微分差分方程稳定性方法建模

微分差分方程稳定性方法建模第一页，共七十七页，编辑于2023年，星期二微分、差分方程稳定性理论微分和差分方程的稳定理论，是研究方程的解在自变量t→+时的发展趋势。反映在实际问题中，就是已知事物的现在状态，希望了解其最终的发展趋势。比如说准备修建拦河大坝，会对下游的河床及周围的生态系统产生怎样的影响？建立稳定性模型可以对各种可能的最终结果进行预测。第二页，共七十七页，编辑于2023年，星期二微分、差分方程稳定性理论简介常微分方程稳定性理论差分方程稳定性理论第三页，共七十七页，编辑于2023年，星期二一、常微分方程稳定性理论1、一阶微分方程方程右端不显含t第四页，共七十七页，编辑于2023年，星期二一阶微分方程通常判断平衡点稳定性有两种方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程为线性，即f(x)=ax+b，则a<0稳定，

a>0不稳定；2、若方程为非线性，即x`(t)=f(x)，考虑f`(x0)。

f`(x0)<0稳定，f`(x0)>0不稳定。第五页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2、二阶微分方程所以讨论二阶微分方程的稳定性往往就归结为对二维一阶方程组的讨论第六页，共七十七页，编辑于2023年，星期二二阶微分方程求方程组的平衡点，即求解下面设法给出P0稳定的判断准则。第七页，共七十七页，编辑于2023年，星期二二阶微分方程首先将方程组线性化：其系数矩阵为：第八页，共七十七页，编辑于2023年，星期二二阶微分方程二阶微分方程的稳定性由p

和q

的正负决定。p>0且q>0时平衡点P0稳定；p<0或q<0时平衡点P0不稳定.第九页，共七十七页，编辑于2023年，星期二3、一阶线性差分方程第十页，共七十七页，编辑于2023年，星期二4、二阶线性差分方程第十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期二5、一阶非线性差分方程第十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期二微分方程稳定性模型可再生资源管理生态系统建模差分形式的阻滞增长模型经济发展的蛛网模型军备竞赛模型第十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期二一、可再生资源管理模型可再生资源：与无限资源和有限资源相对而言。无限资源指阳光、空气等；有限资源指煤、铁等矿物和石油等。可再生资源指木材、粮食、蔬菜、肉类等，虽然有限，但可以再生。建模目的：研究如何管理可再生资源才能使人类最终有尽可能多的收获。第十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期二1、问题背景

渔场的矛盾渔场如果很少捕捞，那么经济效益会减少；如果捕捞太频繁或者太多，又会导致鱼群总数大量减少，影响渔场今后的产量。问题分析只有在“捕捞量=鱼的增长量”时，渔场的鱼量才能保持稳定。设法给出渔场鱼量变化规律，分析鱼量稳定的条件，并据此讨论：如何制订捕捞策略才能使渔场的效益实现最大化？第十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2、渔业资源开发模型记x(t)为t时刻渔场中的鱼量。在没有捕捞的情况下，鱼量的增长可以视为有限环境中生物种群的增长，即可以用Logistic模型来描述：第十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2.1假设（1）在无捕捞条件下，鱼的自然增长量服从上面的Logistic规律；（2）在有捕捞情况下，需要在Logistic模型中减去一个h(x,t)，即单位时间的捕捞量。捕捞量函数反映的就是捕捞策略。通常的捕捞策略有两种：一是固定限额捕捞，即h(x,t)是一个常数；二是固定努力量捕捞，即取函数h(x,t)=Ex，E为常数，表现的是捕捞努力程度。第十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2.2构造模型（Scheafer模型）对于这个模型，我们希望能分析出渔场应该使鱼量保持在怎样的一个水平上，以及怎样才能保持鱼量的稳定，即给出t→+时，x(t)的变化趋势。根据假设（2），建立模型：第十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2.3平衡点与稳定性分析令F(x)=rx(1-x/N)–Ex=0（求平衡点）得到两个解：

