全品中考复习数学第三单元-函数及其图像

第10讲平面直角坐标系与函数第11讲一次函数的图象与性质第12讲一次函数的应用

第13讲反比例函数第14讲二次函数的图像及其性质第15讲二次函数与一元二次方程第16讲二次函数的应用第三单元函数及其图象第三单元函数及其图象第10讲┃平面直角坐标系与函数第10讲平面直角坐标系与函数第10讲┃考点聚焦考点聚焦考点1平面直角坐标系坐标轴上的点x轴、y轴上的点不属于任何象限对应关系坐标平面内的点与有序实数对是________对应的一一第10讲┃考点聚焦平面内点P(x，y)的坐标的特征(1)各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限⇔__________点P(x,y)在第二象限⇔__________点P(x,y)在第三象限⇔__________点P(x,y)在第四象限⇔__________(2)坐标轴上点的坐标的特征点P(x,y)在x轴上⇔________________点P(x,y)在y轴上⇔________________点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x、y同时为零，即点P的坐标为(0,0)x>0y>0

x<0y>0

x<0y<0

x>0y<0

y＝0，x为任意实数

x＝0，y为任意实数

第10讲┃考点聚焦考点2平面直角坐标系内点的坐标特征平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特征(1)平行于x轴平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数(2)平行于y轴平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数第10讲┃考点聚焦各象限的平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限的平分线上的点第一、三象限的平分线上的点的横、纵坐标________(2)第二、四象限的平分线上的点第二、四象限的平分线上的点的横、纵坐标________相等互为相反数考点3点到坐标轴的距离第10讲┃考点聚焦到x轴的距离点P(a，b)到x轴的距离等于点P的________________即到y轴的距离点P(a，b)到y轴的距离等于点P的________________即纵坐标的绝对值

横坐标的绝对值

考点4平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标第10讲┃考点聚焦用坐标表示平移

点的平移在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可以得到对应点______(或______)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点______或(______)

图形的平移对于一个图形的平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，反过来，从图形上点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的平移(x＋a，y)

(x－a，y)

(x，y＋b)

(x，y-b)

第10讲┃考点聚焦某点的对称点的坐标关于x轴

点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标为________规律可简记为：谁对称谁不变，另一个变号，原点对称都变号

关于y轴点P(x，y)关于y轴对称的点P2的坐标为________

关于原点点P(x，y)关于原点对称的点P3的坐标为________

(x，－y)

(－x，y)

(－x，－y)

考点5用坐标表示地理位置第10讲┃考点聚焦用坐标表示地理位置(1)平面直角坐标系法(2)方位角＋距离考点6函数的有关概念第10讲┃考点聚焦常量与变量定义在某一变化过程中，始终保持________的量叫做常量，数值发生________的量叫做变量关系常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是：“在某一变化过程中”．同一个量在不同的变化过程中可以是常量，也可以是变量，这要根据问题的条件来确定不变变化

第10讲┃考点聚焦函数的概念函数定义一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们称x是自变量，y是x的函数函数值对于一个函数，如果当自变量x＝a时，因变量y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值第10讲┃考点聚焦确定自变量的取值范围的依据(1)使解析式有意义(2)使实际问题有意义防错提醒函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系考点6函数的表示方法第10讲┃考点聚焦表示方法(1)列表法(2)图象法(3)解析法使用指导表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法考点7函数图象的概念及画法第10讲┃考点聚焦概念一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么平面直角坐标系内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象画法步骤(1)列表(2)描点(3)连线第10讲┃归类示例归类示例►类型之一与平面直角坐标系有关的问题命题角度：1．平面直角坐标系的概念2．求坐标系中点的坐标例1[2012·山西]如图10－1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC＝2，则点B的坐标是________．图10－1第10讲┃归类示例第10讲┃归类示例►类型之二坐标平面内点的坐标特征命题角度：1.四个象限内点的坐标特征；2.坐标轴上的点的坐标特征；3.平行于x轴，平行于y轴的直线上的点的坐标特征；4.第一、三，第二、四象限的平分线上的点的坐标特征．例2[2012·扬州]

