2022高三数学开学摸底考试卷01理含答案

2022高三数学开学摸底考试卷

选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

x|三电@],

1.若集合〃=B={X\X2-X-2<0},则/=

X—1I

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

C

集合J=jx|x+；W。}={x|-2^x<1},

S={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

,Jp|^={x|-l<x<l}=(-l,l).

故选C.

2.若虚数z满足z(l+。=|z「，则2=

A.\—iB.l+iC.—1—zD.—1+f

A

设z=a+6i,a,beR,

则由z(l+i)=|z|2,得(a+bi)(l+i)=\a+bi^=a2+b2,

22

^a-b+(a+b)i=a+bf

所以卜f+J解得

[a+/?=0[b=-1

所以z=1-i.

故选A.

r2V2

3.已知命题p:Vke(l,2),方程------匚=1都表示双曲线；q；抛物线歹=4x2的焦点坐标为

2-kk-\

(1,0)；下列判断正确的是

A.p是假命题B.q是真命题

C.p/\(—»夕)是真命题D.(―>p)A]是真命题

c

22

方程」----J=1表示双曲线，则有(2-%)(A-l)>0,解得1“<2,

2-kk-\

22

故命题P:VAc(l,2),方程上——匚=1都表示双曲线为真命题；

2-kk-\

抛物线y=4X2的焦点坐标为(0,焉)，

故q抛物线y=4x2的焦点坐标为(1,0)是假命题；

所以为真，「0为假，

则pA(rq)为真，(-为假，

故选C.

4.下列函数为奇函数的是

A./(X)=X3+3X2B./(x)=2'+2T

3+x

C./(x)=xsinxD.f(x)=In----

3-x

D

对于/,•••/(-1)=2,f(1)=4,/(-"-/(1),

二函数不是奇函数：

对于8,函数定义域为R,-*+2«，)=2*+27=/(外,

.•・函数为偶函数：

对于C,函数定义域为R,/(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),

二函数为偶函数：

对于。，由三日>0,得-3<x<3,函数定义域为(-3,3),

3-x

而/(-x)=/n|—•尸=一加卜史=-f(x),

3+x3—x3-x

函数为奇函数.

故选D.

5.已知4=2"*,b=拒,c=log23,则a,b,c的大小关系为()

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

C

根据指数运算与对数运算的性质，

a=2°>3,1cb=百<2,1<c=log,3<2»

9=6=108：%c=log23,

由于函数加=log?f为增函数，

由于y=2^的值接近于4,

所以Q>6>C.

故选：C.

6.在正方体/BCD—/圈GA中，异面直线4片与BD的夹角为

A.-B.2C.-D.-

2346

B

在正方体ABCD-A】BCQi中，DDJ/BB},且DD】=BBX,

所以四边形6AA。为平行四边形，所以

所以异面直线AB】与BD夹角等于/ABR或其补角，

连接力A，因为△/4口为正三角形,

所以n/8a=-,

113

所以异面直线/鸟与夹角为工.

13

故选B.

7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分

为阳爻“------”和阴爻“--------”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它

可以组成种重卦.

A.6B.15C.20D.1

C

每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则有C；=20种.

故选C.

7T

8.将函数/(X)=sin(3x+-)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，再将所得到的图

6

象向右平移"(〃?〉0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x)为奇函数，则加的最小值为

.71「乃_71口71

A.—B.-C.—D.—

18963

D

将函数/(x)=sin(3x+%)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到

6

,.14、

y=sin(-x+-)，

2O

再将所得到的图象向右平移机(加＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象由，

即g(x)=sin[;(X-机)+g]=sin(＜x+£-g)，

2o2o2

因为g(x)是奇函数，所以,£=keZ.

解得m=——2k兀.

3

因为团＞0,所以当a=0时，他的最小值为C.

3

故选D.

9.在圆一+^2=4内任取一点，则该点到直线x+y-2及=0的距离小于1的概率为

A.1B.1-±C.二立D.L3

334万34乃34万

C

由点到直线的距离公式得原点O到直线x+y-2a=0的距离为在言=2,

故到直线x+y-2&=0距离为1的点在直线x+y+c=0上,

则।，+।=],c_或c=-3应(舍去)；

满足圆/+「=4内至IJ直线X+y一0=0的距离小于1的点位于两直线之间的弓形内,

由于圆的半径为2,ZAOB=—,48=2百；

3

S弓形=；x与x2?-gx2^x1=?一生.

