重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题Word版含解析

重庆缙云教育联盟2021-2022学年（上）12月月度考试高二数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）已知抛物线QUOTE上一点QUOTE到其焦点QUOTE的距离为QUOTE，则抛物线的标准方程为QUOTEA.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE已知命题QUOTE：“QUOTE，QUOTE”，则它的否定为QUOTEA.QUOTE，QUOTEB.QUOTE，QUOTEC.QUOTE，QUOTED.QUOTE，QUOTE祖眶，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子．他在QUOTE缀术QUOTE中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积，“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，其中半圆和扇形的半径均为QUOTE，则该不规则几何体的体积为QUOTEA.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE圆QUOTE与圆QUOTE的位置关系是QUOTEA.相交B.外切C.外离D.内切经过两条直线QUOTE和QUOTE的交点，且垂直于直线QUOTE的直线方程为QUOTEA.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE已知QUOTE为双曲线QUOTE：QUOTE的一个焦点，则点QUOTE到双曲线QUOTE的一条渐近线的距离为QUOTEA.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE设有一组圆QUOTE：QUOTE下列四个命题：

QUOTE存在一条定直线与所有的圆均相切；

QUOTE存在一条定直线与所有的圆均相交；

QUOTE存在一条定直线与所有的圆均不相交；

QUOTE所有的圆均不经过原点．

其中正确的序号是QUOTEA.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知正三棱锥QUOTE，侧棱长为QUOTE，底面边长为QUOTE，设球QUOTE为其外接球，则球QUOTE对应的球面上经过QUOTE，QUOTE两点的测地线长为QUOTEA.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）已知直线QUOTE：QUOTE，直线QUOTE：QUOTE，则下列命题正确的是QUOTEA.若QUOTE，则QUOTEB.若QUOTE，则QUOTEC.直线QUOTE过定点QUOTED.直线QUOTE过定点QUOTE设QUOTE，QUOTE是两条不同的直线，QUOTE，QUOTE是两个不同的平面，下列命题中正确的是QUOTEA.若QUOTE，QUOTE异面，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTEB.若QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTEC.若QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTED.若QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTE如图：空间直角坐标系QUOTE中，已知点QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，则下列选项正确的是QUOTEA.设点QUOTE在QUOTE面内，若QUOTE的斜率与QUOTE的斜率之积为QUOTE，则点QUOTE的轨迹为双曲线B.三棱锥QUOTE的外接球表面积是QUOTEC.设点QUOTE在QUOTE平面内，若点QUOTE到直线QUOTE的距离与点QUOTE到直线QUOTE的距离相等，则点QUOTE的轨迹是抛物线D.设点QUOTE在QUOTE面内，且QUOTE，若向量QUOTE与QUOTE轴正方向同向，且QUOTE，则QUOTE最小值为QUOTE某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点QUOTE，QUOTE，直线QUOTE，QUOTE相交于点QUOTE，且它们的斜率之积为QUOTE，求点QUOTE的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为QUOTE”拓展为“斜率之积为常数QUOTE”之后，进行了如图所示的作图探究：

参考该同学的探究，下列结论正确的有QUOTEA.QUOTE时，点QUOTE的轨迹为椭圆QUOTE不含与QUOTE轴的交点QUOTEB.QUOTE时，点QUOTE的轨迹为焦点在QUOTE轴上的椭圆QUOTE不含与QUOTE轴的交点QUOTEC.QUOTE时，点QUOTE的轨迹为焦点在QUOTE轴上的椭圆QUOTE不含与QUOTE轴的交点QUOTED.QUOTE时，点QUOTE的轨迹为焦点在QUOTE轴上的双曲线QUOTE不含与QUOTE轴的交点QUOTE三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）空间两点QUOTE，QUOTE中点坐标为______．已知过点QUOTE作抛物线QUOTE：QUOTE的两条切线，切点为QUOTE，QUOTE，直线QUOTE经过抛物线QUOTE的焦点QUOTE，则QUOTE______．椭圆QUOTE内有一点QUOTE，则以QUOTE为中点的弦所在直线的斜率为______．在长方体QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE为平面QUOTE内一点，QUOTE，则QUOTE______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）如图，四棱锥QUOTE中，QUOTE底面QUOTE，QUOTE底面QUOTE为直角梯形，QUOTE，QUOTE，QUOTE点QUOTE在棱QUOTE上，且QUOTE．

