零。75以上结论是纯剪切应力状态的特点，并不限于等直圆杆扭转时这一特殊情况。tt´smaxsmin45°结论：如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏（塑性材料）；

如果材料的抗拉压能力差，构件就沿450