演示文稿第九章回归的旋转设计

（优选）第九章回归的旋转设计当前第1页\共有42页\编于星期四\9点§1旋转设计的基本原理“回归的正交设计”具有试验处理数比较少，计算简便，消除了回归系数之间的相关性等优点。但它也存在一定的缺点，即二次回归预测值的方差随试验点在因子空间的位置不同而呈现较大的差异。由于误差的干扰，就不易根据预测值寻找最优区域。为了克服这个缺点，人们通过进一步研究，提出了回归的旋转设计（whirlydesign）。§1旋转设计的基本原理1.1回归设计的旋转性所谓旋转性是指试验因素空间中与试验中心距离相等的球面上各处理组合的预测值的方差具有几乎相等的特性，具有这种性质的回归设计称回归旋转设计。利用具有旋转性的回归方程进行预测时，对于同一球面上的点可直接比较其预测值的好坏，从而找出预测值较优区域。当前第2页\共有42页\编于星期四\9点如何才能使试验设计具有旋转性呢？这就需要弄清楚旋转性对试验设计有什么要求以及获得旋转性必须满足哪些基本条件。首先必须明确的是：在旋转设计中，试验处理的预测值的方差仅与因素空间中从试验点到试验中心的距离

ρ

有关而与方向无关，从而克服了通常因为不知道最优点在什么方向的缺陷。当前第3页\共有42页\编于星期四\9点这里应该解决的是二次回归正交的旋转性问题。下面以试验设计中常用的三元二次回归方程来讨论这个问题。§1旋转设计的基本原理在3个变量情况下，二次回归模型为：即

它的结构矩阵为：当前第4页\共有42页\编于星期四\9点§1旋转设计的基本原理此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信息矩阵A不退化（满秩）。为此，必须有不等式(13－30)式(13－30)就是m

元二次旋转设计的非退化条件。已经证明，只要使N个试验点不在同一个球面上，就能满足非退化条件。最简单的情况是把N个试验点分布在2个或3个半径不等的球面上。如m0个点分布在半径为0的球面上（即在中心点重复m0次试验），另外m1＝N－m0个点均匀分布在半径为ρ(ρ≠0)的球面上。当前第5页\共有42页\编于星期四\9点§1旋转设计的基本原理综上所述，为了获得m

元二次旋转设计方案，就要求既要满足旋转性条件式(13－29)，又要满足非退化条件式(13－30)。满足条件式(13－29)是旋转设计的必要条件，满足非退化条件式(13－30)是使旋转性成为可能的充分条件。两者结合起来才能使旋转性设计得以实现。实际操作上主要借助于组合设计来实现。因为组合设计中N个试验点N＝mc+mγ

+m0，分布在3个半径不相等的球面上。即mc个点分布在半径的球面上；mγ个点分布在半的球面上；m0个点分布在半径的球面上；因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件式(13－30)，即信息矩阵A不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵A的元素中而它的偶次方元素均不等于零，完全符合式(13－29)的要求。当前第6页\共有42页\编于星期四\9点为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转性条件式(13－29)确定γ

值，§1旋转设计的基本原理事实上只要求出γ

值就行了。在组合设计下，当mc＝2m（全实施）时，则前式变为解此方程，即可建立全实施时γ

值的计算式，即(13－31)同理当当当当前第7页\共有42页\编于星期四\9点§1旋转设计的基本原理表13－24二次正交旋转组合设计参数表mmcmγm0Nγ2（全实施）448161.4143（全实施）869231.6824（全实施）16812362.0005（全实施）321017592.3785（1/2全实施）161010362.0006（1/2全实施）321215592.3786（1/4全实施）16128362.0007（1/2全实施）6414221002.8287（1/4全实施）321413592.3788（1/2全实施）12816331773.3648（1/4全实施）6416201002.8288（1/8全实施）321611592.374为了便于设计，现将m

