第6讲比的认识（教师版）（知识梳理典例分析举一反三巩固提升）北师大版

第6讲比的认识知识点一：生活中的比（1）解答这部分关于比的题目时可以运用分数的意义进行解答。如阴影部分是大圆面积的，即大圆面积是8份。（2）比、分数、除法的区别：除法是一种运算，分数是一种数，比表示两个数之间的关系。知识点二：比的化简化简比的方法：

①比的前后项都是整数，前后项同时除以它们的最大公因数；

②比的前后项都是分数，前后项同时乘分母的最小公倍数，再按方法①进行化简；

③比的前后项都是小数，先同时乘10，100，…化成整数，再按方法①进行化简。知识点三：比的应用1.按比分配先求出总量一共平均分成了几份，再用相应的分数来表示各部分量，最后用分数乘法来解答。2.解答比的应用问题的一般方法：

①把比看成份数来解答；

②把比转化成求一个数的几分之几来解答。生活中的比【例1】9：24＝27：72＝15÷40＝。【分析】根据比较与分数的关系3：8，再根据比的基本性质比的前、后项都乘3就是9：24；都乘9就是27：72；根据分数与除法的关系＝3÷8，再根据商不变的性质被除数、除数都乘5就是15÷40。解：9：24＝27：72＝15÷40＝。故答案为：24，72，15。【点评】此题主要是考查除法、分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。1．80%＝4：5＝16：20＝0.8（填小数）.【分析】根据比的基本性质4：5的前、后项都乘4就是16：20；4：5＝4÷5＝0.8；把0.8的小数点向右移动两位添上百分号就是80%。解：80%＝4：5＝16：20＝0.8。故答案为：80，16，0.8。【点评】此题主要是考查小数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。2．从甲地到乙地，李明用了4小时，张帅用了3小时。李明和张帅所用的时间的比是4：3，他俩的速度比是3：4。【分析】从甲地到乙地，李明、张帅用的时间已知，根据比的意义即可写出李明和张帅所用的时间的比；把甲、乙两地的路程看作“1”，根据“速度＝”分别求出二人的速度，然后再根据比的意义即可写出他们的速度比，并化成最简整数比。解：4小时：3小时＝4：3：＝3：4答：李明和张帅所用的时间的比是4：3，他俩的速度比是3：4。故答案为：4，3；3，4。【点评】此题是考查比的意义及化简。关键是明白路程、速度、时间之间的关系。在路程一定的情况下，两人的所用时间比的前、后项交换位置所得到的比就是速度比，要记住这个结论。3．13：19读作13比19．作为一个比应该读作1比3．【分析】横式比就按照前后的顺序读出数，先读第一个数再读比，最后读出第二个数，分数形式的比，先读分子再读比，最后读分母．解：13：19读作13比19．作为一个比应该读作1比3．故答案为：13比19；1比3．【点评】考查了比的读法，横式比先读前项再读比号，最后读后项，分数形式的比先读分子，再读比号，最后读分母．比的化简【例2】3：8的前项加上6，要使比值不变，后项应加上16．【分析】3：8的前项加上6，也就是前项乘3，根据比的基本性质，比的前、后项都乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，后项也要乘3；是24，相当后项加上16．解：3：8＝（3+6）：（8+16）．即3：8的前项前项加上6，要使比值不变，后项应加上16．故答案为：16．【点评】此题是考查比的基本性质，比的基本性质是比的前、后项都乘或除以一个相同的数（0除外），如果比的前项（或后项）加上或减去一个数，要看这项是相当于乘或除以几，它的后项（或前项）也要乘或除以这个数，再把乘或除以这个数转化成加或减一个数．1．在2：5中，如果比的前项乘4，要使比值不变，后项应加上15．【分析】在2：5中，如果前项乘4，根据比的性质，要使比值不变，后项也要乘4，即后项加上5×4﹣5＝15，据此进行选择．解：5×4﹣5＝15在2：5中，如果比的前项乘4，要使比值不变，后项应加上15．故答案为：15．【点评】此题主要考查比的性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变．2．0.5：1的前项扩大10倍，要使比值不变，后项1也应该扩大10倍，这是根据比的基本性质．【分析】比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），也就是比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），比值不变．据此解答．解：0.5：1的前项扩大10倍，要使比值不变，后项也应该扩大10倍，这是根据比的基本性质．故答案为：扩大10倍，比的基本．【点评】此题考查比的性质的运用：比的前项和后项只有同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变．