2022-2023学年湖南省益阳市高三年级上册学期期末质量检测数学试题含答案

益阳市2022-2023学年高三上学期期末质量检测

数学试题卷

姓名准考证号

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题

卡上的指定位置.

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知全集”{々TOL,集合”={-13,8={0,2,3},则为（）

A{-/2,1}B”，°，2,3}D.H}

2.设复数zi=l+2为，则2=（）

A」+3iB.1-向C.iD.3

3.如图所示的矩形488中，E,F满足瓦=EC,CF=2FD,G为EF的中点、,若4G=+,

则澳的值为（）

j_23

A.2B.3c.4D.2

4.在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为8cm的正方体胶泥作为原料，每

人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则

制作完成后剩下的胶泥约为（）（忽略制作过程中的损耗，乃“3.14）

图一图二

A8.7cm3Q10.6cm3g9.6cm3p12.4cm3

/(》)=卜~。

5.已知函数\[ln(ax),x<0,若/(0)+/(6)=0,则"的值为()

21

2——

A.eB.eC.eD.e

6.2022年io月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激

发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从装有大小相同的标号分别为L2,3,4,5,6,7,8,9的9

种不同的种子中随机抽取2种种子进行操作实验，则抽到的两种不同的种子的标号之和恰为10的概率为（

）

J.J_2W

A.9B,15C.36D.45

/(x)=sin3x+°)0<0<6,|同<£/*+x

7.已知函数I2人若

包°对应的值为（)

22DM

A专B专C.'3

8.已知函数"）一,若方程

尸3+（1一祖）/（）加=°有3个不等的实根,

则实数〃，的取值范围为

()

二,多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图为国家统计局于2022年11月15日发布的社会消费品零售总额同比增速折线图，则2021年10月至

2022年10月同比增速的（）（注：2022年1-2月份合并统计为一个数据）

社会消费品零售总额同比增速

A.平均数大于0B.中位数为2.7

C.极差为17.8D.第25百分位数为-3.5

io.已知函数则（）

A.”》）有2个极大值点B./G）有1个极小值点

J（一2）=15D.点O'/。））处的切线方程为歹=T

11.已知双曲线43，则（）

也

A.C的离心率为2

_.V3

y=±—x

B.C的渐近线方程为2

y=—x-1

C.直线,2与C有.2个公共点

D.过右焦点的直线/与0的交点分别为48,当卜回=4时，这样的直线/有3条

12.已知函数“X）及其导函数/'（X）的定义域均为R,记g（x）=/'（x）,若“X）关于直线x=2对称,

g（4+2x）为奇函数，则（）

/'（2）=0g（2024）=g（-2020）

/x.D.

cg（2）=g（18）Dg（4）=2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

]3.（X-'）（X+2N）5的展开式中含x3y3项的系数为（用数字作答）

14.已知长方体—中，"="4=2,"°=3,点E为棱Z8的中点，则异面直线

4瓦4,所成角的余弦值为

15.已知圆°：/+/=L圆°的圆心在％轴上，过点G'"）,若圆C与圆°外切，则圆°的方程为

16.已知抛物线C：V=2x的焦点为F，圆°:』+V=3与C交于",N两点，其中点/在第一象限，点

P在直线％=一2上运动，记OP=九。M+"ON@AeR）

_S=逑

①当而〃的时，有“心一丁；

_________A=_2

②当OPLON时，有2.

③&PMN可能是等腰直角三角形：

其中命题中正确的有.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

己知数列也｝的前"项和为S",且％=3,S.=-1.

（1）求｛""｝的通项公式；

〃='，],=6也++…+b„bn+[

（2）若％，求

18.（本小题满分12分）

在“8C中，角48,C的对边分别为a,b,c,且（2-sinJ）cos5-1=cosZsinB-2cos5sinC

（1）求4;

（2）证明：+c\2b\

19.（本小题满分12分）

某学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操（记为“类体操），原来

的大课间运动体操（记为3类体操），为了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类别是否

有关，分别对使用〃类体操与8类体操的学生进行了问卷调查，现分别随机抽取了100个学生的问卷调查情

况，得到如下数据：

喜爱不喜爱

A类体操7030

8类体操4060

（1）试根据小概率值a=°・0°l的独立性检验，能否认为喜爱大课间运动程度与/类体操和3类体操有关？

（2）从样本的喜爱大课间运动的学生中，按46类分层抽取11名学生参加一个座谈会，再从中抽取3名学

生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率.

2_n（ad-be）?

附.”—5+b）（c+d）g+c）0+d）

a0.0500.0100.001

X。3.8416.63510.828

20.（本小题满分12分）

如图所示的正方体'88-4用G2中，点瓦口分别是棱84QG的中点.

