高中数学人教高中必修第二章基本初等函数(Ⅰ)§对数函数及其性质

§2.2.2-1对数函数及其性质xyO1前面我们学习了指数函数，现在我们来回顾一下研究指数函数的过程。性质定义图像定义：

一般地,函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R.函数y=ax(a>0,且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴

,过定点

.上方(0,1)指数函数的性质函数y=ax(a>0,且a≠1)性质定义域值域

单调性函数值变化规律当x=0时,

.当x<0时,

;当x>0时,

.当x<0时,

;当x>0时,

.(0,+∞)减函数增函数y=1y>10<y<10<y<1y>1R0<a<1a>1球菌分裂过程球菌个数第一次第二次第三次2=218=234=22…………

第x次……分裂次数y=2x(x∈N*)创设情景，探究新知问题1：对于指数函数y=2x(x∈R)，其中y是x的函数，那x是y的函数吗？x＝

log2

yy＝

log2

x创设情景，探究新知1.对数函数的定义

一般地,我们把函数y=logax

(a＞0,且a≠1)叫做对数函数(logarithmicfunction),其中x是自变量,函数的定义域为(0,＋∞)3.系数：1对数函数的解析式有什么结构特征？想一想：1.底数：a＞0,且a≠12.真数：xy=logax

创设情景，探究新知例1:下列函数中,哪些是对数函数?(1)y=log3(x+2)(2)y=log2x-1(3)

y=logx2(4)

y=loga+1x(a>-1且a≠0)

(5)y=log3x2(6)y=2log3x√例题讲解，深化概念xyOy......168421x2.对数函数的图象......432关于x轴对称10-1y=log2

x

y=log0.5

x归纳总结,形成概念探

选取底数a

(a＞0,且a≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象,观察图象你能发现它们有哪些共同特征吗?究3.对数函数的性质a＞10＜a＜1图象性质xyO定义域:(0,+∞);值域:R过点(1,0),即当x＝1时,y＝0.在(0,+∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数xyOx∈(0,1)时,y<0;x∈(1,+∞)时,y>0.x∈(0,1)时,y>0;x∈(1,+∞)时,y<0.归纳总结,形成概念例2.求下列函数的定义域(a＞0,且a≠1)(1)∵x2＞0即x≠0

∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}(2)∵4-x＞0即x＜4

∴函数y=loga(4-x)的定义域是{x|x＜4}解:例题讲解，深化概念例3.比较下列各组数中两个值的大小:(1)log23.4,log28.5(2)log0.31.8,log0.32.7(3)loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)(4)log3π,logπ3(5)log38,log0.32例题讲解，深化概念例2.比较下列各组数中两个值的大小:(1)log23.4,log28.5另解：∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数,

且3.4＜8.5,∴log23.4＜log28.5解:xyO3.48.5由图可知：log23.4＜log28.5例题讲解，深化概念(2)log0.31.8,log0.32.7解:∵y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数,

且1.8＜2.7,∴log0.31.8＞log0.32.7xyO1.82.7例题讲解，深化概念(3)loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)比较对数的大小时,底数与真数都必须关注.

对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1,因此需要对底数a进行讨论.解:当a＞1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,且5.1＜5.9,所以

loga5.1＜loga5.9

当0＜a＜1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,且5.1＜5.9,所以

loga5.1＞loga5.9例题讲解，深化概念解:xyO(4)log3π,logπ3y=log3xy=logπx13π1由图可知:log3π>logπ3例题讲解，深化概念解:xyO(5)log38,log0.32y=log3xy=log0.3x128由图可知:log38>log0.32例题讲解，深化概念结论1.两个同底数的对数比较大小的一般步骤:①确定所要考查的对数函数;②根据对数底数判断对数函数增减性;③比较真数大小