2021-2022学年八年级数学下册训练10几何模型之与正方形有关的三垂线问题专练（解析版）（苏科版）

专题10几何模型之与正方形有关的三垂线问题专练(解析版)

错误率：易错题号：

一、单选题

1.如图，在正方形中，点G为C。边上一点，以CG为边向右作正方形CEFG,连接A尸，BD交

于点P,连接8G,过点、F作FH//BG交BC于煎H,连接交BD于点K,下列结论中错误的是

()

A.HE=CDB.AA板是等腰直角三角形

C.点P为AF中点D.PK=BK+DP

【标准答案】D

【思路指引】

A.证明四边形8H尸G为平行四边形，得BH=GF=CE,得BC=HE,再由正方形的性质得，E=C£),进而

便可判断选项正误；B.证明HEF,进而得出口力即是等腰直角三角形，便可判断选项1E误；

C.过“作HMBC,与BD交于点M,连接必证明四边形为矩形，再证明PADPFM

WAP=FP,便可判断选项正误；D.将/OP绕点Z顺时针旋转90,得ABQ,连接。K,证明

GAQKOAPK^AK=PK,进而得8K1。〃;长产，便可判断正误.

【详解详析】

解：A.匚四边形CEFG是正方形，

GFUCE,GF=CE,

BGHF,

口四边形BHFG为平行四边形，

口GF=BH,

□BH=CE,

BC=HE,

四边形/8CO为正方形，

□5C=CD.

BHE=CD,故彳正确；

B./8C。是正方形，CEFG是正方形,

□AB=BC,CE=EF,□ABH=UHEF=9。。,

□BC=HE,BH=CE,

□AB=HE,BH=EF,

^UABH3UHEF(SAS),

AH=HF,BAH=UEHF,

BAH+4HB=90。,

口匚EHF+4HB=90。,

nUAHF=90°f

为等腰直角三角形，故8正确；

C.过"作BC,HM与BD交于•点、M,连接“尸，则

四边形48CO是正方形，

□□ZBC=90。，DHBD=^DABC,

nUHBM=45°t

UDABHQHEF,

□BH=EF,

□MH=EF,

四边形EFA〃7为矩形，

MFBEAD,MF=HE,

□□DAP=DMFP,DADP=UFMPf

□AD=BC=HE,

DAD=MF9

UUPADVWPFM(ASA\

UAP=FP,故CiE确；

BHCE

D.将尸绕点N顺时针旋转90,得048。，连接。K,贝ij/『NP,□^P=90°,

匚匚/，尸是等腰直角三角形，

HAF=45°,

QAK=必K=45°,

n/K=/K,

口IZUQKniZX尸K(SAS),

DQK=PK,

四边形48C。是正方形，

nnABD=OADB=45°,

由旋转性质知，口”8(2=匚4DP=45。，BQ=DP,

□□08K=9O。，

口BGBQ^QK?,

BK2+DP2=KP2,故。错误；

故选：D.

【名师指路】

本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判

定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等

三角形.

2.如图，四边形AFDC是正方形，NCE4和44B尸都是直角，且E,A,B三点共线，AB=4,则图中

阴影部分的面积是（）

EAB

A.12B.10C.8D.6

【标准答案】C

【思路指引】

易证DAECZOFBA,得AB=EC,即可求得.

【详解详析】

口四边形AFDC是正方形

□AC=AF,nFAC=90°

□□CAE+LiFAB=90°

又［CAE+ACE=90。

□□ACE=DFAB

X：nCEA=rFBA=90°

□EAEC：iDFBA

□AB=EC=4

图中阴影部分的面积=gx4x4=8

故选C

【名师指路】

本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.

3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(4,4),点£/分别在x、y轴的正半轴上，PELPF,则

四边形OEPF的面积为()

A.20B.16C.12D.8

【标准答案】B

【思路指引】

过点P作PNA.OF,证明△。屹与Z\RW,再根据面积计算即可;

【详解详析】

如图所示，过点P作尸M_LOE,PN±OF,

点尸的坐标为(4,4),

PM=PN,

PE±PF,

AMPE+乙EPN=AFPN+乙EPN,

NMPE=ZNPF,

又乙PME=ZLPNF,

△〃监's△RW(4S4),

^VW^a-PF=场边形awr+="方形0«1/=4x4=16.