故概率尸=加=^-----」一走.

Sggj^7l34万

故选C.

1,

10.已知函数/(x)=x、x—5(加+1)》2—X有两个极值点，则实数机的取值范围为

A.(--,0)B.(-1,--1)C.(-oo,l-l)I).(-l,+a>)

eee

B

由/(x)=xlnx一；(加+l)x2-x,

得/'(x)=/及x-(加+l)x,x>0.

要使f(x)=xlnx-(/n+\)x2-x有两个极值点，

只需/")=历%-(加+1)工=0有两个变号根，即加+1=蛆有两个变号根.

x

人，、Inx/八、，/、\-lnx

令g(x)=­，(工>0)，则milg(x)=­L，

Xx~

由g'(x)=o得X=e，易知当xw(0,e)时，g'(x)>0,此时g(x)单调递增;

当xw(e,+oo)时，g'(x)<0，此时g(x)单调递减.

所以ga"=g(e)=L

e

而g(-)=-e<0,lim=lim工=0,

e%.v->+<c]

故选B.

11.已知。为椭圆C的中心，户为C的一个焦点，点M在。外，MO=3OF,经过“的直线/与C的

一个交点为N,户是有一个内角为120。的等腰三角形，则。的离心率为

A.旦B.且C.V3-1D.包里

434

B

不妨设尸(c,0),MO=3OF,则M(-3c,0),

易知AMNF中只能NMNF=120°,

AWNF是有一个内角为120。的等腰三角形，则N(-c,土一六c),

42

/4P2

将N代入椭圆方程得到斗+1=1,即e?+-^―=1,

a2b23(1")

解得92=,或02=3(舍去)，

3

故6=且，

3

故选B

12.己知函数/■(刈=泌-；,g(x)=-

.若关于x的方程g(/(x))-m=0有四个不同的解，则

(x-1)lnx,x>0

实数机的取值集合为()

./〃2、B.(竽1)Ini

A.(0,—)C.D.(0,1)

A

解：设r=/(x),方程g(/(x))-加=0有四个不同的解，

•••/(-X)==/(X),

.♦”=/(%)为偶函数，且当x>0时，/*)=，-；为增函数，则当试0时，，=/(、)为减函数,

・二0丽=/(°)=*一；=；'即,

当x>0时，g(x)=(x-\)lnx,则8，(工)=历工+,。-1)=/九丫一,+1,

xx

另g'(x)=0,解得x=\,

所以当xw(0,1)时，g\x)<0,g(x)为减函数,

当X£(l,+oo)时，g\x)>0,g(x)为增函数,

作出g(x)在x>0时的图像，如图所示:

由图可知，当加€(0,当)时，尸g(f),的图像与广加图像有2个交点,

作出f=/(x)的图像，如下：

此时y=%与yj分别与y=f(x)有2个交，即g(/(x))-m=0有4个不同的解，

故实数〃7的取值范围为(0,等)，

故选A.

二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

22

13.已知双曲线C:「-==l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F2,过工的直线/交。的右支于Z,

ab

8两点,且万•丽=0,12|万|=5|斯则C的离心率为.

回

可设片|=12f,/>0,

由12|万|=5|福可得|/8|=5f,

由双曲线的定义可得14g|=|凋|-2a=\2t-2a,

|BF21=|AB\-\AF2h5/-(l2t-2a)=2a-7f,

由双曲线的定义可得|班|=|BF2\+2a=4a-lt,

2

在直角MB"中，可得|此卜yl\AB^+\AFt|=13f=4a-,

即/=L,

在直角中，可得|4耳F+MgfwE笈F，

即为(£“)2+(|a)2=4c2,即0=§“，

可得e，=昱.

a5

故”

5

14.已知向量I=(2,3),b=(-l,w),且值与之+B垂直，贝1］加=.

H

~T

向量"=(2,3),b=(一1，加),

/.a+h=(1,3+加)，

，•2与2+B垂直,2+3(3+加)=0,解得加=-g.