3．：10的比值是，如果把比的前项与后项同时扩大到原来的20倍，比值是。【分析】用比的前项除以后项，所得的商即为比值。比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变。解：：10＝÷10＝如果把比的前项与后项同时扩大到原来的20倍，比值还是。答案为：，。【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法以及，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。比的应用【例3】甲、乙两数的比是5：6，两数的和是66，两数的差是6。【分析】把甲、乙两数之和平均分成（5：6）份，先用除法求出1份是多少，再用乘法分别求出5份（甲）、6份（乙）各是多少，再用乙数减甲数。解：66÷（5+6）＝66÷11＝66×6﹣5×6＝36﹣30＝6答：两数的差是6。故答案为：6。【点评】此题属于按比例分配问题，除按上述解答方法外，也可分别求出甲、乙分别占甲、乙两数之间的几分之几，再根据分数乘法的意义，用甲、乙两数之和乘分率之差。1．小磊生病住院用去医药费3760元，根据儿童医疗保险规定，个人负担和医院报销的比是1：4，小磊可以报销3008元医药费。【分析】把小磊生病住院用去医药费的钱数看作单位“1”，其中医院报销，根据分数乘法的意义，用小磊生病住院用去医药费的钱数（3760元）乘就是小磊可以报销的医药费钱数。解：3760×＝3760×＝3008（元）答：小磊可以报销3008元医药费。故答案为：3008。【点评】解答此题的关键是把比较转化成分数，再根据分数乘法的意义解答。也可把3760元平均分成（1+4）份，再用除法求出1份的钱数，再用乘法求出4份的钱数。2．一个长方形操场，周长是180m，已知长与宽的比是5：4，这个长方形操场的面积是8000m2.【分析】根据长方形的周长计算公式“C＝2（a+b）”，这个长方形的周长除以2就是长、宽之和，再把长、宽之和平均分成（5+4）份，先用除法求出1份的长度，再用乘法分别求出5份（长）、4份（宽）的长度，然后根据长方形的面积计算公式“S＝ab”即可求出这个长方形操场的面积。解：180÷2÷（5+4）＝90÷9＝10（m）（10×5）×（10×4）＝50×40＝2000（m2）答：这个长方形操场的面积是2000m2。故答案为：2000。【点评】此题应用的知识点有三：长方形周长的计算公式、长方形面积计算公式、按比例分配问题。3．一张长方形纸的周长是60cm，长和宽的比是3：2．从这张纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是113.04cm2．【分析】在长方形内剪下的最大圆的直径是长方形的宽（长方形中较短边）．根据长方形周长计算公式“C＝2（a+b）”，这张长方形纸的长、宽之和是（60÷2）cm，这张长方形纸的宽是长、宽之和的，根据分数乘法的意义，用这张长方形纸的长、宽之和乘就是这张长方形纸的宽，也就是剪下的最大圆的直径，根据圆周长计算公式“S＝πr2”及半径与直径的关系“r＝”即可求出这个圆的面积．解：60÷2×＝30×＝12（cm）3.14×（）2＝3.14×62＝3.14×36＝113.04（cm2）答：这个圆的面积113.04cm2．故答案为：113.04．【点评】此题考查的知识点有：长方形周长的计算、按比例分配、圆面积的计算等．一．选择题（共10小题）1．3：5的后项增加10，要使比值不变，比的前项应（）A．加上10 B．乘2 C．加6 D．都不对【分析】3：5的后项增加10，也就是后项变为5+10＝15，15÷5＝3，也就相当于比的后项乘3，根据比的基本性质，比的前项也要乘3，3×3＝9，9﹣3＝6，也就相当于比前项加6．【解答】解：3：5的后项增加10，要使比值不变，比的前项应加6，即3：5＝9：15．故选：C．【点评】本题主要是考查比的基本性质，比的基本性质是比的前、后项都乘或除以同一个数（0除外），比值不变．此题是把比的前、后项都加一个数转化成都乘同一个数，再利用比的基本性质．2．比的前项和后项（）A．都不能为0 B．都可以为0 C．前项可以为0 D．后项可以为0【分析】根据“比的前项相当于除法里的被除数，相当于分数里的分子；比的后项相当于除法里的除数，相当于分数里的分母；在除法中，除数不能为0，在分数中，分母不能为0，所以在比中，比的后项不能为0，如果是0，就失去了意义；据此判断即可．【解答】解：由分析知：比的前项可以为0，比的后项不能为0，如果是0，就失去了意义；故选：C．【点评】此题考查了比的意义，应明确比的后项不能为0，是解答此题的关键．3．下列说法正确的是（）A．除法中的除数相当于比中的前项 B．分数中的分子相当于比中的后项 C．比中的前项相当于除法中的商 D．