平面向量的正交分解及坐标表示及坐标运算

平面向量的正交分解及坐标表示复习平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2

使a=λ1e1+λ2e2a=λ1e1+λ2e2复习(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一确定的数量。G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解新课引入G与F1,F2有什么关系?类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a2把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个不共线向量互相垂直时aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解思考：

我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。yOxji向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x

i+y

j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标axiyj向量的坐标表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)（一）yOxajixiyj相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)bxiyjyxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOjia(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；向量的坐标与点的坐标关系向量P（x

，y）一一对应例1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-5ji1234a=(2,3)由图可知a=AA1+AA2=2i+3j,已知，求的坐标.OxyB(x2,y2)A(x1,y1)结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。总结:对向量坐标表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)相等的向量有相等的坐标.练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.解：（二凶）平锡面向庆量的眯坐标睡运算丸：结论2：两怜个向鹊量和冠与差惯的坐痛标分成别等酷于这脂两个恭向量塌相应壤坐标干的和狭与差.结论3：实醉数与期向量右乘积眨的坐忠标等战于用狡这个弟实数记乘原竭来向林量的田相应放坐标.例3,、（20艺08辽宁役）已碍知四闻边形AB脱CD的三粱个顶盼点A(杀0,炭2)岛,B夏(-什1,较-2粮),胜C(川3,凡1)谅,且羞，拣则顶宜点D的坐辈标为掀（进）A.（2，）B.（2，）C.（3，2）D.（1，3）A解析棕：设D（x,y），得x=2,y=,故选A例5：已烫知平遣行四满边形AB误CD的三钞个顶舌点A、B、C的坐授标分些别为滨（-2，1）、迟（-1，3）、藏（3，4），筹求顶朵点D的坐味标。xyOA(旦-2幅,1质)B(咸-1忘,3唱))C(推3,译4)D(谋x,牢y)OyxABCD例5：已泛知平杀行四挤边形AB住CD的三咳个顶渐点的霉坐标桨分别宪是（-礼2，1）、玻（-息1，3）、览（3，4），湖求顶鼻点D的坐但标.变式：已知边平面予上三滋点的旷坐标饱分别烟为A(2,安1逐),肝B杯(1,费3除),及C削(3场,画4)，求点D的坐循标使焰这四坦点构吴成平转行四偿边形战四个膜顶点亮。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由得D1=(2,2)当平除行四煮边形投为AC谊DB时，得D2=(去4,句6服)D1D2当平潜行四益边形匠为DA构CB时，得D3=(6,压0干)D3课堂朽小结:1.向量脖的坐辟标的购概念:2.对向厉量坐知标表佛示的诞理解:3.平面该向量腿的坐厕标运翅算:(1绸)任一不平面欣向量气都有毁唯一辞的坐滤标;(2院)向量飞的坐厚标与桑其起线点、榆终点蛛坐标丹的关纹系；(3笔)相等掏的向菠量有注相等委的坐穗标.4.能初虚步运才用向域量解蔬决平墙面几汪何问等题:“向量”的思遭想2.若将悦向量堤围械绕原智点按炭逆时肢针方逮向旋来转骨得到民向量廉，内则狂的坐详标为河（满）.1.若向慈量=（1，-2）的喜终点蒸在原踢点，嫂那么惧这个楼向量挽的始陪点坐漫标是．（-1，2）课堂练习一4.已知A、B的坐闲标分惭别为录，与昼平辫行的棍向量犯的坐变标可俭以是__录__减__辅__菜__熔__趣.（填卷写正届确的音序号蒙）．3.已知集点A(膀8,老2)，点B(喇3,棍5)，将创沿x轴向蛾左平冒移5个单佩位得剥到向鹿量喘，势则①；②；③；④①②末③5.如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：（1）（2）若用来表示，则：1153547（3）向量能否由表示出来？可以的话，如何表示？随堂练习缓二坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B标坐标为A、(x-2,y+1)