（1）证明：平面NEC，平面；

（2）求平面力既与平面4EC所成锐二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

2V21

U-%=1（。＞6〉0）口口-

己知椭圆U斤的左、右焦点分别为'"4,条件①离心率为2；②点尸在C上运动,

且归用+归闾=4；③点「力在。上,从①②③任选两个条件作为已知，解决下列问题：

（1）求椭圆°的方程；

（2）已知过点鸟的直线/与椭圆°交于“，N两点，点0（4,0）,直线的斜率分别记为《

试探讨“。是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=（xT）ei+j

（1）求函数/（X）的单调区间；

（2）讨论函数b（x）=/（x）T—的零点个数

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数学参考答案

1.C［解析］因为幺={T3}，5={。，2,3},所以C={T0,2,3},

所以q（，。8）={-2,1}故选c

2.D【解析】设z=a+biQ'GR）,贝底一历,

_z_2-=l=_i

所以由zi=l+2元，得（z-2z）i=l,所以i,

11.

a=uA,bL=—z=—1

所以一。+3折=-i,所以3,所以3.故选D.

3.A【解析】由题可知

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AD,AF=AD+DF=AD+-DC=-AB+Ab

2233

IA_.___1（4—►32—►3►

AG=—（AE+-）AG=~\—AB+—AD\=—AB-v-AD

又因为G为防的中点，所以2、乙所以2132；34所以

231

%=一,〃=—初二一

34,所以2.故选A.

4.B【解析】由题可知正方体胶泥的体积为匕=*=512cm3,每个冰激淋胶泥的体积为

"1,14N。1640

匕=一）><2x6+—x—TTX2=8乃+—7t=—万cnr3

32333所以12个冰激淋胶泥的体积为

40

匕=12x—7T=160^Cmrrrr〈口1x3

3，所以匕一匕=512-160*9Q.6cm故选B

/（x）=,e",x20

5.D【解析】由［lnax,x<0,得/（。）=1,又由/（°）+/。）=°,可知b<0,所以

/Q)=ln("),所以l+ln(")=O,即ln(")=T,解得"二故选立

6.A【解析】从标号分别为1，2,3,4,5,6,7,8,9的9种不同的种子中随机抽取2种种子的所有情况有

0=36,而恰好凑成IO的情况有：°，9)，(2,8),(3,7),(4,6),共4种情况,所以所求的概率为

369.故选A.

刀=2£/田=0

7.C【解析】由题可知函数/(“)关于直线12对称，又因为,所以函数/(X)关于点

(万。］Q兀兀TkT7t2%/r

7，u---------=—+——,ksZT=--------，左EZ——=--------,keZ

13J中心对称，所以12342，即2%+1,所以(V2%+1,即得

刃=4左+2,左eZ,因为0</<6,所以k=0时，(y=2符合，所以/(%)=sinQx+夕)，又由

，(万、八C4，，-72万，〜||乃冗

;=u2x—+(p=k7r,kGZ(p-k7t------,keZ\(p\<—(p=—

(3)，得3，所以“3，由阳2,可知当上二］时，“3符

合.故选C.

/x_Inx,zb-lnx

8.A【解析】由‘xx得'A/，当xc&e)时，/'G)>0,/(x)单调递增，当

xe(e,+e)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，且/。)=°,当xf+力时，"力""'(")WG)-或又

因为由/2(x)+(i)/(x)-加=0,可得(/(X)+1)(/(X)-M)=0,所以/GA—l或/(x)=m,当

/(")="时，方程有一个实数，所以要使方程有3个不等的实根，则方程/(*)="有两个不等的实根，

0<7W<—

所以，故选A.

二、多选题

9.AC［解析】表中数据由小到大为TLL一6乙一3.5,-0.5,1.7,2.5,2.7,3.1,3.9,4.9,5.4,6.7,由表中数

据易知同比增速的平均数大于0,所以A正确：由表中折线图可知中位数为2.6,所以8错误；由表中折线

图可知极差为6.7一(TL1)=17-8,所以C正确；因为数据共有12个，由25%xl2=3,所以第25百分位

-3.5-0.52

数为从小到大的第3个与第4个数据的平均数，即为2,所以。错误.故选AC.

IO.BCD【解析】由/（》）=/一/一x,得/'（X）=3X2-2X-1,所以广（-2）=15,所以0正确；又令

/'G）=°,即3f_2x-1=0,解得须一产-1,当时,/‘（x）＞°J（x）单调递增；

当X*（时，/'（X）＜°JG）单调递减；当XG（L+0°）时，/'（x）〉°JG）单调递增，所以当

3时，函数有极大值；当X=1时，函数有极小值；所以A错误，5正确；又/‘（1）=°,又因为

/°）=一1,所以在点（1'/°））处的切线方程为歹+1=。，即"T,所以。正确.故选BCD.