x0=N(1-E/r)，x1=0两个平衡点的稳定性及稳定条件：考虑F`(x)=r-E-2rx/N：F`(x0)=E-r，F`(x1)=r-E。由此可知：若E<r，则F`(x0)<0而F`(x1)>0，x0稳定而x1不稳定；若E>r，则F`(x0)>0而F`(x1)<0，x0不稳定而x1稳定。第十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2.4捕捞策略有了捕捞原则E<r，如何使每年的捕捞量Ex都能达到最高？设法给出明确的捕捞策略，即确定每年的最佳捕捞量。分别记f(x)=rx(1-x/N)，h(x)=Ex。直线族与抛物线的交点都是稳定平衡点。y=E1xy=E0xy=rxOyxNx1N/2第二十页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2.5结论将捕捞能力控制在鱼群自然增长率的一半左右，即Er/2，或者单位时间内只捕捞总鱼量的一半，都能保证渔场长期产量的最大化。根据这里的分析结果，我们可以调整捕捞努力量，实现长期的产量最大化。可是产量最大化是渔场的目标吗？渔场的真正目标是实现效益的最大化。这时需要对模型进行调整。第二十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期二3、最大经济效益模型综合考虑渔场捕捞成本和捕捞量及鱼的市场价格，给出投入、产出之间的最优结合点。第二十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期二3.1假设（1）收获的单位鱼量价格为p（固定）；（2）渔场捕捞成本与捕捞能力投入成正比，单位捕捞能力投入的费用为C。根据假设，渔场收入=p•h(x)，成本=C•E，从而渔场的经济效益=pEx–CE=(px–C)E=R。现在的问题：求E，使渔场的经济效益最高。第二十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期二3.2模型分析产量稳定下来后，渔场的收益R=pExR-CE=pEN(1-E/r)-CE令R’(E)=0，即R’(E)=pN-C-2pNE/r=0E=[1-C/(pN)]•r/2，xR=N(1-E/r)=N/2+C/2p，h(xR)=ExR=[1-C2/(p2N2)]rN/4。E=r/2，x0=N/2h(x0)=rN/4第二十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期二3.3结论在最大经济效益原则下，渔场的捕捞能力投入E和长期产量h(x)都应该比最大产量模型稍低。同时，渔场鱼的保有总量略有增加。也就是说，有的时候，产量最大并不能保证收益最大，这在企业的经营当中是非常常见的现象。第二十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期二4.盲目捕捞模型假设经营者根本不顾长远利益，看到有利润就投入经营，没有利润就放弃经营，这样会对渔场产生什么样的影响？这时经营者的决策完全是由利润决定的，只要有利润就捕捞，不考虑全局。考虑R(E)=pEN(1-E/r)-CE：令R(E)=0，得到Es=r(1-C/pN)。当E<Es时，R(E)>0，即有利可图，盲目经营者会继续增加捕捞能力，直到E>Es，使R(E)<0，即亏损经营。出现亏损，经营者又降低E……第二十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期二盲目捕捞模型分析Es=r(1-C/pN)是盲目捕捞情况下的临界状态，高于这个临界值则出现亏损，低于临界值则赢利。Es存在的条件：C<pN，即p>C/N，相对于鱼的总量，鱼的价格必须大于成本才能保证临界点的存在。在没有科学经营策略的前提下，渔场应该始终把捕捞能力控制在Es以下。在盲目捕捞情况下，渔场的稳定鱼量应该为：xs=C/p（将Es代入x0的表达式得到）第二十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期二盲目捕捞模型的结论在盲目捕捞情况下，渔场的稳定鱼量为：xs=C/p注意：这个稳定鱼量由两个因素决定，一是捕捞成本，二是鱼的价格。这是一个典型的市场经济结果，捕捞量(市场供应量)、捕捞努力量、渔场最终稳定的保有量等等，完全由市场的价格杠杆决定。完全自由的市场经济并不可取，现代经济应该是一种结合了宏观调控的市场经济。第二十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期二二、两个生物种群的竞争模型考虑两个生物种群竞争同一种有限资源的问题。在自然条件下，适应环境能力弱的种群将趋于灭亡，适应能力强的种群将增长到环境允许的最大数量。种群竞争模型现在已经被广泛地应用到描述企业、国家等社会实体之间的竞争研究中。下面通过建立模型来解释这种现象，并分析出现各种结局的条件。第二十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期二1.模型的建立设同一环境中有甲、乙两个种群，x1(t)、x2(t)分别记t时刻甲、乙种群的数量；r1、r2为各自固有的增长率，N1、N2为各自环境最大容量。据此建立下面的模型：x1’(t)=r1x1(1-x1/N1