故答案选B.

【名师指路】

本题主要考查了四边形与坐标系结合，全等三角形的应用，准确判断计算是解题的关键.

4.如图，点M(4,2),点p在射线QM上匀速运动，运动的过程中以「为对称中心，。为一个顶点作正方

形O4BC,当正方形Q4BC的面积为40时，点A的坐标是()

A.(739,-1)B.(商,-夜)C.(>/37,-x/3)D.(6,-2)

【标准答案】D

【思路指引】

作轴于O,CELx轴于E,根据M的坐标求得直线的斜率进一步得出直线AC的斜率为

-2,通过证得得出CE=OD,OE=AD,可设A(a,-b),则Cg,a),然后根据待定系

数法求得直线AC的斜率为产=-2,整理得匕=?“，然后根据勾股定理得出/炉+如2=》2,代值求

b-a3

解即可.

【详解详析】

解：作AQ_Lx轴于O,CEJ_x轴于'E,

设直线。似的解析式为'=依，

点M(42)

k=-

2

四边形ABC。是正方形，

ACLOM

直线AC的斜率为-2

又；OA=OC,ZAOC=90°

ZAOD+ZCOE=90°,ZAOD+ZOAD=90°

ZCOE=ZOAD

又.NCEO=ZADO=9Q。

/\COE^/\OAD(AAS)

CE=OD,OE=AD

设A(a,-刀，则C(b,a)

设直线AC的解析式为y=，加+〃，

fam+n=—b

[bm+〃=°

-a+b

解得：tn=-----

b-a

a+b.

---=-2

b-a

整理得：b=；a

正方形面积为40

OA2=40

在孜△AOO中，AD2+0D2=0#,即：＜z2+(^a)2=40

解得：a=6

b=-a=2

3

A(6,-2)

故答案选B

【名师指路】

本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等•:角形的判定和

性质，勾股定理的应用等，根据直线AC的斜率列出方程是解题的关键.

5.如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A"A2,…A”分别是正方形的中心，则这n

个正方形重叠部分的面积之和是（)

A.nB.n-1C.(-)"-1D.(-)n

44

【标准答案】B

【详解详析】

解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的：，即是卜=1，

3个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为:”2,

4个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为:”3,

5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为:1x4,

n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为:”(n-1)=n-1.

故选B.

二、填空题

6.如图，将正方形。18c放在平面直角坐标系中，。是原点，/的坐标为（1,3），则点C的坐标为

【标准答案】卜6,1）

【思路指引】

如图作/尸X轴于尸，CEX轴于E,先证明△。。后口口。“尸，推出CE=OF,OE=AF,由此即可解决问

题.

【详解详析】

解：如图作/尸二丫轴于尸，CE一轴于瓦

四边形/8CO是正方形，

QOA=OC,LiAOC=90°,

COE+\40尸=90°,AOF+\OAF=90°,

nOCOE=DOAF,

在ACOE和△。4尸中，

ZCEO=ZAFO

"ZCOE=ZOAF,

OC=OA

COEOAF,

CE=OF,OE=AF,

A(1,6),

CE=OF=l,OE=AF=班,

:点C坐标(-6,1),

故答案为：(-73,1).

【名师指路】

本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

7.如图，在AA3C中，ZACB=90,AC=8,BC=7,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则

CE的长为.

【标准答案】17

【思路指引】

过E作EF：AC,垂足为F,由ABDE为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，AE=AB,利用

同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到nAEFH；BAC,利用全等三角形的

对应边相等得到EF=AC=8,AF=BC=7,由FA+AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股

定理即可求出EC的长.

【详解详析】

过E作EFE1AC,交CA的延长线于F,

；四边形ABDE为正方形，

□□BAE=90°,AE=AB,

□□EAF+DAEF=90。，□EAF+dBAC=90。，

□EAEF=EBAC,

在［AEF和BAC中，

==90°

<ZAEF=Z.BAC,

AE=AB

□□AEFDDBAC(AAS),

□EF=AC=8,AF=BC=7,

在RtUECF中，EF=8,FC=FA+AC=8+7=15,

22

根据勾股定理得：CE=V8+15=17-

故答案为：17.

【名师指路】

此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关

键.

8.如图，正方形ABC。的边长为3,点E在AB上，点尸在BC的延长线上，且=则四边形

的面积为：.