个因素不同实施情况下的γ

值列于表13－24。当前第8页\共有42页\编于星期四\9点2次旋转组合设计具有同一球面预测值的方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐。如果使它获得正交性就能大大简化计算手续。§1旋转设计的基本原理1.2正交性的获得在2次旋转组合计划中，1次项和交互项的回归系数

bi

和

bij

仍保持正交，但b0

与bij

之间，以及bii

与bjj

之间都存在相关，即不具正交性，它们之间的协方差分别为：(13－32)其中当前第9页\共有42页\编于星期四\9点§1旋转设计的基本原理同样，对于m

元二次旋转组合设计，上式中的mc和mγ

也都是固定的。这样就只能通过调整中心点的试验处理数m0

使λ4/λ22

＝1。由此可见，适当地选取

m0

，就能使2次旋转组合设计具有一定的正交性。为了方便设计，已将m

元不同实施的m0和N列入表13－24中。综上所述，只要对平方项施行中心化变换，并适当调整就能获得二次正交旋转组合设计方案，这方面的计划见表13－27和表13－28。对于m

个因素的二元旋转组合设计，式（13－33）中的m、mc和γ

都是固定的。因此，只有适当地调整N才能使λ4/λ22

＝1，而试验处理数N＝mc+mγ

+m0当前第10页\共有42页\编于星期四\9点二次回归旋转组合设计，具有同一球面上各试验点的预测值的方差相等的优点，但它还存在不同半径球面上各试验点的预测值的方差不等的缺点。为了解决这一问题，于是提出了旋转设计的通用性问题。所谓“通用性”，就是试验除了仍保持其旋转性外，还具有各试验点与中心的距离ρ

在因子空间编码值区间0＜ρ

＜1

的范围内，其预测值的方差基本相等的性质，即同时具有旋转性与通用性。这种设计称为通用旋转组合设计。如何才能满足其通用性呢？§1旋转设计的基本原理1.3二次旋转组合设计的通用性首先来看预测值的方差，已知在m个因素情况下，其预测值的方差(13－34)此式是在λ2＝1的约定下得到的，这种约定并非本质的，只是为了讨论简单起见。由此可知，只有恰当确定λ4，才能满足通用性的要求。当前第11页\共有42页\编于星期四\9点§1旋转设计的基本原理(13－35)那么，对λ4有什么要求呢？总的来说，它必须使式中D()在诸ρ

i(0＜ρ

＜1)区间的内插点）处的值与ρ＝1处的值的差的平方和为最小，即：式中于是，对于不同的m，均可计算出满足式（13－35）的λ4当前第12页\共有42页\编于星期四\9点§1旋转设计的基本原理当λ4确定后，由关系式（见13－33）可以计算出不同m的试验处理数N。当计算结果不是整数时，N可取其最靠近的整数。然后再由m0＝N-mc-

mγ计算出不同m

值的m0，上述计算结果列于表13－25。表13－25二次通用旋转组合设计参数表mmcmγγλ4Nm02（全实施）441.4140.811353（全实施）861.6820.862064（全实施）1682.0000.863175（1/2全实施）16102.0000.893266（1/2全实施）32122.3780.905397（1/2全实施）64142.8280.9292148（1/2全实施）128163.3640.93165219（1/4全实施）64163.8280.939313当前第13页\共有42页\编于星期四\9点从以上可以看出，正交旋转的好处在于正交性，它是通过增加中心点的试验次数换来的，但有时并不合算。在某些实际问题中，反倒不如选用通用旋转设计。因为通用旋转设计，既能在0＜ρ

＜1的较实用区域使方差D()基本不变，又在一定程度上减少了试验次数。§1旋转设计的基本原理从上述讨论结果看出，为了满足通用性要求，主要在于确定出适当的m0

。因此，只要在中心点安排如表13－25所列的m0次试验旋转组合设计便获得通用性。当前第14页\共有42页\编于星期四\9点§2二次正交旋转组合设计及其统计分析设研究因素为

m个，分别以Z1,Z2,…,Zm,表示。在进行设计时，首先确定每个因素的上、下水平，进而计算零水平，以及变化间距。某因素零水平及变化间距的计算式为§2二次正交旋转组合设计及其统计分析2.1二次正交旋转设计的一般方法Z0j＝(Z1j+Z2j)/2Δj＝(Z2j－Z0j)/γ式中γ

为待定参数，其值可以从表13－24中查出。对每个因素Zj各水平的取值进行线性变换，以实现其编码xα

j＝(Zα

j－Z0j)/Δj这样，就将有单位的自然变量Zj变成了无单位的规范变量xj(j＝

1,2,…,m)，并可编制出因素水平的编码值表（表13－26）。当前第15页\共有42页\编于星期四\9点表13-26二次正交旋转设计因素水平编码值表编码Z1Z2…Zm+