QUOTE求证：QUOTE平面QUOTE；

QUOTE求二面角QUOTE的正弦值的大小．已知QUOTE，QUOTE是圆QUOTE：QUOTE与QUOTE轴的两个交点，且QUOTE在QUOTE上方．

QUOTE若直线QUOTE过点QUOTE，且与圆QUOTE相切，求QUOTE的方程；

QUOTE已知斜率为QUOTE的直线QUOTE过点QUOTE，且与圆QUOTE交于QUOTE，QUOTE两点，直线QUOTE，QUOTE相交于点QUOTE，证明点QUOTE在定直线上．如图，已知正三棱柱QUOTE中，QUOTE，QUOTE，点QUOTE为QUOTE的中点，点QUOTE在QUOTE上，QUOTE．

QUOTE求QUOTE与QUOTE所成角的余弦值；

QUOTE求平面QUOTE与平面QUOTE夹角的余弦值．已知抛物线QUOTE：QUOTE上两点QUOTE，QUOTE，焦点为QUOTE满足：QUOTE，线段QUOTE的垂直平分线过QUOTE．

QUOTE求抛物线QUOTE的方程；

QUOTE过点QUOTE作直线QUOTE，使得抛物线QUOTE上恰有三个点到直线QUOTE的距离都为QUOTE，求直线QUOTE的方程．如图，三棱锥QUOTE中，QUOTE是边长为QUOTE的正三角形，QUOTE，QUOTE底面QUOTE于点QUOTE，QUOTE，且QUOTE．

QUOTE求证：QUOTE平面QUOTE；

QUOTE求二面角QUOTE的余弦值；

QUOTE在棱QUOTE上是否存在点QUOTE，使得QUOTE平面QUOTE？若存在，求QUOTE的值；若不存在，说明理由．在平面直角坐标系QUOTE中，设QUOTE为椭圆QUOTE：QUOTE的左焦点，直线QUOTE与QUOTE轴交于点QUOTE，QUOTE为椭圆QUOTE的左顶点，已知椭圆长轴长为QUOTE，且QUOTE．

QUOTE求椭圆QUOTE的标准方程；

QUOTE若过点QUOTE的直线与椭圆交于两点QUOTE，QUOTE，设直线QUOTE，QUOTE的斜率分别为QUOTE，QUOTE．

QUOTE求证：QUOTE为定值；

QUOTE求QUOTE面积的最大值．答案和解析1.【答案】QUOTE【解析】解：抛物线的准线：QUOTE，抛物线QUOTE上一点QUOTE到其焦点QUOTE的距离为QUOTE，

QUOTE点QUOTE到准线的距离为QUOTE，

QUOTE，

QUOTE抛物线方程为QUOTE．

故选：QUOTE．

由抛物线的准线方程，结合已知条件求解QUOTE，由此能求出抛物线方程．

本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，是基础题．

2.【答案】QUOTE【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题QUOTE：“QUOTE，QUOTE”，