D

【标准答案】9

【思路指引】

根据SAS判断△“场三△"户，从而得到四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积，计算即可;

【详解详析】

四边形ABCD是」E方形，

AD=DC,ZA=NDCF=90°,

AE=CF,

^DAE^ADCF（SAS）,

四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积=3?=9.

D

故答案是9.

【名师指路】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键.

9.正方形488在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知/点的坐标（0,4）,8点的坐标（-3,

0）,则点。的坐标是

【思路指引】

过点。作。E可轴于E,由“44S，可证ZU8O□匚可得4E=O8,DE=OA,即可求解.

【详解详析】

解：如图,过点。作。石方轴于巴

\AUBAO=3ADE,

在匚480和□"£：中，

ZBA0=ZADE

<ZAOB=ZDEA=96,

AB=AD

□□480DAE(44S),

QAE=OB,DE=OA,

DA(0,4),4(-3,0),

口04=4,OB=3,

□OE=4-3=1,

□点。的坐标为(4,1).

【名师指路】

本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，熟记各性质并作辅助线构造出

全等三角形是解题的关键.

10.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BGE3AE于G,延长BG至点F使口CFB=45。，

延长FC、AE交于点M,连接DF、BM,若C为FM中点，BM=5,则FD的长为.

【标准答案】亚

【思路指引】

过C点作CHDBF于H点，过B点作BKUCM于K,过D作DQMF交MF延长线于Q,只要证明

□AGBDnBHC,OBKCDDCQD即可解决问题.

【详解详析】

解：如图，过C点作CHBF于H点，过B点作BK1CM于K,过D作DQMF交MF延长线于Q.

CFB=45°

□CH=HF,

IUABG+BAG=90°,FBE+ABG=90°,

BAG=LFBE,

AGBF,CHBF,

inAGB=CBHC=QO0,

在LAGB和BHC中，

AGB=rBHC,BAG=HBC,AB=BC,

AGBBHC(AAS),

□AG=BH,BG=CH,

BH=BG+GH,

口BH=HF+GH=FG,

□AG=FG；

□CHGF,

CHGM,

□C为FM的中点，

CH=/GM,

□BG=|GM,

□BM=5,

BG=6GM=2x/5,

AG=20，AB=5,

HF=V5,

CF=5/5xV2,

CM=V10,

□CK=gCM=!CF=巫，

222

BK=3x^0

2

□在DBKC和DCQD中，

□FBKC=nCQD=90°,BC=CD,

□□BKCnnCQD(AAS),

□CQ=BK=^^,

2

DQ=CK=典，

2

QF=CQ-CF=-Vio,

22

DQ=QF=^,

2

DF=^^x&=75.

2

故答案为逃.

【名师指路】

此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质，掌握全等三角形的

判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质是解题关键.

11.如图，正方形ABCO的边长为4,点E在C7)边上，CE=3,若点/在正方形的某一边上，满足

CF=BE,且C尸与BE的交点为贝IJCM=.

【思路指引】

分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得

到CM的长.

【详解详析】

解：分两种情况：

口如图1所示，当点F在AD上时，

由CF=BE,CD=BC,BCE=ICDF=90。可得，RtABCERtACDF(HL),

□□DCF=nCBE,

又口IZBCF+DCF=90°,

□□BCF+aCBE=90°,

□iBMC=90°,即CF「BE,

□BCM,CE=3,□BCE=90°,

□BE=5,

□如图2所示，当点F在AB上时，

同理可得，RtABCFRtACBE(HL),

UBF=CE,

又匚BFCE,

四边形BCEF是平行四边形,

XnDBCE=90°,

四边形BCEF是矩形，

【名师指路】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全

等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

12.如图，平面直角坐标系中有一正方形O4BC,点C的坐标为点8坐标为.

【标准答案】（-3,1）

【思路指引】

过点A作轴于过点C作CELx轴，过点B作跖J_CE交CE的延长线于尸.先证明

AAOD^ACOE^MiCF,得到A£>=CE=B尸=1,OD=OE=CF=2,根据点的坐标定义即可求解.

【详解详析】

解：如图，过点A作A£>_Ly轴于。，过点C作CE_Lx轴，过点B作BF,CE交CE的延长线于尸.