在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．

m>2

[解析]由第一象限内点的坐标的特点可得：解得m＞2.►类型之三关于x轴，y轴及原点对称的点的坐标特征命题角度：1.关于x轴对称的点的坐标特征；2.关于y轴对称的点的坐标特征；3.关于原点对称的点的坐标特征．第10讲┃归类示例例3[2012·遂宁]平面直角坐标系中，点(－3,4)关于y轴对称的点的坐标是________．(3，4)[解析]因为要求的点与点(－3,4)关于y轴对称，所以它的横坐标是已知点的相反数，即3；而纵坐标不变，所以要求点的坐标是(3，4)．第10讲┃归类示例平面直角坐标系中，与点有关的对称关系常用的有3种：①关于x轴成轴对称的两点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴成轴对称的两点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同；③关于原点成中心对称的两点的坐标特点：横坐标和纵坐标都互为相反数．►类型之三坐标系中的图形的平移与旋转例4[2012·南京]在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换．如图10－2，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是(－1，－1)、(－3，－1)，把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是________．第10讲┃归类示例命题角度：1．坐标系中的图形平移的坐标变化与作图；2．坐标系中的图形旋转的坐标变化与作图．图10－2第10讲┃归类示例求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质，二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．►类型之五函数的概念及函数自变量的取值范围例5[2012·无锡

]第10讲┃归类示例命题角度：1．常量与变量，函数的概念；2．函数自变量的取值范围．x≥2[解析]由题意，得2x－4≥0，解得x≥2.第10讲┃归类示例函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：(1)当函数关系式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数关系式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数关系式是二次根式时，被开方数为非负数．此题就是第三种情形，考虑被开方数必须大于等于0.►类型之五函数图象例6[2012·南京]看图说故事．请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量．第10讲┃归类示例命题角度：1．画函数图象；2．函数图象的实际应用．图10－3

第10讲┃归类示例[解析]本题是一道开放性问题，其目的是体现函数中变量之间的关系，并能赋予这两个变量的实际意义，编写的故事只要符合这两个条件即可．

解：小明的爷爷晚饭后出去散步，5分钟后到达离家2千米的公园，在公园里的健身器材处锻炼了6分钟，由于即将下雨，小明爷爷花了4分钟就赶回了家里．请问小明爷爷回家的速度比出去时的速度快多少？第11讲┃一次函数的图象与性质第11讲一次函数的图象与性质第11讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一次函数与正比例函数的概念正比例函数特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b变为y＝kx(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数一次函数一般地，如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数第11讲┃考点聚焦考点2

一次函数的图象和性质(1)正比例函数与一次函数的图象一条直线

第11讲┃考点聚焦

(2)正比例函数与一次函数的性质

一、三象限二、四象限第11讲┃考点聚焦一、二、三象限

一、三、四象限

一、二、四象限

二、三、四象限

考点3两条直线的位置关系第11讲┃考点聚焦直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2位置关系相交________⇔l1和l2相交平行________⇔l1和l2平行k1≠k2

k1＝k2，b1≠b2

考点4两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积第11讲┃考点聚焦考点5由待定系数法求一次函数的解析式第11讲┃考点聚焦因在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知系数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，将其坐标代入得求出k，b的值即可，这种方法叫做__________．待定系数法

考点6一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式(组)第11讲┃考点聚焦一次函数与一次方程一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的值为0时，相应的自变量的值为方程kx＋b＝0的根一次函数与一元一次不等式一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的值大于(或小于)0，相应的自变量的值为不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集一次函数与方程组两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2所组成的关于x，y的方程组的解第11讲┃归类示例归类示例►类型之一一次函数的图象与性质命题角度：1．一次函数的概念；2．一次函数的图象与性质．例1[2012·山西

]如图11－1，一次函数y＝(m－1)x－3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于点A、B，则m的取值范围是(

)A．m>1B．m<1C．m<0D．m>0图11－1B第11讲┃归类示例

[解析]根据函数的图象可知m－1＜0，求出m的取值范围为m＜1.故选B.