则它的否定为：QUOTE，QUOTE．

故选：QUOTE．

利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．

本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．

3.【答案】QUOTE【解析】解：由题意可知几何体是半径为QUOTE的球的QUOTE，如图：所以几何体的体积为：QUOTE．

故选：QUOTE．

判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．

本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．

4.【答案】QUOTE【解析】解：QUOTE圆QUOTE与圆QUOTE的圆心分别为QUOTE，QUOTE，

半径分别为QUOTE，QUOTE，

QUOTE两圆的圆心间的距离QUOTE，

而半径之差的绝对值QUOTE．

半径之和QUOTE因此，QUOTE所以两圆的位置关系是相交．

故选：QUOTE．

由题意可得两圆的圆心都为QUOTE，QUOTE，半径分别为QUOTE，QUOTE，根据圆心距和半径之间的关系即可求解结论．

本题给出两圆的方程，求它们的位置关系．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．

5.【答案】QUOTE【解析】解：解方程组：QUOTE，解得交点坐标为QUOTE，

直线QUOTE垂直于直线QUOTE，可设直线QUOTE的方程为：QUOTE，则直线QUOTE过点QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE直线QUOTE的方程为：QUOTE，

故选：QUOTE．

求出两条直线的交点，两条直线垂直时，斜率乘积为QUOTE，可以直接解出．

本题考查了直线相交，两条相互垂直的直线的条件，属于基础题．

6.【答案】QUOTE【解析】解：由双曲线QUOTE：QUOTE，得QUOTE，QUOTE，QUOTE，

不妨取QUOTE，一条渐近线方程为QUOTE，即QUOTE，

则点QUOTE到双曲线QUOTE的一条渐近线的距离为QUOTE．

故选：QUOTE．

由已知求得双曲线的一个焦点坐标及一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．

本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．

7.【答案】QUOTE【解析】解：根据题意得：圆心QUOTE，

圆心在直线QUOTE上，故存在直线QUOTE与所有圆都相交，选项QUOTE正确；

考虑两圆的位置关系，

圆QUOTE：圆心QUOTE，半径为QUOTE，

圆QUOTE：圆心QUOTE，即QUOTE，半径为QUOTE，

两圆的圆心距QUOTE，

两圆的半径之差QUOTE，

任取QUOTE或QUOTE时，QUOTE，QUOTE含于QUOTE之中，选项QUOTE错误；

若QUOTE取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项QUOTE错误；

将QUOTE代入圆的方程，则有QUOTE，即QUOTE，

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在QUOTE使上式成立，即所有圆不过原点，选项QUOTE正确．

则真命题的代号是QUOTE．

故选：QUOTE．

由已知圆心QUOTE，由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，能判断出真命题个数．

本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属于中档题．

8.【答案】QUOTE【解析】解：如图，

设点QUOTE是点QUOTE在平面QUOTE上的投影，则QUOTE，点QUOTE在直线QUOTE上，设球QUOTE的半径为QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTE，

在QUOTE中，QUOTE，解得QUOTE．

QUOTE，可得QUOTE，

QUOTE球QUOTE对应的球面上经过QUOTE，QUOTE两点的测地线长为QUOTE．

故选：QUOTE．

设点QUOTE是点QUOTE在平面QUOTE上的投影，则QUOTE，点QUOTE在直线QUOTE上，设球QUOTE的半径为QUOTE，然后在直角三角形QUOTE中利用勾股定理建立QUOTE的方程，求解QUOTE，再由QUOTE得答案．

本题考查多面体的外接球的半径及球面距离的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．

9.【答案】QUOTE【解析】解：对于QUOTE：当直线QUOTE：QUOTE，直线QUOTE：QUOTE，若QUOTE，则QUOTE，解得QUOTE或QUOTE，故A错误；

对于QUOTE：若QUOTE，则QUOTE，解得QUOTE，故B正确；

对于QUOTE：直线QUOTE：QUOTE，满足QUOTE，故经过定点QUOTE，故C正确；

对于QUOTE：直线QUOTE：QUOTE，满足QUOTE，故经过定点QUOTE，故D正确．

故选：QUOTE．

直接利用定点直线系和直线的方程的应用判断QUOTE、QUOTE、QUOTE、QUOTE的结论．

本题考查的知识要点：直线的方程的应用，定点直线系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

10.【答案】QUOTE【解析】解：若QUOTE，QUOTE异面，QUOTE，QUOTE，由线面平行的性质定理可得QUOTE内存在直线QUOTE，由线面平行的判定定理可得QUOTE，

