高一（下）期末数学试卷及答案

第1页（共1页）高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，集合B＝{x||x|≤2}，则（）A．集合B共有32个子集 B．∁∪A＝{x|﹣1＜x＜3} C．A∩B＝{x|﹣2＜x＜1} D．A∪B＝{x|x≤2或x＞3}2．（4分）若复数z满足（1+2i）z＝3+4i，则z的虚部为（）A．25i B．−25i C．23．（4分）下列命题错误的是（）A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角4．（4分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长都为2的直平行六面体，且∠DAB＝60°，则这个直平行六面体的表面积为（）A．16 B．4+23 C．16+23 5．（4分）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列四个命题正确的有（）①α∥β，a⊂α⇒a∥β；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③a⊥b，a⊥α⇒b∥α；④a⊥α，α∥β，b∥β⇒a⊥b．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（4分）已知a，b是两条直线，α是一个平面，且a∥α，那么“a⊥b”是“b⊥α”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分）设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|＝2，z2＝3i，则Z1、Z2两点之间距离的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．78．（4分）如图，ABC﹣A1B1C1是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（）A．63 B．332 C．69．（4分）如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为△ABC），图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上，如果要沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（）A．22 B．2 C．3 D．10．（4分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为（）A．62 B．2 C．233二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为．12．（5分）已知一个棱长为1的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为，体积为．13．（5分）已知正实数a，b满足(12)a＞(14．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上中点，AB＝1，BC＝2，则BD→⋅BC15．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段A1E的中点．给出下列四个结论：①三棱为A﹣A1BE体积的最大值为12②AB1⊥A1E；③三角形ADF的面积不变；④四棱锥F﹣ABB1A1是正四棱锥．其中，所有正确结论的序号为．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（14分）已知△ABC中，b=3，c=2，（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）求△ABC的面积．17．（15分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是A1D，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面A1BD∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：EF∥平面DCC1D1；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDA1的体积．18．（16分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+cos2x﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间和图像的对称中心；（Ⅱ）当x∈[−5π24，5π24]时，求f（Ⅲ）求不等式f（x）≥1的解集．19．（14分）已知△ABC中，a＝bcosC+3csinB（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若b＝3，c＝2，求a．20．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知底面ABCD是一个菱形，AC∩BD＝O，且SA＝SC，SB＝SD，平面SAB∩平面SCD＝l．（Ⅰ）求证：AB∥l；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面ABCD；（Ⅲ）求证：BD⊥SC．21．（12分）已知数集A＝{a1，a2，a3…，an}（1＝a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得ak＝ai+aj成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，2，3，5}与{1，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：an≤2an﹣1．

高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，集合B＝{x||x|≤2}，则（）A．集合B共有32个子集 B．∁∪A＝{x|﹣1＜x＜3} C．A∩B＝{x|﹣2＜x＜1} D．A∪B＝{x|x≤2或x＞3}【解答】解：集合A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，集合B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，对于A，集合B中有无数个元素，∴集合B的子集个数大于32，故A错误；对于B，∁UA＝{x|﹣1≤x≤3}，故B错误；对于C，A∩B＝{x|﹣2≤x＜﹣1}，故C错误；对于D，A∪B＝{x|x≤2或x＞3}，故D正确．故选：D．2．（4分）若复数z满足（1+2i）z＝3+4i，则z的虚部为（）A．25i B．−25i C．2【解答】解：∵（1+2i）z＝3+4i，∴z=3+4i∴z的虚部为−2故选：D．3．