第11讲┃归类示例

k和b的符号作用：k的符号决定函数的增减性，k>0时，y随x的增大而增大，k<0时，y随x的增大而减小；b的符号决定图象与y轴交点在原点上方还是下方(上正，下负)．►类型之二一次函数的图象的平移命题角度：1．一次函数的图象的平移规律；2．求一次函数的图象平移后对应的解析式．第11讲┃归类示例例2[2012·衡阳

]如图11－2，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb＝________.

图11－2－8

第11讲┃归类示例

[解析]∵y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，两平行直线的解析式的k值相等，∴k＝2.∵y＝kx＋b的图象经过点A(1，－2)，∴2＋b＝－2，解得b＝－4，∴kb＝2×(－4)＝－8.第11讲┃归类示例

直线y＝kx＋b(k≠0)在平移过程中k值不变．平移的规律是若上下平移，则直接在常数b后加上或减去平移的单位数；若向左(或向右)平移m个单位，则直线y＝kx＋b(k≠0)变为y＝k(x＋m)＋b(或k(x－m)＋b)，其口诀是上加下减，左加右减．►类型之三求一次函数的解析式例3[2012·湘潭]

已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．

第11讲┃归类示例命题角度：由待定系数法求一次函数的解析式．►类型之四一次函数与一次方程(组)，一元一次不等式(组)例4[2012·湖州

]一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)的图象如图11－3所示．根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为______________．第11讲┃归类示例命题角度：1．利用函数图象求二元一次方程组的解；2．利用函数图象解一元一次不等式(组)．x＝－1图11－3

第11讲┃归类示例第11讲┃归类示例

(1)两直线的交点坐标是两直线所对应的二元一次方程组的解．(2)根据在两条直线的交点的左右两侧，图象在上方或下方来确定不等式的解集．第11讲┃回归教材待定系数法求“已知两点的一次函数的关系式”教材母题江苏科技版八上P156T5根据所给函数图象，写出函数关系式(如图11－4)．回归教材图11－4第11讲┃回归教材第11讲┃回归教材中考变式图11－5[2012·聊城]

如图11－5，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．第11讲┃回归教材第12讲┃

一次函数的应用第12讲一次函数的应用第12讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一次函数的应用建模思想一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围实际问题中一次函数的最大(小)值在实际问题中，自变量的取值范围一般受到限制，一次函数的图象就由直线变成线段或射线，根据函数图象的性质，函数就存在最大值或最小值常见类型(1)求一次函数的解析式(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最值等第12讲┃归类示例归类示例►类型之一利用一次函数进行方案选择命题角度：1.求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大或最小值；2.利用一次函数进行方案选择．例1[2012·连云港]我市某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择．方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元；第12讲┃归类示例(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？第12讲┃归类示例[解析](1)根据方式一、二的收费标准即可得出y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式．(2)比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方式．解：(1)由题意得，y1＝4x＋400,y2＝2x＋820.(2)令4x＋400＝2x＋820，解之得x＝210，所以当运输路程小于210km时，y1＜y2，选择邮车运输较好；当运输路程等于210km时，y1＝y2，选择两种方式一样；当运输路程大于210km时，y1＞y2，选择火车运输较好

第12讲┃归类示例一次函数的方案决策题，一般都是利用自变量的取值不同，得出不同方案，并根据自变量的取值范围确定出最佳方案．►类型之二利用一次函数解决资源收费问题命题角度：1.利用一次函数解决个税收取问题；2.利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题．第12讲┃归类示例例2[2012·遵义]为促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图12－1中折线反映了每户居民每月用电电费y(元)与用电量x(度)间的函数关系．

图12－1第12讲┃归类示例(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，请填写下表：档次第一档第二档第三档每月用电量x度0＜x≤140(2)小明家某月用电120度，需要交电费________元；(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式；(4)在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度交纳电费153元，求m的值．54第11讲┃归类示例

[解析](1)利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出：第二档，第三档中x的取值范围；(2)根据第一档范围是：0＜x≤140，利用图象上点的坐标得出解析式，进而得出x＝120时y的值；(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y＝kx＋b，将(140，63)，(230，108)代入求出k，b的值即可；(4)分别求出第二、三档每度电的费用，进而得出m的值即可．第12讲┃归类示例第12讲┃归类示例第12讲┃归类示例