C（-2,-l）,

:.OE=2fCE=1.

四边形OABC是正方形,

OA=OC-BC.

易求ZAOD=ZCOE=ZBCF.

又,ZODA=ZOEC=ZF=90°

□AAOD^ACOE^ABCF,

/.AD=CE=BF=\,OD=OE=CF=2,

，点A的坐标为(-1,2),EF=2-1=1,

点B到y轴的距离为1+2=3,

•••点8的坐标为(—3,1).

故答案为：（-3,1）

【名师指路】

本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角

形是解题关键.

13.如图，四边形ABC。中AQ=AB,ZDAB=ZBCD=90°.则NACB=.

【标准答案】450

【思路指引】

作AEBC于E,AF1CD延长线于点F,易证四边形AECF为矩形，可得FAE=90。，再根据DAB=

90°,可得IDAF=DBAE,即可证明BAEOiiDAF,可得AE=AF,即可判定矩形AECF为正方形,即

可解题.

【详解详析】

解：作AEBC于E,AFCD延长线于点F,

口四边形AECF为矩形，

FAE=90°,即DAF+DAE=90°,

□□DAE+TBAE=90°,

DiDAF=：BAE,

在DBAE和匚DAF中，

□AEB=DF,CBAE=nDAF,AB=AD,

□□BAEODDAF(AAS),

□AE=AF,

□矩形AECF为正方形，

□□ACB=45°；

故答案为：45°.

【名师指路】

本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方

形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

14.如图，点/,B,E在同一条直线上，正方形8EFG的边长分别为2,3,，为线段O尸的中

【思路指引】

根据题意，利用勾股定理可以求得DF的长，然后根据正方形的性质可以得到DBF的形状，再根据直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到BH的长.

【详解详析】

解：延长。C交FE于点连接8。、BF,

□正方形48CZ),8EFG的边长分别为2,3,

□£>M=5,MF=1,DZ)A/F=90o,

DF—6+[2=726，

BD、BF分别是正方形4BCD,8EEG的对角线，

DBC=G8尸=90°,

□□£>8尸=90。，

□□DBF是直角三角形，

口点”为。尸的中点，

8〃=；。尸=叵，

22

故答案为：叵.

2

【名师指路】

本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股定理，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

15.如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四

个正方形的面积依次是SI,S2,S3,S4,则S1+2s2+2S3+S4=_.

【标准答案】6

【思路指引】

先根据正方形的性质得到ABA90。，AB=DB,再根据等角的余角相等得到匚CAB=DBE,则可根据

“AAS”判断AABC二DBDE,于是有AC=BE,然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD,代换后有

2222

DE+AC=BD,根据正方形的面积公式得到SI=AC2,S2=DE,BD2=1,所以SI+S2=1,利用同样方法可

得至S2+S3=2,S3+S4=3,通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=l+2+3=6.

【详解详析】

解：如图，图中的四边形为正方形，

CBE

□□ABD=90°,AB=DB,

lOABC+iDBE=90°,

ABC+CAB=90°,

IHCAB=nDBE,

□在AABC和ABDE中，

ZACB=ZBED

*NCAB=NEBD,

AB=BD

□OABCBDE(AAS),

□AC=BE,

DE^BE^BD2,

DE2+AC2=BD2,

222

OSI=AC,S2=DE,BD=1,

□S|+S2=l,

同理可得S2+S3=2,S3+S4=3,

□81+282+283+84=1+2+3=6.

故答案为：6.

【名师指路】

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等

三角形的对应边相等.也考查了勾股定理和正方形的性质.

三、解答题

16.综合与实践：如图1,在正方形ABC。中，连接对角线AC,点。是AC的中点，点E是线段上

任意一点(不与点4。重合)，连接。E,BE.过点E作跖交直线BC于点工

AA

B

图1备用图

(1)试猜想线段DE与E尸的数量关系，并说明理由;

(2)试猜想线段CE,CD,CF之间的数量关系，并说明理由;

(3)如图2,当E在线段CO上时（不与点C,。重合），E尸交BC延长线于点尸，保持其余条件不变,

直接写出线段CE,CD,CF之间的数量关系.