γZ21Z22…Z2m+

1Z01+Δ1Z02+Δ2…Z0m+Δm0Z01Z02…Z0m-

1Z01-Δ1Z02-Δ2…Z0m-Δm-

γZ11Z12…Z1m试验因素Z1,Z2,…,Zm经因素水平编码后，以变量x1,x2,…,xm表示，选用适当的二水平正交表，即可设计出二次回归正交旋转组合方案。为了方便设计与统计分析，现将常用的二因素和三因素二次正交旋转组合设计的结构矩阵列于表13－27和表13－28。§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第16页\共有42页\编于星期四\9点处理号x0x1x2x1x2x1′x2′mc111110.50.5211-1-10.50.531-11-10.50.541-1-111.50.5mγ511.414001.5-0.561-1.41400-0.5-0.57101.4140-0.51.5810-1.4140-0.51.5m091000-0.5-0.5101000-0.5-0.5111000-0.5-0.5121000-0.5-0.5131000-0.5-0.5141000-0.5-0.5151000-0.5-0.5161000-0.5-0.51688488表13-27二元二次正交旋转组合设计的结构矩阵§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第17页\共有42页\编于星期四\9点处理号x0x1x2x3x1x2x1x3x2x3x1′x2′x3′mc111111110.4060.4060.4062111-11-1-10.4060.4060.406311-11-11-10.4060.4060.406411-1-1-1-110.4060.4060.40651-111-1-110.4060.4060.40661-11-1-11-10.4060.4060.40671-1-111-1-10.4060.4060.40681-1-1-11110.4060.4060.406mγ911.682000002.234-0.594-0.594101-1.682000002.234-0.594-0.59411101.6820000-0.5942.234-0.5941210-1.6820000-0.5942.234-0.594131001.682000-0.594-0.5942.23414100-1.682000-0.594-0.5942.234表13-28三元二次正交旋转组合设计的结构矩阵（未完）§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第18页\共有42页\编于星期四\9点处理号x0x1x2x3x1x2x1x3x2x3x1′x2′x3′m0151000000-0.594-0.594-0.594161000000-0.594-0.594-0.594171000000-0.594-0.594-0.594181000000-0.594-0.594-0.594191000000-0.594-0.594-0.594201000000-0.594-0.594-0.594211000000-0.594-0.594-0.594221000000-0.594-0.594-0.594231000000-0.594-0.594-0.5942313.65813.65813.65888815.88715.88715.887（续前表13-27）二次回归正交旋转组合设计试验结果的统计分析，与二次回归正交组合设计试验结果的统计分析方法相似，这里不再赘述。§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第19页\共有42页\编于星期四\9点2.2三因素（1/2）实施正交旋转组合设计示例[例13－3]

采用三因素二次正交旋转设计组合设计，其试验因素水平编码见表13－29。编码Z1Z2Z3+1.68251.016.010000+148.614.48580045.012.06500-141.49.64420-1.68239.08.03000Δj