此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方面入手：(1)寻找分段函数的分段点；(2)针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式；(3)利用条件求未知问题．►类型之三利用一次函数解决其他生活实际问题例3[2012·义乌]周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图12－2是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．第12讲┃归类示例命题角度：函数图象在实际生活中的应用．第12讲┃归类示例(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．图12－2第12讲┃归类示例

[解析](1)用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5(h)．(2)如图，求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得被妈妈追上的时间．(3)可以设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为nkm，根据妈妈比小明早到10分钟列出有关n的方程，求得n值即可第12讲┃归类示例第12讲┃归类示例第12讲┃归类示例结合函数图象及性质，弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用，寻找解决问题的突破口，这是解决一次函数应用题常见的思路．“图形信息”题是近几年的中考热点考题，解此类问题应做到三个方面：(1)看图找点，(2)见形想式，(3)建模求解．第12讲┃回归教材根据一次函数的图象进行选择最优方案教材母题

江苏科技版八上P158某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同．以每月用车路程xkm计算，甲汽车租赁公司的月租费是y1元，乙汽车租赁公司的月租费是y2元．如果y1、y2与x之间的关系如图12－3，那么：回归教材图12－3第12讲┃回归教材(1)每月用车路程多少时，租用两家汽车租赁公司的车所需费用相同？(2)每月用车路程在什么范围内，租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少？(3)如果每月用车的路程约为2300km，那么租用哪家的车所需费用较少？第12讲┃回归教材

[解析]从函数图象看，当x＝2000时，两个函数的图象相交于一点，此时两个函数的自变量相同，函数值相同；当x<2000时，y1<y2；当x>2000时，y1>y2.解：(1)每月用车路程为2000km时，租用两家汽车公司的车所需费用相同；(2)每月用车路程小于2000km时，租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少；(3)如果该公司每月用车的路程为2300km，那么租用乙汽车租赁公司的车所需费用较少．第12讲┃回归教材中考变式图12－4[2011·宿迁]某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系如图所示．(1)有月租费的收费方式是________(填①或②)，月租费是________元；(2)分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；(3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．①

30

第12讲┃回归教材[解析](1)当x＝0，y＝30，即表示有月租30元．(2)设y有＝k1x＋30，y无＝k2x，用待定系数法求解．(3)由y有＝y无，即选择通话方式①、②一样实惠，再讨论不等关系．第13讲┃

反比例函数第13讲反比例函数第13讲┃考点聚焦考点聚焦考点1反比例函数的概念自变量

比例系数

第13讲┃考点聚焦考点2反比例函数的图象与性质(1)反比例函数的图象双曲线原点呈现形式反比例函数y＝

(k≠0)的图象是________对称性它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x第13讲┃考点聚焦(2)反比例函数的性质第13讲┃考点聚焦(3)反比例函数比例系数k的几何意义第13讲┃考点聚焦考点3反比例函数的应用第13讲┃归类示例归类示例►类型之一反比例函数的概念命题角度：1.反比例函数的概念；2.求反比例函数的解析式．例1[2012·扬州

]某反比例函数的图象经过(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是(

)A．(－3,2)B．(3,2)C．(2,3)D．(6,1)A第13讲┃归类示例第13讲┃归类示例判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．►类型之二反比例函数的图象与性质命题角度：1.反比例函数的图象与性质；2.反比例函数中k的几何意义．第13讲┃归类示例例2A第13讲┃归类示例

比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．第13讲┃归类示例例3

[2012·河南]

如图13－1，点A，B在反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，△AOC的面积为6，则k的值为________．4

图13－1第13讲┃归类示例第13讲┃归类示例►类型之三反比例函数的应用例4[2012·镇江]如图13－2，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝

在第一象限内交于点C(1，m)．(1)求m和n的值；(2)过x轴上的点D(3,0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝

交于点P、Q，求△APQ的面积．第13讲┃归类示例命题角度：1.反比例函数在实际生活中的应用；2.反比例函数与一次函数的综合运用．第13讲┃归类示例图13－2第13讲┃归类示例[解析]先根据双曲线上点C的坐标求出m的值，从而确定点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数关系式中确定n的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．第13讲┃归类示例第13讲┃回归教材比较反比例函数值的大小方法多教材母题