【标准答案】（1）DE=EF,理山见解析；（2）gCE=CD+CF,理由见解析；（3）

OCE=CD-CF，理由见解析

【思路指引】

（1）先根据正方形的性质可.证得BCE二,。。石，由此可得NCBE=NCDE,BE=DE,再根据同角的补

角相等证得=等量代换可得NCBE=NE阳，由此可得破=印，再等量代换即可得证；

（2）过点石作EGLEC交C8的延长线于点G,先证明EG=£C,利用勾股定理可得CG=&CE，再证

明AEG小父△££》，由此可得G/=。8=8,最后再等量代换即可得证；

（3）仿照（1）和（2）的证明即可证得0CE=CO—C/.

【详解详析】

解：（】）DE=EF,理由如下：

四边形ABC。是正方形，

BC=CD=AD,NBCD=ZADC=90。，

180°-ZADC

ZDAC=ZDCA==45°,

2

/BCE=Z.BCD-ZDCA=45°，

/BCE=/DCE,

在，BCE与DCE^,

BC=DC

</BCE=ZDCE

CE=CE

BCEWDCE(SAS),

/CBE=/CDE,BE=DE,

EF工DE,

"££>=90。，

/EFC+ZBCD+ZCDE+/FED=360°,

ZCDE+Z£FC=180°,

口NEFC+NEFB=180。,

NCDE=NEFB,

4CBE=/EFB,

□BE=EF,

DE=EF；

（2）辰E=CD+CF，理由如下：

如图，过点E作石GLEC交C8的延长线于点G,

ZCEG=90°,

由（1）知：ZBCE=45。,

/EGC=ZBCE=45。,

EG=EC,

在MZkGEC中，CG=ylCE?+EG?=&E,

在4£6户与ECB中，

ZEGF=/ECB

<NEFG=/EBC

EF=EB

△EGF%/\ECB（AAS）,

GF=CB=CD,

又［CG=GF+CF=CD+CF,

叵CE=CD+CF；

（3）OCE=CD-CF，理由如下：

如图，过点E作£G，£C交8。于点G,设CQ与后户的交点为点P,

ZCEG=90°,

由（I）可知：ZBCE=45。,

ZEGC=ZBCE=45°9

EG=EC,

□在&△GEC中，CG=NCE、EG2=OCE，

EF工DE,

/FED=9Q0,

NCDE+NEPD=90。,

ZDCF=180°-/BCD=90°,

NCFE+NCPF=90。,

又ZEPD=/CPF,

□/CDE=/CFE,

由（1）可知：/CBE=/CDE,

/CBE=NCFE,

在△EGF与ECB中,

NEGF=/ECB

<NEFG=/EBC

EG=EC

AEGF^/\ECB（AAS）,

□GF=CB=CD,

又:CG=GF—CF=CD—CF,

血CE=CD-CF.

【名师指路】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，

作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键.

17.四边形48C。为正方形，点E为线段ZC上一点，连接。及过点£作所口。日交射线8C于点E

以DE、EF为邻边作矩形。EFG,连接CG.

备用图

(1)如图，求证：矩形。EFG是正方形；

(2)若4B=4,CE=2y/2,求CG的长度；

(3)当线段与正方形的某条边的夹角是40。时，直接写出:JEFC的度数.

【标准答案】(1)见解析：(2)2&；(3)£FC=130°

【思路指引】

(1)作£尸口8于P,E0QBC于。，证明出口后。尸ZLRPEPD,得到EF=ED,根据正方形的判定定理证

明即可；

(2)通过计算发现E是/C中点，点厂与C重合，CAG是等腰直角三角形，由此即可解决问题；

(3)分两种情形：如图3,当。£与4。的夹角为40。时，求得D£C=45o+40°=85°,得到：CEF=

5。，根据角的和差得到EFC=130。，□如图4,当。E与。。的夹角为40。时，根据三角形的内角和定理

即可得到结论.

【详解详析】

(1)证明：如图I,作£28于P,EQ「BC于Q,

□DCA=「BCA,

EQ=EP,

aQQEF+JFEC=45°,UPED+UFEC=45°,

口口QEF=：2PED,

在UE0尸和UEP。中,

/QEF=/PED

<EQ=EP

/EOF=/EPD

口EQFJEPD(ASA),

口EF=ED,

□矩形。石尸G是正方形;

(2)如图2中，在刘力8c中，AC=OAB=4O,

图2

CE=2O,

UAE=CEf

□点尸与C重合，此时DOCG是等腰直角三角形,

□四边形DECG是正方形,

CG=CE=2y[2;

(3)口如图3,当OE与4)的夹角为40。时，

□。上。=45。+40。=85。，

DEF=90°,

UQCEF=5°f

□□£CF=45°,

□£FC=130°,

图3

□如图4,当与。。的夹角为40。时,

nUDEF=JDCF=90°,

EFC=EDC=40°,

综上所述，C]EFC=130。或40°.