分数中的分数值相当于比中的比值【分析】根据分数、除法、比之间的关系，分数的分子相当于除法算式中的被除数，相当于比的中的前项；分数线相当于除法算式中的除号，比中的比号；分母相当于除法算式中的除数，比中的后项；分数值相当于除法算式中的商，比中的比值．【解答】解：A、除法中的除数相当于比中的前项．此种说法不正确；B、分数中的分子相当于比中的后项．此种说法不正确；C、比中的前项相当于除法中的商．此种说法不正确；D、分数中的分数值相当于比中的比值．此种说法正确．故选：D．【点评】此题是考查分数、除法、比之间的关系，属于基础知识，要熟记．4．如果男生人数占全班人数的40%，那么男生人数与女生人数的比是（）A．2：5 B．2：3 C．5：3 D．3：2【分析】把全班人数看作单位“1”，男生占全班人数的40%，那么女生占全班人数的：1﹣40%＝60%，据此求出男生人数与女生人数的比即可。【解答】解：女生占全班人数的：1﹣40%＝60%男生人数与女生人数的比是：40%：60%＝2：3故选：B。【点评】解答此题的关键：判断出单位“1”，先求出女生占全班人数的几分之几，进而在同一单位“1”下进行比即可。5．8：15的前项增加16，要使比值不变，后项应（）A．增加30 B．乘以16 C．增加16 D．乘以30【分析】8：15的前项是8，如果前项增加16，前项变成24，扩大了3倍，所以根据比的性质，要使比值不变，后项应该扩大3倍，据此解答即可．【解答】解：（8+16）÷8＝24÷8＝3倍比的前项扩大了3倍，根据比的性质，要使比值不变，后项应该扩大3倍，即增加15×3﹣15＝30．故选：A．【点评】此题主要考查了比的性质的应用．6．比的前项和后项同时（）相同的非零数，比值不变．A．加上 B．减去 C．乘或除 D．乘或除以【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质；据此解答．【解答】解：比的基本性质是：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．故选：D．【点评】紧扣比的基本性质，注意：①同时，②相同的数（0除外）．7．甲、乙两地相距216千米，客车与货车同时从两地相对开出，2小时后相遇．客车与货车的速度比是5：4，客车每小时行（）千米．A．60 B．64 C．72 D．84【分析】甲、乙两地相距216千米，客车与货车同时从两地相对开出，2小时后相遇．两车的速度和是每小时216÷2，又因为客车与货车的速度比是5：4，则客车的速度是216÷2×千米，进而求出客车速度．由此解答即可．【解答】解：216÷2×＝108×＝60（千米）答：客车每小时行60千米．故选：A．【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：总路程÷相遇时间＝速度和，再由按比分配就可以求出客车的速度．8．学校图书馆购买故事书和科技书共计40本，故事书和科技书的本数比可能是（）A．5：4 B．3：4 C．3：5 D．5：2【分析】根据按比例分配问题的解答方法，已知“故事书和科技书共40本”，要求两种书的本数的比，总份数一定能整除40，首先排除两种书的本数的比是5：4、3：4、5：2，因为总份数9和7不能整除40；由此确定两种书的本数的比是3：5；由此解答．【解答】解：由“故事书和科技书共40本”可知，两种书的总份数一定能整除40，5+4＝9、3+4＝7、5+2＝7、3+5＝8故事书和科技书的本数比可能是3：5；故选：C。【点评】此题属于按比例分配问题，总数量一定能被总份数整除，因此本题可以采用排除法，首先排除5：4、3：4、5：2；只有3：5符合题意；由此解决问题。9．0.3m：15cm化简后是（）A．1：50 B．50：1 C．2：1 D．1：2【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一或除以一个数（0除外）比值不变。【解答】解：0.3m：15cm＝（0.3×100cm）：15cm＝30cm：15cm＝2：1故选：C。【点评】此题主要考查了化简比的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。10．下面与：的比值相等的比是（）A．： B．4：5 C．25：20 D．0.4：0.5【分析】先用比：的前项除以后项，得出比值，再用同样的方法求出每一个选项中比的比值，进而找出与：的比值相等的比得解。【解答】解：：＝÷＝A、：＝÷＝，因为≠，所以不符合题意；B、4：5＝4÷5＝，因为≠，所以不符合题意；C、25：20＝25÷20＝，因为，所以符合题意；D、0.4：0.5＝0.4÷0.5＝，因为，所以不符合题意。故选：C。【点评】此题考查学生求比值的方法的运用。二．填空题（共10小题）11．在5：6中，5是比的前项，6是比的后项，比值是．