江苏科技版八下P70T2已知点A(－2，y1)、B(1，y2)和C(2，y3)都在反比例函数y＝

(k<0)的图象上，那么y1、y2和y3的大小关系如何？回归教材第13讲┃回归教材第13讲┃回归教材中考变式

[2010·临沂]已知反比例函数y＝－

图象上三个点的坐标分别是A(－2，y1)、B(－1，y2)、C(2，y3)，能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是(

)A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y2>y1>y3D．y2>y3>y1C

第14讲┃

二次函数的图象及其性质

第14讲二次函数的图象与性质（一）第14讲┃考点聚焦考点聚焦考点1二次函数的概念

定义一般地，如果____________(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数二次函数y＝ax2＋bx＋c的结构特征①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2;②二次项系数a≠0y＝ax2＋bx＋c

第14讲┃考点聚焦考点2

二次函数的图象及画法图象二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的步骤(1)用配方法化成________________的形式；(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图y＝a(x－h)2＋k

第14讲┃考点聚焦考点3二次函数的性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)a>0a<0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸第14讲┃考点聚焦第14讲┃考点聚焦第14讲┃考点聚焦考点3用待定系数法求二次函数的解析式方法适用条件及求法1.一般式若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a、b、c的值2.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式第14讲┃考点聚焦3.交点式若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式第14讲┃归类示例归类示例►类型之一二次函数的定义命题角度：1.二次函数的概念．2.二次函数的一般式。例1若y＝(m＋1)xm2－6m－5是二次函数，则m＝(

)A．7B．－1C．－1或7D．以上都不对

[解析]让x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．由题意得：m2－6m－5＝2，且m＋1≠0.解得m＝7或－1，且m≠－1，∴m＝7，故选A.A

第14讲┃归类示例

利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.►类型之二二次函数的图象与性质命题角度：1.二次函数的图象及画法；2.二次函数的性质．第14讲┃归类示例例2

(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1<x2<1，请比较y1、y2的大小关系(直接写结果)；(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．第14讲┃归类示例

[解析](1)根据配方法的步骤进行计算．(2)由(1)得出抛物线的对称轴，顶点坐标列表，注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标，不要弄错．(3)开口向上，在抛物线的左边，y随x的增大而减小．(4)抛物线y＝x2－4x＋3与直线y＝2的交点的横坐标即为方程x2－4x＋3＝2的两根．

第14讲┃归类示例解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.(2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：x…01234…y…30－103…描点作图如下图．(3)y1>y2.(4)如图，点C，D的横坐标x3，x4即为方程x2－4x＋3＝2的根．第14讲┃归类示例变式题1[2012·烟台]已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个A[解析]①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；②图象的对称轴为直线x＝3，故本说法错误；③其图象顶点坐标为(3，1)，故本说法错误；④当x＜3时，y随x的增大而减小，本说法正确．综上所述，说法正确的只有④，共1个．故选A.第14讲┃归类示例变式题2[2012·泰安]设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(

)A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2A[解析]根据二次函数的图象的对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．∵函数的关系式是y＝－(x＋1)2＋a，图象如图，∴对称轴是直线x＝－1，∴点A关于对称轴的对称点A′是点(0，y1)，那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3.故选A.第14讲┃归类示例►类型之三二次函数的解析式的求法例3已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为，求二次函数的解析式．第14讲┃归类示例命题角度：1.一般式，顶点式，交点式；2.用待定系数法求二次函数的解析式．[解析]根据题目要求，本题可选用多种方法求关系式．第14讲┃归类示例第14讲┃归类示例第14讲┃归类示例第14讲┃归类示例二次函数的关系式有三种：1．一般式y＝ax2＋bx＋c；2．顶点式y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标；3．交点式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中(x1,0)，(x2,0)为抛物线与x轴的交点．一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式．此题属于第三种情形．第15讲┃