22

r.xycV7

11.ABD【解析】由双曲线’43可知，。=2,°=J3,c=J7,所以a2,所以/正确;

373,

C的渐近线方程为2,所以8正确；因为直线,2与渐近线平行，且过1%一1人所以与

x2/3

----------=]G、二±—

C只有一个公共点，所以C错误；因为由43,当x=V7时，2,此时通径长为3,因为

4〉3,所以当1'a=4时，点均在双曲线的右支上有两条，又因为2。=4,所以点刘8分别在双曲线

的左、右支上也有1条，综合可知当M叫=4时，这样的直线有3条，所以。正确.故选ABD.

12.ABC【解析】因为/（X）关于直线》=2对称，所以/（X+2）=/（T+2）,所以

/'（x+2）=-X+2）,令x=0,得八2）=0,所以/正确；由/（x+2）=/（-x+2）得到

/（x）="r+4）,所以/'（x）=-/'（r+4）,所以g（x）=-g（r+4）,令》=2024,则

g（2024）=-g（-2020）,乂因为g（4+2x）为奇函数，所以g（4-2x）=-g（4+2x）,即

g（"x）=-g（4+x）,即g（x）=-g（8r）,所以g（8-x）=g（4-x）,即g（4+x）=g（x）,所以函数

名⑸的周期为7=4,所以g°8）=g°6+2）=g（4x4+2）=g（2）,所以。正确；由

g（4r）=-g（4+x）,得函数g（D的图象关于点GO对称，所以g（4）=0=g（2024）=g（-2020）,

所以。错误，8正确.故选/8C.

三、填空题

13.40【解析】因为。+2团5展开的通项公式为1+1=2'€：45-，/，所以含犬/项的系数为

23C-2y=40故填40

4而

14.65【解析】如图所示，在长方体"88-4用GA中，延长"8,℃,构造一个与

ABCD-AXBXCXDX全等的长方体BGHC-

且点口为棱8G的中点，所以所以/C8/（或其补角）为异面直线4瓦片。所成角,

由题意得用。=®B\F=®CF=回,所以由余弦定理得

2

C产=B}F+4c2_2B]F'B}CcosZCBtF

4屈4而

cosNCB\F-

所以65.故答案为65

2

15（X-3）+/=4【解析】依题可设圆C的方程为：（》一。）2+/=,，且。>0,因为圆。与圆。外

j（2-a）2+3=r2,

切，且过点（2'6）,所以1〃+1=凡解得。=3,r=2,

所以相应的方程为（x-3>+V=4.故填（x-3）2+/=+

16.①②【解析】由°：/+歹、3与V=2x,联立方程42."3=0,解得玉=1或々=-3（舍）,

当％=1时，丫=土6展?洪,尸,所以西=（1,及）而=（1,一夜），从而

方=4而+〃而=丸《，血正/_以）即尸。+〃，血丸—0〃）因冰点

尸在直线》=一2上运动，所以力+〃=一2,贝=夜）

①当。尸〃时，点60炉〃三点共线，OP=-2OM,所以力=一2八,=一2后，又由题可知

&0刊％-y\=-x-x3y/2=^^-

呜,。S\FMP

,所以‘21"1224,所以①正确;

②当而，砺时，即亦砺=0,所以G+〃，&-®为，一形卜°,即（，+〃）-2（6〃）=0,

2

V2

1

M=——

解得'=3从，又，+"=-2,得[2,所以②正确；

③若APA/N是等腰直角三角形，

则NPMN或NPNM或NMPN为直角,因为"«，血）”《，一夜）。（^?，、汇，一行〃），当

ZPAW=90"时，

则岳-®=应,得％=1,此时质1=2在闸=3,不是等腰直角三角形，

所以不成立；由对称性可知当/PM0=9O°时，也不成立；

当/MPN=90'时，因为首先是等腰三角形，由对称性可知点尸在x轴上，此时0（一2，°）,显然

/MPN大90。,故也不成立；综上所述，APMN不可能是等腰直角三角形，所以③错误.故答案为①②.