又QUOTE，且QUOTE，QUOTE相交，QUOTE，则QUOTE，故A正确；

若QUOTE，QUOTE，且QUOTE，QUOTE相交，QUOTE，QUOTE，则QUOTE，故B错误；

若QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTE或QUOTE，或QUOTE、QUOTE相交，故C错误；

若QUOTE，QUOTE，则QUOTE，又QUOTE，由线面平行和垂直的性质定理，可得QUOTE，故D正确．

故选：QUOTE．

由线面平行和面面平行的判定定理，可判断QUOTE；由面面平行的判定定理可判断QUOTE；由线面的位置关系可判断QUOTE；由线面平行和垂直的性质定理，结合面面平行的性质定理，可判断QUOTE．

本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和空间想象能力、推理能力，属于基础题．

11.【答案】QUOTE【解析】解：对于QUOTE：设点QUOTE在QUOTE面内坐标为QUOTE，QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，

所以QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，所以点QUOTE的轨迹是双曲线去掉两个顶点，故A错误；

对于QUOTE，因为QUOTE，QUOTE关于平面QUOTE对称，所以球心在平面QUOTE内，又QUOTE，所以球心在QUOTE与QUOTE轴上的坐标互为相反数，设球心坐标为QUOTE所以QUOTE，解得QUOTE，所以QUOTE，所以表面积为QUOTE，故B正确；

对于QUOTE：QUOTE在QUOTE平面内，若点QUOTE到直线QUOTE的距离即为QUOTE到QUOTE的距离，又点QUOTE到直线QUOTE的距离与点QUOTE到直线QUOTE的距离相等，

所以点QUOTE到QUOTE的距离与到直线QUOTE的距离相等，所以点QUOTE的轨迹是抛物线；

对于QUOTE：点QUOTE在QUOTE面内，且QUOTE，又QUOTE，所以点QUOTE的轨迹是以QUOTE，QUOTE为焦点的椭圆，且QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，

所以椭圆方程为QUOTE，设QUOTE到QUOTE的距离为QUOTE，QUOTE到QUOTE的距离为QUOTE，

QUOTE，要使QUOTE的值最小，则QUOTE最小，

又QUOTE，所以QUOTE，即QUOTE，

所以QUOTE，故D正确；

故选：QUOTE．

由QUOTE，QUOTE得QUOTE，化简可得轨迹方程可判断QUOTE；由对称性知球心坐标可设为QUOTE，QUOTE，求解得QUOTE的值，进而可求半径，可判断QUOTE，由已知可得点QUOTE到QUOTE的距离与到直线QUOTE的距离相等，可判断QUOTE，可求QUOTE的轨迹方程为QUOTE，设QUOTE到QUOTE的距离为QUOTE，QUOTE到QUOTE的距离为QUOTE，表示出QUOTE进而计算可得最小值可判断QUOTE．