【分析】根据比的各部分名称：“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商，叫做比值；据此解答即可．【解答】解：在5：6中，5是比的前项，6是比的后项，比值是．故答案为：前项，6，．【点评】此题考查了比的各部分名称．12．＝9÷72＝7：56＝＝0.125（小数）【分析】解决此题关键在于，可进一步改写成，也可改写成1÷8，进一步改写成9÷72，也可改写成1：8，进一步改写成7：56，也可改写成0.125．【解答】解：＝9÷72＝7：56＝＝0.125（小数）．故答案为：72，7，5，0.125．【点评】此题考查小数、分数、百分数之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可．13．一个长方形长与宽的比是5：3，周长是160米，长是50米，宽是30米．【分析】根据长方形的周长计算公式“C＝2（a+b）”，这个长方形的长、宽之和是160÷2米，把160÷2米平均分成（5+3）份，先根据除法求出1份是多少米，再根据乘法分别求出5份（长方形长）、3份（长方形宽）各是多少米．【解答】解：160÷2÷（5+3）＝80÷8＝10（米）10×5＝50（米）10×3＝30（米）答：长是50米，宽是30米．故答案为：50，30．【点评】此题是考查按比例分配应用题的特点以及解答规律．也可求出长方形的长、宽之和后，再求出总份数，用它作公分母，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据分数乘法的意义解答．14．5.4：3.6化成最简单的整数比是3：2，比值是1.5。【分析】（1）根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比。（2）用比的前项除以后项，所得的商即为比值。【解答】解：5.4：3.6＝（5.4÷1.8）：（3.6÷1.8）＝3：25.4：3.6＝5.4÷3.6＝1.5故答案为：3：2；1.5。【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。15．3：0.5的比值是6．如果后项乘4，要使比值不变，那么前项应该增加9；如果前、后项都除以0.4，那么比值是6．【分析】用比的前项除以后项，即可求出比值；如果后项乘4，要使比值不变，前项也应乘4，即3×4＝12，再用12减去原来的前项，就是要增加的数；根据比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此解答即可。【解答】解：3：0.5＝3÷0.5＝63×4﹣3＝12﹣3＝93：0.5＝（3÷0.4）÷（0.5÷0.4）＝6答：3：0.5的比值是6．如果后项乘4，要使比值不变，那么前项应该增9；如果前、后项都除以0.4，那么比值是6。故答案为：6，9，6。【点评】此题主要考查比的基本性质的理解和灵活应用，以及求比值的方法。16．在3：7中，如果比的前项增加6，要使比值不变，后项应该增加14．【分析】依据比的性质，即比的前项和后同时乘或除以一个不等于零的数，比的大小不变，即可求解．【解答】解：3：7，比的前项3增加6就变成9，就相当于扩大了3倍，若使比值不变，后项也应扩大3倍，则变成7×3＝21，后项应增加21﹣7＝14．故答案为：14．【点评】解答此题的关键是：看比的前项扩大了几倍（0除外），比的后项也扩大相同的倍数，就能保证比值不变．17．5：4的前项乘3，要使比值不变，后项应加上8．【分析】根据5：4的前项乘3，要使比值不变，后项也应该乘3，由4变成12，也可以认为是后项加上8；据此解答．【解答】解：5：4的前项乘3，要使比值不变，后项也应该乘3，由4变成12，相当于后项加上：12﹣4＝8；故答案为：8．【点评】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变．18．星光小学三年级女生人数比男生人数多，男生人数与女生人数的比是5：6，女生人数与全班人数的比是6：11。【分析】把男生人数看作单位“1”，则女生人数就是（1+），全班人数就是（1+1+）。根据比的意义即可分别写出该班男生人数与女生人数的比、女生人数与全班人数的比。【解答】解：把男生人数看作单位“1”，则女生人数就是（1+），全班人数就是（1+1+）1：（1+）＝1：＝5：6（1+）：（1+1+）＝：＝6：11答：男生人数与女生人数的比是5：6，女生人数与全班人数的比是6：11。故答案为：5：6，6：11。【点评】此题主要是考查比的意义及化简。关键是根据题意弄清男生人数与女生人数的数量关系。19．＝1.5÷2.5＝60%＝12：20＝0.6（填小数）。【分析】根据分数与除法的关系＝3÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都除以2就是1.5÷2.5；3÷5＝0.6；把0.6的小数点向右移动两位添上百分号就是60%；根据比与分数的关系＝3：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘4就是12：20。