圆的基本性质复习

九年级·数学

《圆的基本性质》

中考数学第一轮复习圆的基本性质柯桥区实验中学蒋园园2023/6/173OACB●●●确定圆的条件画一画圆的旋转不变性圆的轴对称性垂径定理及推论FEOABCDPQ同圆或等圆圆心角、圆周角定理理一理定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推论1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦原题呈现：一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠C=45°，求这个人工湖的直径.

（浙教版九年级上册教材第93页练习题）

连半径构造等腰三角形模型一：45°

作弦心距构造双半Rt△

添直径构造直径Rt△

模型二：模型三：90°E45°D45°100变式1：如图，已知桥AB长100m，测得劣弧AB上一点到弦AB的最远距离为10m，则人工湖圆心O到桥AB的距离为

⌒“方程思想”DC

.5010xx+10X2+502=(X+10)2做一做120注：半径、半弦、弦心距、弓高四者可知二推其二解得：X=120变式3：如图2,原题中，若⊙O的另一条弦BD=5cm，则∠DBC的度数为

.120°120°或60°

“分类思想”变式2：如图1，已知⊙O的半径为5cm，弦BC=cm.则BC的度数为

;弦BC所对的圆周角为

.⌒CBO图1CBO图230°或90°做一做D1D2120°120°60°DDCBO60°120°30°60°∠DBC=60°+30°=90°∠DBC=60°-30°=30°变式4：如图3,已知⊙O的两条弦AD=BC,且相交于点E,求证：AE=CE.CBO图3ADE做一做解法一：解法二：解法三：AD=BCAD=BC⌒⌒AB=DC⌒⌒∠EAC=∠ACEAE=EC12AE=EC△AEB≌△CED∠1=∠2∠AEB=∠DECAB=DCFHAD=BCOF=OH∠OFE=∠OHE=900OF=OHOE=OEFE=EH+AF=CHAE=EC△OFE≌△OHE

“转化思想”链接中考（2019·杭州）如图已知锐角三角形ABC内接于圆O,OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC=60°，①求证：

②当OA=1时，求△ABC面积的最大值（2）点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2=0．CBOAD60°60°FA1（F）（1）①证明：连接OB、OC∵∠BAC=60°∴∠BOD∠BOC=60°，∴∠BOC=120°∵OD⊥BC∴∠OBC=30°②∵OA=OB=1∴作AF⊥BC∴当A,O,F在同一直线的时候，AF最大，解法展示解法展示链接中考（2）如图2，连接OC，

设：∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，则∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣mx﹣nx∵∠DOC=180°﹣mx﹣nx∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°﹣mx﹣nx+2mx=180°+mx﹣nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx=180°﹣2x，化简得：m﹣n+2=0．（2）点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2=0．xxmxnx2mx1800-mx-nxA11800-mx-nx圆的基本性质解决问题知识：

思想：