-1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)其中1，2是非常关键的指标，反映一个种群对另一种群的竞争能力。第三十页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2.稳定性分析（竞争的结局）2.1求平衡点令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四个平衡点：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，第三十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期二pq稳定条件P1r1-r2(1-2)-r1r2(1-2)P2-r1(1-1)+r2-r1r2(1-1)P3-(r1+r2)r1r2P4[r1(1-1)+r2(1-2)](1-12)-1r1r2(1-1)(1-2)(1-12)-12<1(1<1)1>1(2<1)不稳定1<12<1p>0而且q>0第三十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期二2.2平衡点的稳定性根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性条件。下面对1和2分情况讨论平衡点的稳定性条件。考虑转到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿着t增加所表现出的趋势。x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)可知，在任意时刻，x1(t)和x2(t)是增是减由

=1-x1/N1-1x2/N2

和=1-2x1/N1-x2/N2

决定。第三十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期二1、1<1，2>1S1S2S3ON1/2N1x1x2N2/1N2=0=0这时=0和=0将相平面分为三个区域：S1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.t增加时，所有解都将趋于P1，所以P1是稳定的。第三十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期二ON1x1x2N22、1>1，2<1，P2稳定3、1<1，2<1，P3稳定ON1N1/2x1P3N2N2/1x2第三十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期二ON1/2N2x1P3x2N2N2/14、1>1，2>1，方程的解不存在统一的发展趋势。第三十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期二二(2)生物互惠共生模型甲乙两种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。第三十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期二第一种情形模型假设甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物是甲消耗的1

倍甲为乙提供食物是乙消耗的2

倍第三十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期二平衡点稳定性分析平衡点有三个：P1(N1,0),P3(0,0)第三十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期二种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定平衡点第四十页，共七十七页，编辑于2023年，星期二0

1<1,2>1,12<1

P2稳定第四十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期二模型结果分析12<1~2>1

前提下P2存在的必要条件2>1~甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的2

倍1<1~2>1,12<1

的需要，且1必须足够小，才能在2>1条件下使12<1

成立

P2稳定条件：1<1,2>1,12<1甲可以独自生存乙不能独立生存第四十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期二二(3)食饵-捕食者模型种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。

模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？第四十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期二食饵（甲）数量x(t),捕食者（乙）数量y(t)甲独立生存的增长率r乙使甲的增长率减小，减小量与

y成正比乙独立生存的死亡率d甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力第四十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期二Volterra模型的平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析P点稳定性不能用近似线性方程分析

p=0,q>0P:临界状态

q<0P´不稳定第四十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期二tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解x~y平面上的相轨线第四十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期二计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t),y(t)的周期约为9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用数值积分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)的平均值约为10。第四十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期二平衡点稳定性分析消去dt用相轨线分析点稳定性c由初始条件确定取指数第四十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期二x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析点稳定性相轨线时无相轨线以下设第四十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期二稳定性分析Py0