,,11

故一一.

3

15.在&48c中，内角N,B,C的对边分别为a,b,c,已知8=工，a=2,b=B则A48c的

3

面积为.

x/3

V

14+02—3

由余弦定理可得，-=,

24c

解可得，c=l,

所以A/48C的面积S=—acsin5=—x2x1x—=—.

2222

故立

2

2x+3@

16.将满足卜20的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为一.

y^-1

8

2x+y-3W0

将满足卜的封闭图形绕》轴旋转一周所得的几何体

*-1

是圆锥,

圆锥的底面半径为：2,高为4,

几何体的主视图图是等腰三角形,

面积为：-x4x4-8.

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分.

17.已知数列也,｝的前〃项和为，4=1,幺+&•+…也+&=〃5》2),neN\

12n—1n

(1)求数列｛/｝的通项公式；

(2)若q,ak,S*+2成等比数列,keN",—+—++――的值.

5,52

72

(1)<?„=«；(2)

37

解:(1)数列｛a„｝的前n项和为S,,,q=1,%+幺+…也+%=〃(磅2),①,

12n-1n

当〃22时，&+a+…也=("-1),②,

1277-1

①-②得：%=1,

n

所以(首项符合通项),

故an=n・

(2)由于《,=“，所以，=巴p,

…6+2)("3)

故1+2_2，

由于卬，%，S〃+2成等比数列，

(左+2)("3)

所以公=

2

解得％=6或-1（负值舍去）,

£='^=2(；*)，

1+±+……+-L=2X(1-1+1-1+...+±-±)=2X(1-±)=^

¥S2Sk2S}S2S3622336373737

18.某工厂的工人生产内径为25.40〃〃〃的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中

抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：〃向）:

25.41x825.42x625.40x425.38x11

25.39x825.44x125.43x725.37x5

这里用.XX”表示有〃件尺寸为x/nm的零件.

(1)求这50件零件内径尺寸的平均数五；

(2)设这50件零件内径尺寸的方差为s',试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在叵-s,亍+s)内

的件数.

参考数据：取"记=2.04.

(1)25.40；(2)740.

(1)计算这50个零件内径尺寸的平均数为：

x=^x(25.41x8+25.42x6+25.40x4+25.38x11+25.39x8+25.44x1+25.43x7+25.37x5)=25.40;

(2)计算这50件零件内径尺寸的方差为：

222222

?=—x[0.012X8+0.02X6+02X4+(-0.02)xll+(-0.01)x8+0.04x1+0.03x7+(-0.03)x5]

所以s=—x2.04=0.0204,

100

所以叵-s,x+s)=(25.3796,25.4204),

计算这50个零件内径尺寸在（亍-s,亍+s）内的件数是8+6+4+11+8=37,

估计该厂1000件零件中其内径尺寸在叵-s,三+s）内的件数为1000*347=740.

19.如图，在正三棱柱力8c-48G中，AC=2AAX=4,E,尸分别是8C,4片的中点.

（I）求证：EF//平面4CG4；

(II)求二面角Z-EF-C的余弦值.

(I)证明见解答;

(I)证明：如图,取4G的中点G,连接EG,FG,

因为E,尸分别是8C,4用的中点,

所以EG//CG，FG/1A©、,

又EGp|FG=G,C*4G=G，

所以平面EFG//平面ACCX4,

又EFu平面EFG,

所以EF//平面4CG4.

(II)由题意，以N为原点，垂直与XE的直线为x轴，NE为y轴，44为z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，

则4(0,0,0),£(0,2也,0),F(1,G，2),C(-2,26,0),

所以荏=(0,26，0),而=(1,-百，2),CE=(2,0,0),

设平面/E尸的一个法向量为而=(占，%，21),

则口e=2岛=0,取k2,则加=(2,0,7),

in-EF=&-6凹+2z,=0

设平面CE尸的一个法向量为万=(%,y2,z2),

m-CE=2x=O,取为=2,则万=(0,2,6)，

则2

ifi-EF=x2-6y2+2Z2=0

_inn-_J105

所以cos<m〃>=\in\\n\=45xyfl=~^5~

由图象可得二面角/-EF-C的平面角为锐角,

20.设O为坐标原点，抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为尸，点M(a,4)在C上，|A/F|=4.