【解答】解：＝1.5÷2.5＝60%＝12：20＝0.6。故答案为：2.5，60，12，0.6。【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。20．“六一”儿童节期间，学校购买了奶糖和水果糖，各用去280元．已知奶糖和水果糖的单价比是7：4，水果糖比奶糖多买6千克．奶糖的单价是35元/千克，水果糖的单价是20元/千克．【分析】奶糖和水果糖总价相同，都是280元，所以它们的单价和数量成反比，把水果糖总价看作单位“1”，因此奶糖和水果糖的数量比是4：7，6千克所占的份数是1﹣，由此解答即可．【解答】解：6÷（1﹣）＝6÷＝14（千克）14×＝8（千克）280÷8＝35（元）280÷14＝20（元）答：奶糖的单价是35元/千克，水果糖的单价是20元/千克．故答案为：35，20．【点评】本题主要考查了学生对按比例分配应用题和单价、总价和数量三者之间关系的掌握情况．三．判断题（共5小题）21．既可以看作是十三分之九，也可以看作是十三比九．×（判断对错）【分析】看作是把单位“1”平均分成13份，每分是，取其中的9份，即是分数；根据比的另一种书写方式，9：13＝，即是一个比．因此，既可以看作是十三分之九，也可以看作是九比十三．【解答】解：既可以看作是十三分之九，也可以看作是九比十三．原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题主要是考查比与分数关系，一个分数既可看作是一个分数，也可看作是一个分子比分母的比．表示分数时按分数的读法读，表示比是它比的读法读．22．如果甲数比乙数多20%，那么甲数与乙数的比是5：4.×（判断对错）【分析】根据题意，把乙数看作单位“1”，甲数比乙数多20%，也就是甲数是乙数的（1+20%），根据比的意义，求出甲数与乙数的比，然后与5：4进行比较。据此判断。【解答】解：（1+20%）：100%＝120%：100%＝120：100＝6：56：5≠5：4因此，如果甲数比乙数多20%，那么甲数与乙数的比是5：4。这种说法是错误的。故答案为：×。【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用。23．4千克：9千克的比值是​​千克．×（判断对错）【分析】用比的前项除以后项求出比值，然后判断即可．【解答】解：4千克：9千克＝4：9＝4÷9＝由于比值不能带单位，所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题主要考查了求比值的方法，另外还要注意求同类量的比的比值，结果是不带单位的．24．比的前项扩大到原来的4倍，要使比值扩大到原来的8倍，比的后项应缩小到原来的．√（判断对错）【分析】根据比的性质，可知比的前项扩大4倍，要使比值扩大到原来的8倍，比的后项应缩小到原来的4÷8＝；据此解答即可．【解答】解：根据比的性质，可知比的前项扩大4倍，要使比值扩大到原来的8倍，比的后项应缩小到原来的4÷8＝．原说法正确．故答案为：√．【点评】此题考查比的性质的灵活运用．25．可以读作八分之七，也可以读作七比八．√（判断对错）【分析】根据分数的读法，可以读作八分之七；根据比的写法，比可以写成分数的形式，分子表示比的前项、分母表示比的后项，表示比时，可按比的读法，表示比时可以读作7比8．【解答】解：读作八分之七，也可以读作七比八原题说法正确．故答案为：√．【点评】一个分数，表示分数时按分数读法读，表示比时按比的读法读．四．计算题（共1小题）26．求比值。32：400.42：0.140.6：：25：【分析】用比的前项除以后项，所得的商即为比值。【解答】解：32：40＝32÷40＝0.80.42：0.14＝0.42÷0.14＝30.6：＝0.6÷＝0.75：＝÷＝25：＝25÷＝40＝0.6÷8＝0.075【点评】此题主要考查了求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。五．应用题（共5小题）27．一段路长3千米，李叔叔用23分钟走完，王叔叔用34分钟走完。（1）写出李叔叔、王叔叔两人走完这段路程的时间比，并化简。（2）写出李叔叔、王叔叔两人的速度比，并化简。【分析】（1）根据题意找出时间写出时间比即可。（2）先求出速度，再写出时间比，最后化简比即可。【解答】解：（1）李叔叔、王叔叔两人走完这段路程的时间比：23：34答：李叔叔、王叔叔两人走完这段路程的时间比是23：34。（2）李叔叔的速度：3÷23＝（千米/分钟）王叔叔的速度：3÷34＝（千米/分钟）李叔叔和王叔叔的速度比：：＝34：23答：李叔叔、王叔叔两人的速度比34：23。故答案为：23：34；34：23。【点评】这道题解