x0x2x1取定x[x1,x2],xy2y1第五十页，共七十七页，编辑于2023年，星期二模型结果分析Py0

x0对应于每一个c，都有一条闭轨线T3T2T4T1第五十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期二模型解释r~食饵增长率d~捕食者死亡率b~食饵供养捕食者能力捕食者数量食饵数量a~捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比,与a成反比食饵数量与d成正比,与b成反比Pr/ad/b第五十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期二模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞战时捕捞rr-2,dd+2,2<1•••xy食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加自然环境还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。第五十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期二食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型改写多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点加Logistic项有稳定平衡点第五十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期二三、差分形式的阻滞增长模型连续型的阻滞增长模型应用非常广泛，其平衡点为0，N，其中N是稳定的。而且平衡点的稳定性与参数r的选取无关。可以用于描述：人口或其他生物在有限资源环境中的生长；传染病在一个封闭区域的传播规律；耐用消费品在有限市场上的销售。第五十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期二差分形式阻滞增长模型的实用背景在现实问题研究中，采用差分形式更便于进行数值计算和计算机仿真；同时有些生物的繁殖不是时间连续的，而是按照固定的周期进行。而且这是大量野生哺乳动物的生活习性。所以研究离散(差分)形式的阻滞增长模型是非常有实际意义的。第五十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期二差分形式阻滞增长模型将下面的连续型阻滞增长模型离散化得到第五十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期二差分形式阻滞增长模型这是一个一阶非线性差分方程，只要给出初始值x0，可得任何时刻k的xk。第五十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期二差分形式阻滞增长模型下面准备讨论的是k时，xk以及yk的发展趋势问题，即差分方程平衡点的稳定性。1、求解平衡点解方程x=bx(1-x),得到x*=1–1/b，x0=0(对应的y*=N，y0=0)第五十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期二差分形式阻滞增长模型2、稳定性按照差分方程稳定性理论，这里f(x)=bx(1-x)

f`(x)=b

(1-2x)x*=1–1/b，x0=0

f`(x*

)=2-b

f`(x0

)=b>0下面重点考虑非零平衡点x*

的稳定条件。根据稳定性理论，|2–b|<1，即1<b<3时x*

是稳定平衡点。也就是说，0<r<2时，y*

=N是稳定平衡点。这与连续型模型中，r

取任何值N都是稳定不同第六十页，共七十七页，编辑于2023年，星期二1<b<3时x*

是稳定的，即xkx*.

在x-y平面上分别做y=bx(1-x)和

y=x

的图形O1<b<22<b<3O1/21xy1/2第六十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期二差分形式阻滞增长模型图形分析表明：当1<b<2时，x*

<1/2，xkx*的过程是单调的.

当2<b<3时，x*

>1/2，xkx*的过程呈现交替.

当b>3时，虽然x*存在，但不稳定。第六十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期二差分形式阻滞增长模型另外，用计算机计算发现，当3<b<3.449时，虽然{xk}不收敛，{xk}有两个收敛子列：{x2k}和{x2k+1}它们各自都有自己的收敛点：

x2k+1

x*1,x2kx*2如果说1<b<3时，差分方程的解是单周期收敛的话，那么3<b<3.449时差分方程是双周期收敛的。这在实际问题中也有一定的实用背景。第六十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期二四、市场经济中的蛛网模型在自由竟争的市场经济中，从生产者、消费者两方面来讨论商品生产随价格变化的规律，即讨论生产数量与产品价格之间的关系。第六十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期二市场经济中的蛛网模型市场经济中的一个典型现象：供大于求价格下跌生产者减产供不应求价格上升生产者增产这样的震荡有两种发展趋势：振幅越来越大导致经济崩溃；振幅趋于平稳。推出新品第六十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期二下面设法建立模型来描述这个震荡过程，以及影响其发展趋势的因素。一、图形法建模记x为生产数量，y为产品单价。从消费者的角度出发，价格是数量的减函数：

y=f(x)——需求函数，反映消费者对商品的需求。从生产者的角度出发，数量是价格的增函数：

x=g(y)——供应函数，与生产者的生产能力、经营水平有关。第六十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期二蛛网模型时间是连续变化的，但有些商品是有季节性的，比如一些农产品、牲畜等商品。下面我们可以将时间按照商品的生产周期离散化处理。k=1,2,…