二次函数与一元二次方程第15讲二次函数与一元二次方程第15讲┃考点聚焦考点聚焦考点1二次函数与一元二次方程的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数判别式Δ＝b2－4ac的符号方程ax2＋bx＋c＝0有实根的个数2个Δ>0两个________实根1个Δ＝0两个________实根没有Δ<0________实根不相等相等没有第15讲┃考点聚焦考点2

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系第15讲┃考点聚焦第15讲┃考点聚焦考点3二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1：图15－1第15讲┃考点聚焦[注意]确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．第15讲┃归类示例归类示例►类型之一二次函数与一元二次方程命题角度：1．二次函数与一元二次方程之间的关系；2．图象法解一元二次方程；3．二次函数与不等式(组)．例1抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．

(3，0)

[解析]

把(1，0)代入y＝x2－4x＋m中，得m＝3，所以原方程为y＝x2－4x＋3，令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)．

►类型之二二次函数的图象的平移命题角度：1.二次函数的图象的平移规律；2.利用平移求二次函数的图象的关系式．第15讲┃归类示例例2

[2012·扬州]将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是(

)A．y＝(x＋2)2＋2B．y＝(x＋2)2－2C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x－2)2－2B[解析]抛物线y＝x2＋1的顶点为(0，1)，将点(0，1)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的点的坐标为(－2，－2)，所以平移后抛物线的关系式为y＝(x＋2)2－2.故选B.第15讲┃归类示例

1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．2．平移的变化规律可为：(1)上、下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m.(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h－n)2＋k.第15讲┃归类示例例3

[2012·广安]如图15－2，把抛物线y＝0.5x2平移得到抛物线m.抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．图15－2

第15讲┃归类示例第15讲┃归类示例变式题

[2011·绵阳改编]已知抛物线：y＝x2－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图15－3，设它的顶点为B.(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，求抛物线C′的关系式和直线EF的关系式．图15－3

第15讲┃归类示例解：(1)抛物线与x轴只有一个交点，说明Δ＝0，∴m＝2.(2)证明：∵抛物线的关系式是y＝x2－2x＋1，∴A(0，1)，B(1，0)，∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OBA＝45°，A，C是关于对称轴x＝1的对称点，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．►类型之三二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系例4

[2012·重庆]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－4所示，对称轴x＝－.下列结论中，正确的是(

)A．abc>0B．a＋b＝0C．2b＋c>0D．4a＋c<2b第15讲┃归类示例命题角度：1.二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系；2.图象上的特殊点与a，b，c的关系．图15－4D

第15讲┃归类示例第15讲┃归类示例

二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．►类型之四二次函数的图象与性质的综合运用例5

[2012·连云港]

如图15－5，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式；第15讲┃归类示例命题角度：二次函数的图象与性质的综合运用．(2)求△ABD的面积；(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．第15讲┃归类示例图15－5

第15讲┃归类示例

[解析](1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的关系式．(2)根据(1)的函数关系式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可．第15讲┃归类示例第15讲┃归类示例

(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．第16讲┃

二次函数的应用第16讲二次函数的应用第16讲┃考点聚焦考点聚焦考点1二次函数的应用二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．第16讲┃考点聚焦考点2建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．第16讲┃归类示例归类示例►类型之一利用二次函数解决抛物线形问题命题角度：1.利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形问题；2.利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．例1

[2012·安徽]

如图16－1，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.第16讲┃归类示例

(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．图16－1第16讲┃归类示例[解析](1)根据h＝2.6和函数图象经过点(0，2)，可用待定系数法确定二次函数的关系式；(2)要判断球是否过球网，就是求x＝9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43，则球能过网，反之则不能；要判断球是否出界，就是求抛物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不出界，反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x＝18时对应的函数值，并与0相比较．(3)先根据函数图象过点(0，2)，建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界时h的取值范围，结合函数的图象，就是要同时考虑当x＝9时对应的函数y的值大于2.43，且当x＝18时对应的函数y的值小于或等于0，进而确定h的取值范围．第16讲┃归类示例第16讲┃归类示例第16讲┃归类示例第16讲┃归类示例利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．►类型之二二次函数在营销问题方面的应用命题角度：二次函