四、解答题

17.解：⑴因为S，=%+〃-，

所以当〃22时，S“_|

两式相减得:""=牝-%+2,-1,即%=2〃-1,

所以为=2〃+1,

且6=3符合，

所以｛4｝的通项公式为与=2〃+1

,11

bn=—=---

（2）由⑴可知怎2〃+1,

⑺=_J__]_1O__!_]

所以“-2%+「2左+3=一左+12k+3）

所以北=她+她++她+i

工仕____1Vn

5"2〃+3厂3（2/+3）

（2-sinA）cosB-1=cos/sinB-2cosBsinC

18.解:（1）由

得2COSJ?-1=cos/sin5+siir4cos8-2cos5sinC

即2cos6-1=sinC-2cos5sinC,

2cos5+2cos5sinC=1+sinC

2（1+sinC）cosJff=1+sinC

因为0<C（乃，所以sinC>0,所以l+sinC>0,

cos5=—

所以2cos8=1,即2,

B=-

又因为°<8（乃，所以3.

（2）依题要证明即证明b2、，

a2+c2_sir?/+sin2c_4

《in2/+sin2。）

由（1）及正弦定理得：〃sin253

4（l-cos2J1一cos2c42_.

=-1——-——+——-——l=y-y（zcos2/+cos2C）,

A+C=^-B=—2C=--2A

又因为3,所以3

4万

cos2J+cos2Aj=cos2J-cos-24

T

所以

=cos2J-cos—cos24—sin—sin2A

33

」c°s2/-3.（万、

sin2?l=cos2AH——

22V3J

2乃兀、A冗、TC

0<A<———<2A+—<—

因为3,所以333

2A+—=TTcosI2^+--I=-1

所以当3时，k3)

--—(cos27l+cos2C)♦二°-(2

此时33有最大值2,即b,

所以/得证

19.解：(1)零假设为：”。：是否喜爱大课间运动程度与“类体操和B体操无关.

根据列联表中的数据，

2200x(70x60—30x40)2200

Y------------------------=----x1o.1o2

得到100x100x110x9011>10.828,

根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断“。不成立，

即认为是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关.

(2)由样本中的数据可知，抽取11名学生中，

其中喜爱N类体操有7名学生，喜爱2类体操有4名学生，

〃11x10x9

CH=--------------=1OJ

从11名学生抽取3名学生的所有情况有3x2x1,

而3名发言的学生中既有喜爱〃类体操也有喜爱8类体操的情况有

C；C：+C；C；=7xd+%x4=126

22x1种，

p12642

所以16555.所以参加发言的学生既有喜爱/

42

类体操也有喜爱B类体操的概率为55.

20.证明：(1)因为'80°一44G2为正方体，

所以

又因为即■1■平面N8C。，所以A.AC,BD(^DDl=D

所以4。，平面8即4,

又4Cu平面/EC,所以平面4EC1平面8OR4

⑵由条件可知"℃,即两两垂直，

所以分别以D4DC,DD］所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图所示）,

设正方体的棱长为2。，

则D（0,0,0）,N（2a,0,0）,C（0,2凡0）,E（2a,2凡a）

F（0,a,2a）

斫］AC=（-22200）,4£=（0,2a,a）,AF=（-2a,a,2a）

r/\

设平面4EC的一个法向量为勺=（x/，z）,

n［•AE=0J（x,y,z）（O,2a,Q）=O

贝I［晨工=0［（%,y9z｝（-2a,2a,0）=0

2y+z=0

V

所以［x=N,令x=l,得y=l，z=_2,

所以％=（LL-2）,

又设平面ZEE的一个法向量为〃2=（x'，V，z'）,

n2-AE=0z）（0,2a,a）=0

则以.酢=0［（x'，V，，）.（-2凡a,2。）=0

2y'+z'=0

所以1-2X'+J/+2Z'=0,令"=2,得f=-3,

z'=-4,

所以〃2=（—3,2,~4）,

cos际可==（LL-2>（-3,2,-4）=7VF^

所以V6X>/29174

7V174

所以平面“石户与平面"EC所成锐二面角的余弦值为174

21.解：(1)选择①②，

因为陶+|明=2。

a2=b2+c

联立方程组

所以椭圆C的方程为：43

选择②③，

因为陶+熙|=2。

19

/+江

，2a=4=><b=G,

a2=b2+c2c=\

联立方程组-

所以椭圆C的方程为：43

选择①③，

19,

---1----=1

a24ft2fq=2

■b-yfi.

~a~2

a2=b2+c2

所以椭圆C的方程为：43

(2)由(1)知椭圆C的方程为：43，所以巴°'°)，

当直线/的斜率为0时，易知_NQ_，所以MQNQ

当直线斜率不为0时，设直线方程为“="+1，

43

M（X]，M）,N（X2,必），联立方程组x=ty-\-\

整理得"+»+6叱9=°,

A〉0=/eR

6t9

所以乂+%=一豕百'=一手有

乂।%

nkMQ丁4“kQ

Xj—4-4

所以x?

拈-4乂