概率论第二章随机变量

概率论第二章随机变量第一页，共六十一页，编辑于2023年，星期六第一节随机变量及其分布函数定义1:称为随机变量X的分布函数。定义2:设X是一随机变量，x为任意实数，函数上一页下一页返回0xX第二页，共六十一页，编辑于2023年，星期六证明：上一页下一页返回0xX第三页，共六十一页，编辑于2023年，星期六上一页下一页返回第四页，共六十一页，编辑于2023年，星期六上一页下一页返回有第五页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例1：口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球，求取出的三个球中的白球数的分布函数解：设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能取值为1，2，3。而且由古典概率可算得上一页下一页返回第六页，共六十一页，编辑于2023年，星期六于是，X的分布函数为：上一页下一页返回0y1321x第七页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例2:考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到[0，1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。当x<0时解：由几何概率的计算不难求出X的分布函数所以：上一页下一页返回yx011第八页，共六十一页，编辑于2023年，星期六上一页下一页返回第九页，共六十一页，编辑于2023年，星期六第二节离散型随机变量及其分布分布律常用表格形式表示如下：Xx1x2

…xk…pk

p1p2

…pk…

如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。设离散型随机变量X的可能取值为xk(k=1,2,…),事件发生的概率为pk,即称为随机变量X的概率分布或分布律。上一页下一页返回公式形式第十页，共六十一页，编辑于2023年，星期六分布律的两个基本要素：分布律的两条基本性质：例3:

设随机变量X的分布律如下：试求常数a.非负性第十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期六上一页下一页返回第十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期六（１）确定常数a的值;（２）求Ｘ的分布函数得：解：（１）由分布律的完备性知Ｘ０１２pa上一页下一页返回第十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期六（2）由分布函数定义得Ｘ的分布函数为：上一页下一页返回0y1321x5/61/21/21/31/6第十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例：已知随机变量X分布函数是求：X的分布律。解：X的所有取值就说分布函数的间断点1，2，3。X的分布律为：X1230.30.60.1第十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期六两点分布若在一次试验中X只可能取x1

或x2

两值(x1<x2),它的概率分布是则称X服从两点分布。当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（0－1）分布。简记为X~(0-1)分布。X01pk1-pp上一页下一页返回第十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期六若离散型随机变量X的分布律为二项分布其中0<p<1,称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~b(n,p)。上一页下一页返回第十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期六当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1

在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：即X服从二项分布。（0－1）分布可用b(1，p)表示。即为（0－1）分布上一页下一页返回第十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期六令X

=“4次抛掷中掷出5点的次数”，则4次抛掷中3次掷出5点的概率为：

解：令A=“掷出5点”，例4：将一枚均匀的骰子掷4次,求3次掷出5点的概率.第十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例5：某交互式计算机有10个终端，这些终端被各个单位独立使用，使用率均为0.7，求同时使用的终端不超过半数的概率。在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难时，采用了近似计算。下面给出近似公式：解：设X表示10个终端中同时使用的终端数，则X~b(10,0.7)。所求的概率为：上一页下一页返回第二十页，共六十一页，编辑于2023年，星期六泊松定理设λ>0是一常数，n是任意整数，设npn=λ，则对任意一固定的非负整数k，有证明上一页下一页返回第二十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期六定理的条件npn=λ，意味着n很大时候pn必定很小。因此当n很大，p很小时有近似公式其中λ=np。在实际计算中，当时用（λ=np）作为的近似值效果很好。而当时效果更佳。的值有表可查。从而上一页下一页返回第二十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例6：有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？查表可得N+1=9，满足上式最小的N是8。即：至少需配备8个工人才能满足要求。解：设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知X~b(300,0.01)，若配备N位维修人员，所需解决的问题是确定最小的N，使得：P{X>N}<0.01（λ=np=3）上一页下一页返回第二十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期六泊松(Poisson)分布上式给出的概率满足：pk=P{X=k}0,且设随机变量X的所有可能取值为0,1,2…,而取各值的概率为其中λ>0为常数,则称X服从参数为的泊松分布，记为X~()

或X~P()。上一页下一页返回第二十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期六上一页下一页返回例7：某人骑摩托车上街,出事故的概率为0.01,独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率。

解：400次上街400重Bernoulii实验记X为出事故的次数，则所求概率为:另解:第二十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期六上一页下一页返回例8:(进货问题）由某商店过去的销售记录知道，某商品每月的销售数可用参数为λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不脱销，问商店在月底至少应进多少台？解：设每月的销售数为X，月底进N台，则即求满足P(X≤N)>0.95的最小的N由于P(X≤N)=1-P(X>N)，即求查表知：N+1=10,所以Ｎ＝９第二十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期六第三节连续随机变量及其分布（4）若x为f(x)的连续点，则有概率密度f(x)具有以下性质：定义3:

设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(t),使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，称f(t)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。上一页下一页返回第二十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期六由性质（2）知：介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。由性质（3）知：X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图2）。由性质（4）知：若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)，求导得概率密度f(x)。图１图２上一页下一页返回第二十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期六(1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。则有如果x0为f(x)的连续点，有f(x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密集程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的质量密度。（2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。两点说明第二十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期六然而，事件{X=a}并非不可能事件概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定是必然事件。

上一页下一页返回X取一个点a的概率为零，事实上在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有：第三十页，共六十一页，编辑于2023年，星期六求：（1）常数a；（2）（3）X的分布函数F(x)（1）由概率密度的性质可知所以a＝1/2例1：设随机变量X具有概率密度解：上一页下一页返回第三十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期六上一页下一页返回第三十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例:(P42)第三十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例:(P43)第三十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期六第三十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期六则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)，均匀分布设连续型随机变量X的概率密度函数为X的分布函数为：上一页下一页返回第三十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期六概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示上一页下一页返回f(x)F(x)第三十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期六设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为的指数分布。指数分布X的分布函数为上一页下一页返回第三十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期六f(x)和F(x)可用图形表示上一页下一页返回第三十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期六指数函数具有“无记忆性”,即：第四十页，共六十一页，编辑于2023年，星期六利用可以证明，正态分布设随机变量X的概率密度为其中,(>0)为常数,则称X服从参数为,的正态分布或高斯分布,记为X~N(,2).X的分布函数为上一页下一页返回第四十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期六（1）最大值在x=μ处，最大值为;（3）曲线y=f(x)在处有拐点；正态分布的密度函数f(x)的几何特征：（2）曲线y=f(x)关于直线x=μ对称，于是对于任意h>0，有（4）当时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线上一页下一页返回第四十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期六当固定，改变的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不改变形状，故又称为位置参数。若固定，改变的值，y=f(x)的图形的形状随的增大而变得平坦。越小，X落在附近的概率越大。上一页下一页返回第四十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期六参数=0，=1的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用和表示，即和的图形如图所示。上一页下一页返回第四十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期六定理

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,则~N(0,1)

设由标准正态密度函数的几何特性知函数写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。第四十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期六根据定理：一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布的分布函数表达。若X~,X的分布函数为因此，对于任意的实数a,b(a<b)，有上一页下一页返回第四十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例2：设X~N(0,1),求P{1<X<2},P{}.设X~N(1.5,4),求P{-1<X<2}.上一页下一页返回第四十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例3：某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布N(1100,502),乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于1050小时，又如何？解：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和Y，则X~N(1100,502)，Y~N(1150,802).第四十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期六比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。(1)依题意要比较概率的大小,两个概率如下：上一页下一页返回第四十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期六比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。(2)依题意要比较概率的大小,两个概率如下：上一页下一页返回第五十页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例:(P48)公交车门的高度是按成年男子与车门碰头的概率在0.01以下来设计的。设男子身高（单位:cm）X~N(170,62),问车门高度应如何确定？查表知:φ(2.33)=0.9901>0.99,所以第五十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期六例:(P49)第五十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期六阴影部分面积为第五十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期六第四节随机变量函数的分布设X是离散型随机变量，Y是X的函数Y=g(X)。那么Y也是离散型随机变量。设y=g(x)为一个通常的连续函数，X为定义在概率空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么Y也是一个定义在概率空间上的随机变量。上一页下一页返回第五十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期六(2)Y=-2X2分布律为Y-18-8-20P0.30.30.30.1例1：设离散型随机变量X的分布律为X-10123P0.20.10.10.30.3求：（1）Y=X-1；(2)Y=-2X2的分布律。

P0.20.10.10.30.3

X-10123

X-1-2-1012-2X2-20-2-8-18解：由X的分布律可得由上表易得Y的分布律（1）Y=X-1的分布律为Y-2-1012P0.20.10.10.30.3上一页下一页返回第五十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期六对此类问题，先由X的取值xk，（k=1，2…）求出Y=g(X)的取值yk=g（xk），（k=1，2…）；本例（2）中，X的两个取值-1和1都对应Y的一个值-2，这样：P{Y=-2}=P{X=-1或X=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0.2+0.1=03如果诸yk各不相同，则由X的分布律P{X=xk

}=pk,k=1，2…，便可得y的分布律：P{Y=yk

}=pk,k=1，2…。如诸yk中有些值相同，则应把相同的值合并并将对应的概率加在一起。上一页下一页返回第五十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期六设X为连续型随机变量，具有概率密度fX(x)。又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为了求出Y的概率密度fY(y)，可以先求出Y的分布函数FY(y)由FY(y)便可求出Y的概率密度fY(y)=F’Y(y)。计算的关键是给出上式的积分区间。即将事件转化为用X表示的事件。其中。这种方法称之为分布函数法。上一页下一页返回