本题考查点的轨迹问题，两点间的距离，以及最小值问题，属中档题．

12.【答案】QUOTE【解析】解：设QUOTE，则QUOTE，QUOTE，

由题意可得，QUOTE，

故QUOTE．

若QUOTE，方程化为QUOTE，表示了以原点为圆心，QUOTE为半径的圆QUOTE除QUOTE，QUOTE点QUOTE；

若QUOTE，方程化为QUOTE，点QUOTE的轨迹为焦点在QUOTE轴的椭圆QUOTE不含与QUOTE轴的交点QUOTE；

若QUOTE，方程化为QUOTE，表示焦点在QUOTE轴，以QUOTE、QUOTE为短轴端点的椭圆QUOTE除QUOTE，QUOTE点QUOTE；

QUOTE时，方程化为QUOTE，点QUOTE的轨迹为焦点在QUOTE轴的双曲线QUOTE不含与QUOTE轴的交点QUOTE．

综上可知，BCD正确．

故选：QUOTE．

设QUOTE，求出QUOTE，QUOTE所在直线的斜率，由题意可得QUOTE，对QUOTE分类讨论可得结论．

本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．

13.【答案】QUOTE【解析】解：空间两点QUOTE，QUOTE中点坐标为QUOTE；

故答案为：QUOTE．

直接利用空间中点坐标公式求解即可．

本题考查空间点的坐标的求法，中点坐标公式的应用，是基础题．

14.【答案】QUOTE【解析】解：设QUOTE，在抛物线QUOTE：QUOTE，过切点QUOTE与抛物线相切的直线斜率为QUOTE，

则以QUOTE为切点的切线方程为QUOTE，

与抛物线QUOTE：QUOTE联立方程直线方程与抛物线方程得QUOTE，

所以QUOTE，整理得QUOTE，

所以QUOTE，解得QUOTE，

所以以QUOTE为切点的切线方程为QUOTE，整理得QUOTE，

同理，设QUOTE，在抛物线QUOTE：QUOTE，过切点QUOTE与抛物线相切的直线方程为QUOTE，

又因为QUOTE在切线QUOTE和QUOTE，

所以QUOTE，QUOTE，

所以直线QUOTE的方程QUOTE，

又因为直线QUOTE经过抛物线QUOTE的焦点QUOTE，

所以令QUOTE得QUOTE，即QUOTE，

所以抛物线方程为QUOTE，直线QUOTE的方程QUOTE，

联立方程直线方程与抛物线方程得QUOTE或QUOTE，

所以QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

所以QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE，

故答案为：QUOTE．

设出点的坐标，与抛物线方程联立，结合题意和韦达定理整理计算即可求得结果．

本题主要考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．

15.【答案】QUOTE【解析】解：设以点QUOTE为中点的弦所在直线与椭圆相交于点QUOTE，QUOTE，斜率为QUOTE．

则QUOTE，QUOTE，两式相减得QUOTE，

又QUOTE，QUOTE，QUOTE，

代入解得QUOTE．

故答案为：QUOTE．

利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出结果．

熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键，是中档题．

16.【答案】QUOTE【解析】解：如图所示，令QUOTE表示三棱锥QUOTE和四棱锥QUOTE分别以三角形QUOTE和四边形QUOTE为底面的高，

则QUOTE，

下研究矩形QUOTE，由题意QUOTE，

以QUOTE为坐标原点如图建立平面直角坐标系，

则QUOTE，不妨设QUOTE，

故QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

故答案为：QUOTE．

转化QUOTE，研究矩形QUOTE，建立平面直角坐标系，确定QUOTE的位置，即得体积的比值．

本题主要考查空间向量及其运算，空间几何体体积的相关计算等知识，属于中等题．

17.【答案】解：QUOTE连接QUOTE，QUOTE，交点为QUOTE．

QUOTE，

QUOTE∽QUOTE，且QUOTE．

QUOTE，

在三角形QUOTE中，QUOTE，QUOTE．

QUOTE．

QUOTE在平面QUOTE内，

QUOTE平面QUOTE．

QUOTE以QUOTE为原点，QUOTE所在直线为QUOTE轴，QUOTE所在直线为QUOTE轴，QUOTE所在直线为QUOTE轴，建立空间直角坐标系．

QUOTE底面QUOTE，QUOTE底面QUOTE为直角梯形，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