???表13-29试验因素水平编码表试验结果及统计分析如下：§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第20页\共有42页\编于星期四\9点表13-30三因素二次回归正交旋转组合设计结构矩阵与结果计算表（1）建立回归方程。三因素二次回归正交旋转组合设计结构矩阵与结果计算见表13－30。初步得回归方程为：处理号x0x1x2x3x1x2x1x3x2x3x1′x2′x3y111111110.4060.4060.406782111-11-1-10.4060.4060.40684311-11-11-10.4060.4060.40673411-1-1-1-110.4060.4060.4067751-111-1-110.4060.4060.4068161-11-1-11-10.4060.4060.4068871-1-111-1-10.4060.4060.4068081-1-1-11110.4060.4060.40673911.682000002.234-0.594-0.59474101-1.682000002.234-0.594-0.5947111101.6820000-0.5942.234-0.594861210-1.6820000-0.5942.234-0.59469131001.682000-0.594-0.5942.2348414100-1.682000-0.594-0.5942.23480（未完）§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第21页\共有42页\编于星期四\9点初步得回归方程为：处理号x0x1x2x3x1x2x1x3x2x3x1′x2′x3y151000000-0.594-0.594-0.59483161000000-0.594-0.594-0.59485171000000-0.594-0.594-0.59483181000000-0.594-0.594-0.59478191000000-0.594-0.594-0.59483201000000-0.594-0.594-0.59479211000000-0.594-0.594-0.59481221000000-0.594-0.594-0.59483231000000-0.594-0.594-0.594832313.65813.65813.65888815.88715.88715.8871836-4.954156.594-3.272-4-10-16-46.524-18.2447.20879.8261-0.36274.1437-0.2396-0.50000-1.2500-2.0000-2.9284-1.14840.4537－1.7969234.50580.788392.000012.500032.0000136.242420.95073.2703（续前表13-30）§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第22页\共有42页\编于星期四\9点表13-31三因素二次回归正交旋转组合设计试验结果方差分析表（2）回归方程的显著性测验：对所得三元二次回归方程进行方差分析，见表13－31。变异来源平方和SS自由度df均方MSF值Fαx11.796911.7969＜1F0.01(1,13)=3.14x2234.50581234.505826.918**F0.05(1,13)=4.67x30.783910.7839＜1x1x22.000012.0000＜1x1x312.5000112.50001.435x2x332.0000132.00003.673**x1′136.24241136.242415.639**x2′20.9507120.95072.405x3′3.270313.2703＜1回归444.0500??5.663?F0.01(?,?)=4.17剩余113.2544??误差40.0000??失拟73.2544??2.930?F0.05(?,?)=3.69总变异557.3044?§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第23页\共有42页\编于星期四\9点剔除x1,x3,x1x2,x1x3,x2′和x3′

，回归方程变为：将中心化变换还原为xj2,得：此时，§2二次正交旋转组合设计及其统计分析当前第24页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析通用旋转组合设计与正交旋转组合设计基本相同，其组合计划中试验处理组合数N，也是由3部分组成，即：§3通用旋转组合设计及其统计分析3.1通用旋转组合设计的一般方法N＝mc+mγ

+m0上式中mc

和mγ

的数值与正交旋转组合设计完全相同，只是N和m0

有所不同，其值可从表12－25查出。现将常用的三因素二次通用旋转组合设计的结构矩阵列于表13－32。当前第25页\共有42页\编于星期四\9点处理号x0x1x2x3x1x2x1x3x2x3x1′x2′x3′mc111111111112111-11-1-1111311-11-11-1111411-1-1-1-1111151-111-1-1111161-11-1-11-111171-1-111-1-111181-1-1-1111111mγ911.682000002.28200101-1.682000002.2820011101.682000002.282012101.682000002.2820131001.682000002.28214100-1.682000002.282m0151000000000161000000000171000000000181000000000191000000000201000000000表13-32三元二次通用旋转组合设计的结构矩阵§3通用旋转组合设计及其统计分析当前第26页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析3.2通用旋转组合设计试验结果的统计分析（1）建立二次回归方程。要建立回归方程，必须计算出回归系数，而回归系数b

＝(X′X

)-1(X′Y

)式中：(X′X

)-1为设计的相关矩阵；(X′Y

)为常数项矩阵B，在通用旋转设计下有：当前第27页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析所以回归系数(13－36)式（13－36）中K

、E、F、G的值如表13－33所示。meKEFG280.2-0.10.143750.01875313.6180.1663402-0.0567920.069390.006890034240.1428571-0.03571420.03497020.003720235（1/2）240.1590909-0.03409090.03409090.0028409543.3140.0987822-0.0191010.01708630.001461316（1/2）43.3140.1107487-0.0187380.01684220.001217247（1/2）800.0703125-0.009765620.008300780.000488281表13-33二次通用旋转组合设计K

、E、F、G值表当前第28页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析注：令则由式（13－36）计算出回归系数b