【名师指路】

此题考查了正方形的判定以及性质，涉及了全等三角形的证明、等腰宜角三角形等性质，熟练掌握相关

基本性质是解题的关键.

18.如图，四边形ABC。是正方形，点尸是线段A8的延长线上一点，点M是线段A8上一点，连接

DM,以点M为直角顶点作交NC3P的角平分线于N,过点C作CE//MN交AD于E,连接

EM,CN,DN.

(1)求证：DM=MN.

(2)求证：EM//CN.

(3)若AE=1,BN=3&，求DV的长.

【标准答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)5夜

【思路指引】

(1)在边ZM上截取线段£>E,使£>尸=加8连证明尸丝△MW3即可求解；

(2)山(1)LMDF必NMB,证明四边形EMNC为平行四边形即可求解；

(3)过N作NQ_LAP垂足为Q,由(2)知，AEDgAMAD；得至UAT>-DE=Afi-AM,

AE=MB,BN平分NCBP所以ZNBQ=45。,可知三角形NB。是等腰直角三角形，再用勾股定理即可

求出和AW和DN.

【详解详析】

(1)证明：在边ZM上截取线段OF,使=连MF.

C

D

MBQP

四边形ABC。是正方形

/.AB=BC=CD=AD\ZDAB=ZABC=ZBCD=^CDA=9G0

/CBP=180O-ZABC=90°

BN平分NCBP

・•.ZCBP=45°

・•./NBM=ZABC+/CBN=90。+45。=135°

DF=MB,AD=AB

:.AD-DF=AB-MB

..AF=AM

在RtAFAM中、"=4W,

.・.NABW=ZAM尸=45。

.・.ZMFD=180°-ZAfM=135°

:.ZMFD=ZNBM

4DMN=90。

ZNMB+NDMA=180°-90°=90°

NDMA+ZMDF=90。

：.ZNMB=ZMDF

Z\NMB中

4MFD=/NBA

DF=MB

NMDF=/NMB

△MD产也△MWB(ASA)

:.DM=MN.

(2)如图,

C

D

MBQP

设DM与CE的交点为H,

四边形ABC。是正方形

AD=DC,ZDAM=NCDE=90°

4DMN=90o,CEHMN

NDHC=90。,

:.ZHDC+ZDCH=9O°

ZHDC+ZADM=90°

/.ZDCE=ZADM,

'NCDE=NDAM

在△EQC和△M4£>中，AO=QC

ZDCE=ZADM

△£Z>C^AM4£）（ASA）,

:.EC=DM又DM=MN,

:.EC=MN又ECMMN.

四边形EMNC为平行四边形.

EM//CN.

(3)解：如图所示，过N作NQJ.AP垂足为Q.

11]（2）知，AED8AMAD

:.DE=MA,

又A£>=AB

AD-DE=AB-AM^AE=MB=\

BN平分NCBP所以ZNBQ=45°,

三角形NB。是等腰直角三角形，

在Rt_NBQ中，

设8Q=x,则NQ=8Q=x,即/十/=。夜了，

..x—3•

.,.NQ=3,MQ=l+3=4,

在R忆MQV中，MN=y]32+42=5-

又:在RjDMN中,MN=5,DM=5,

：.DN=yl52+5z=5^.

【名师指路】

此题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和判定以及勾股定理的应用，掌握它们的性

质和判定是解题的关键.

19.如图1,点E为正方形/BCD内一点，QAEB=90°,将RQ45E绕点8按顺时针方向旋转90。(即

□E8E=90。)，得到口。8£，(点力的对应点为点C)延长ZE交CE于点尸，连接3E.

DCD

图1图2

(1)试判断四边形8EEE的形状，并说明理由.

(2)如图2,若D4=DE,请猜想线段C尸于巧的数量关系并加以证明.

(3)如图1