由题得向量QUOTE是平面QUOTE的一个法向量．

设向量QUOTE是平面QUOTE的一个法向量，

QUOTE，

QUOTE，令QUOTE，得QUOTE，

设二面角QUOTE的平面角是QUOTE，

则QUOTE，QUOTEQUOTE．

QUOTE二面角QUOTE的正弦值QUOTE．

【解析】QUOTE连接QUOTE，QUOTE，交点为QUOTE由QUOTE∽QUOTE，且QUOTE知QUOTE，在三角形QUOTE中，QUOTE，QUOTE故EGQUOTE由此能够证明QUOTE平面QUOTE．

QUOTE以QUOTE为原点，QUOTE所在直线为QUOTE轴，QUOTE所在直线为QUOTE轴，QUOTE所在直线为QUOTE轴，建立空间直角坐标系．则QUOTE，QUOTE，QUOTE，由题得向量QUOTE是平面QUOTE的一个法向量．设向量QUOTE是平面QUOTE的一个法向量，由QUOTE，知QUOTE，故QUOTE，由向量法能够求出二面角QUOTE的正弦值．

本题考查直线与平面平行的证明和求二面角的正弦值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．

18.【答案】QUOTE解：点QUOTE的坐标满足QUOTE，所以QUOTE为圆QUOTE上一点．

圆QUOTE：QUOTE的圆心为QUOTE，则QUOTE，所以直线QUOTE的斜率为QUOTE，所以直线QUOTE的方程为QUOTE，即QUOTE，

QUOTE证明：设QUOTE，QUOTE，直线QUOTE的方程为QUOTE，

由圆QUOTE：QUOTE，可得QUOTE，QUOTE．

联立方程组QUOTE，

消去QUOTE并化简得QUOTE，

所以QUOTE，QUOTE．

直线QUOTE的方程为QUOTE，QUOTE直线QUOTE的方程为QUOTE，QUOTE由QUOTE知QUOTE．

由QUOTE，化简得QUOTE故点QUOTE在定直线QUOTE上．

【解析】QUOTE求出直线QUOTE的斜率，利用点斜式求解直线QUOTE的方程．

QUOTE设QUOTE，QUOTE，直线QUOTE的方程为QUOTE，求出QUOTE坐标，联立方程组，利用韦达定理结合斜率关系，推出结果即可．

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．

19.【答案】解：QUOTE以点QUOTE为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

所以QUOTE，QUOTE，

设QUOTE与QUOTE所成角为QUOTE，

则QUOTE，

故ED与QUOTE所成角的余弦值为QUOTE；

QUOTE由待定系数法求出平面QUOTE法向量为QUOTE，平面QUOTE的法向量QUOTE，

所以QUOTE，

故平面QUOTE与平面QUOTE夹角的余弦值为QUOTE．

【解析】QUOTE建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线方向向量的坐标，由向量的夹角公式求解即可；

QUOTE利用待定系数法求出平面QUOTE与平面QUOTE的法向量，由向量的夹角公式求解即可．

本题考查了空间向量在立体几何的综合应用，异面直线所成角以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．

20.【答案】解：QUOTE由抛物线的定义，易知：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE点QUOTE在线段QUOTE的垂直平分线上，QUOTE，

即：QUOTE，

又QUOTE，QUOTE，QUOTE，

整理得：QUOTE，

QUOTE，QUOTE，即：QUOTE，

解得：QUOTE，QUOTE抛物线的方程为QUOTE．

QUOTE，QUOTE直线QUOTE：QUOTE，

设与QUOTE平行的直线QUOTE：QUOTE，

由QUOTE得：QUOTE，

QUOTE，

又QUOTE，

QUOTE，

故直线QUOTE的方程：QUOTE．

【解析】QUOTE由抛物线的定义知：QUOTE，由点QUOTE在线段QUOTE的垂直平分线上，知QUOTE，由此能求出抛物线的方程．

QUOTE只需与QUOTE平行的直线QUOTE：QUOTE，与抛物线相切，并且两直线间距离为QUOTE，即可．

本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．

21.【答案】证明：QUOTE因为QUOTE，QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE．

因为QUOTE为正三角形，所以Q