，即可建立二次多项式回归方程。当前第29页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析（2）回归方程的显著性检验。①计算平方和及自由度：如果m元二次通用旋转组合设计的N个试验结果以y1,y2,…,yN表示，则各项平方和及其自由度为：(13－37)在通用旋转组合设计中，一般中心点均需做重复试验。如果重复次数为m0试验结果以y01,y02,…,y0m0表示，则它们的误差平方和及其自由度为：(13－38)可由误差项与剩余项比较计算失拟平方和及其自由度：(13－39)当前第30页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析②失拟性检验：失拟性可用统计量FLf＜F0.05，表示差异不显著，可直接对回归方程进行显著性检验；如果FLf＞F0.05，差异显著，则表明存在影响试验结果的其他不可忽略的因素，需要进一步考察其原因，改变二次回归模型。(13－40)③回归方程的显著性检验：(13－41)进行显著性检验，如果FR＜F0.05，则回归关系不显著，说明此回归方程不宜应用；如果FR＞F0.05和F0.01

，则回归关系显著或极显著，表明此回归方程可以应用。当前第31页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析（3）回归系数的显著性检验。当FLf

检验结果不显著时，回归方程中各变量作用的大小，可通过t

检验来判断。为此，需要计算各回归系数的t值，其计算式为：(13－42)式（13－42）中K

、mc、F、e已如前述（参见表13－34）。当前第32页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析3.3四元二次通用旋转组合示例[例13－4]

鸡肉乳酸发酵试验，对鸡肉乳酸发酵的产酸条件进行优化试验，采用二次通用旋转组合设计对盐浓度、糖浓度、发酵温度和发酵时间进行试验，采用四元二次通用旋转组合试验寻求最优发酵条件，试验因素及水平编码见表13－34.编码盐浓度x1糖浓度x2发酵温度x3发酵时间x4/%/%/℃/h+28.06.037.048+17.05.034.04406.04.031.040-15.03.028.036-24.02.025.032表13-34鸡肉乳酸发酵产酸条件的四元二次通用旋转组合设计因素水平表试验设计方案和试验结果见表13－35。当前第33页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析处理号

x1x2x3x4含酸量yα/%111110.6542111-10.433311-110.538411-1-10.32151-1110.31461-11-10.27971-1-110.29581-1-1-10.2429-11110.77910-111-10.59411-11-110.71012-11-1-10.52913-1-1110.48114-1-11-10.30715-1-1-110.328表13-35鸡肉乳酸发酵产酸条件的四元二次通用旋转组合设计方案及结果（未完）当前第34页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析处理号

x1x2x3x4含酸量yα/%16-1-1-1-10.2911720000.12518-20000.6481902000.785200-2000.2132100200.4292200-200.1982300020.84224000-20.4862500000.7972600000.7092700000.7592800000.6942900000.7283000000.7383100000.746（续前表13-35）当前第35页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析（1）建立四元二次回归方程。根据计算，可建立四元二次多项式回归方程（计算从略）。当前第36页\共有42页\编于星期四\9点变异原因平方和SS自由度df均方MSF值显著程度x10.1648410.1648449.28?F0.01(1,?)=8.53x20.4173810.41738127.79?x30.0458510.0458513.71?x40.1372610.1372641.04?x1x20.0094610.009462.83x1x30.0000210.00002＜1x1x40.0001610.00016＜1x2x30.0011710.00117＜1x2x40.0159410.015944.77?F0.05(1,?)=4.49x3x40.0010110.00101＜1x1′0.1688410.1688450.48?x2′0.0795910.0795923.79?x3′0.3441110.34411102.88?x4′0.0164810.016484.93?回归1.402110.1001529.94?F0.01(?,?)=3.56剩余0.053520.00334误差0.008530.00142失拟0.044990.004503.17F0.05(?,?)=4.74总变异1.45563§3通用旋转组合设计及其统计分析（2）回归方程的显著性检验。对鸡肉乳酸发酵产酸条件数学模型的方差分析见表13－36。当前第37页\共有42页\编于星期四\9点§3通用旋转组合设计及其统计分析从方差分析可以看出，回归达到极显著水平。说明本试验设计及分析效果都很好，各因素间显著与不显著也泾渭分明。因此没有必要做二次回归方差分析，可直接将F＜1的回归系数去掉而得到含酸量与各因素间的回归方程为：当前第38页\共有42页\编于星期四\9点SourceDFSeqSSAdjSSAdjMSFPRegression37.7897.7892.59621.080.387Linear37.7897.7892.59621.080.387ResidualError1638.59738.5972.4123Lack-of-Fit1136.05736.0573.27796.450.026PureError52.5402.5400.5079Total1946.385S=1.553