(1)求C的方程；

(2)过点厂的直线/与C交于/,B两点,若/与圆，:(x-l)2+V=_l相切，求A4O8的面积.

(1)/=8x；(2)16.

(1)抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为F§,0),准线方程为x=-5,

点"(",4)在C上，|披|=4,可得。+事=4,2pa=16,

解得p=4,则C的方程为/=8x；

(2)由(1)可得尸(2,0),设直线/的方程为y=%(x-2),

圆，:(x-l>+y2=；的圆心，(i,o),半径为:，

/与圆“：(工-1)2+/」相切，可得匕

47TTF2

解得4=±止，

3

则直线/的方程为y=土与(x-2),

联立抛物线方程/=8x；可得--28X+4=0,

设4(玉，必)，B(X2,y2)9则再+/=28,

可得|/8|=芭+%+4=28+4=32,

又。到直线月8的距离为1==^==1,

FI

则A48。的面积为』x1x32=16.

2

a—1

21.已知函数/(x)=a/〃x+----x,其中a20.

x

(1)讨论函数/(X)的极值；

(2)设加eZ,当。=1时，若不等式/(x)<m-(x-2)e”对任意xw(O,1]恒成立，求机最小值.

(1)当时，/(x)的极小值为/(1)=a-2,无极大值，当1<。<2时，“X)的极小值为

f(a-\)=aln(a-\)+2-a,极大值为/(1)=a-2；(2)-3.

(1)〃x)的定义域为(0,”)，

....a,a-\x1-ax+a-\(x-l)[x-(a-l)]

/5)=——[----=--------3---=------;---->

xxxx

①当a-KO,即时,当xe(l,+oo)时，f\x)>0,则函数f(x)在(l,+oo)上单调递增,

当xe(0,l)时，/'(x)<0,则函数/(x)在(0,1)上单调递减,/(X)有极小值为/(1)=a-2,无极大

值；

②当即l<a<2时，当xw(O,"l),(l,+oo)时，f\x)<0,则函数/(x)在(0,a-1),

(1,+8)上单调递减，

当xw(a-l,l)时,f'(x)>0,则函数f(x)在(a-1,1)上单调递增,

则“X)的极小值为f(a-l)=a加(°一1)+2-。,极大值为/(1)=a-2.

综上所述：当“W1H寸，〃x)的极小值为/(1)=。-2,无极大值，

当1<。<2时，/(万)的极小值为/(。-1)=。/〃(。-1)+2-。，极大值为/(1)=。-2；

(2)当a=l时，/(x)=Inx-x,

由f(x)<m-(x-2)ex,可得”?>-x+(x-2)e*,

设6(x)=-x+(x-2)e*,(0,1),则〃(x)=(x-l)(e*-！)，

x

当0<x^A时，x-K。，

设w(x)=e、—'，贝1］"'(幻=d+4，

XX

.•.〃(x)在(0,1］上单调递增，

又〃(1)=e-1>0,〃(；)=&-2<0,

・•・存在不£(［,1］,使得〃(与)=0,

2%

lnxQ=-x0,

当工£(0,无)时，M(X)<0,h\x)>0,

当xw(%o,1］时，«(%)>0,，

函数力(x)在(0,%)上单调递增，在(％,1］上单调递减，

12

得h{x}niax-(x0-2)-e"+lnxQ-x0=(x0-2)----2x0=1-(一+2%)，

X。%

•・•函数歹=1-(42+2幻在区间(1，1)上单调递增，

x2

h(x0)e(-4,-3),

又加〉〃(五)对任意的X£(0,1］恒成立，wGZ,

，加2-3,

故用的最小值为是-3.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.［选

修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.以直角坐标坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长

度单位，已知曲线G的极坐标方程为夕=4cos，，曲线G的参数方程为F='"+'c°saa为参数

=/sina

TTTT

04<1)，射线6=9，O=(p+—,0=(p---分别与曲线G交于极点O外的三点Z,B,C.

44

(1)求l°B|+|OC|的值;

Q