（4分）下列命题错误的是（）A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角【解答】解：对于A，若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故正确，对于B，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与这个平面平行，也可能包含于这个平面，故错误，对于C，如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故正确，对于D，一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角，故正确，故选：B．4．（4分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长都为2的直平行六面体，且∠DAB＝60°，则这个直平行六面体的表面积为（）A．16 B．4+23 C．16+23 【解答】解：底面ABCD是如图所示的菱形，由已知可得BD=2，AC=23因此该底面的面积为12又因为每个侧面的面积为4，所以表面积43故选：D．5．（4分）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列四个命题正确的有（）①α∥β，a⊂α⇒a∥β；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③a⊥b，a⊥α⇒b∥α；④a⊥α，α∥β，b∥β⇒a⊥b．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对①，∵α∥β，a⊂α，∴a∥β，∴①正确；对②，∵α∥β，m⊂α，n⊂β，∴m∥n或m与n异面，∴②错误；对③，∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b⊂α，∴③错误；对④，∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又b∥β，∴a⊥b，∴④正确．故选：B．6．（4分）已知a，b是两条直线，α是一个平面，且a∥α，那么“a⊥b”是“b⊥α”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a，b是两条直线，α是一个平面，且a∥α，如果a⊥b，可推得b∥α或b⊂α、b⊥α；如果b⊥α，由线面平行的性质定理可得过a的平面与α的交线与a平行，可推得a⊥b，所以“a⊥b”是“b⊥α”的必要不充分条件．故选：B．7．（4分）设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|＝2，z2＝3i，则Z1、Z2两点之间距离的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），∵|z1|＝2，∴a2+b2＝4，∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2＝3i，∴Z1（a，b），Z2（0，3），∴|Z1Z2|=(a−0故当b＝﹣2时，|Z1Z2|取得最大值13+12=故选：C．8．（4分）如图，ABC﹣A1B1C1是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（）A．63 B．332 C．6【解答】解：取△ABC重心O，连接AO，过A1作A1G⊥AO于G，在Rt△A1AG中，AA1＝3，AG=2∴棱台的高为A1G=A故选：C．9．（4分）如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为△ABC），图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上，如果要沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（）A．22 B．2 C．3 D．【解答】解：∵S△ADE=12S△ABC，∴解得：AD•AE＝8．在△ADE中用余弦定理得到：cosA=A整理得到：AD2+AE2＝8+DE2≥2AD2⋅AE2=16，即DE2故DE的最小值为22．故选：A．10．（4分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为（）A．62 B．2 C．233【解答】解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，0），B（0，0，0），C1（2，0，2），B1（0，0，2），设P（a，b，c），AP→=λAB1→，0≤λ≤1，∴（a，b﹣2，解得a＝0，b＝2﹣2λ，c＝2λ，∴P（0，2﹣2λ，2λ），BP→=（0，2﹣2λ，2λ），∴BP→在BC1→方向上的投影为P到直线BC1的距离d=|当λ=23时，动点P到直线BC1的距离的最小值为故选：C．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【解答】解：解x2﹣2x﹣3＞0得，x＜﹣1，或x＞3；∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．12．（5分）已知一个棱长为1的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为3π，体积为32π【解答】解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r=3∴球的表面积是4×π×（32）2＝3π体积为：43πr3=3故答案为：3π，32π13．（5分）已知正实数a，b满足(12)a＞(【解答】解：∵正实数a，b满足(12)a＞(1∴0＜a＜b，则lga＜lgb，故答案为：＜．14．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上中点，AB＝1，BC＝2，则BD→⋅BC【解答】解：因为D是AC边上中点，所以BD→=1所以BD→⋅BC→=12（BA→+BC→）•BC→在△ABC中，∠ABC∈（0，π），所以cos∠ABC∈（﹣1，1），所以BD→⋅BC→=因此BD→故答案为：（1，3）．15．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段A1E的中点．给出下列四个结论：①三棱为A﹣A1BE体积的最大值为12②AB1⊥A1E；③三角形ADF的面积不变；④四棱锥F﹣ABB1A1是正四棱锥．其中，所有正确结论的序号为②③④．【解答】解：如图所示，设正方体前、后侧面的中心点分别为H、G，连接HG，设A1E∩HG＝O，∵E为棱BC上的动点，F为线段A1E的中点，∴F点即为A1E与HG的交点，即动点F在线段HO上且不与H重合，对①，易知A到平面A1BE的距离为AH=2又△A1BE的面积最大为△A1BC的面积，而△A1BC的面积为12∴三棱为A﹣A1BE体积的最大值为13故①错误；对②，易知AB1⊥平面A1BC，又A1E⊂平面A1BC，∴AB1⊥A1E，故②正确；对③，∵动点F在线段HO上且不与H重合，又HO∥BC，BC∥AD，∴HO∥AD，∴线段HO上的动点F到直线AD的距离不变，∴三角形ADF的面积不变，故③正确；对④，易知GH⊥平面ABB1A1，即OH⊥平面ABB1A1，又动点F在线段HO上且不与H重合，∴F在正方形ABB1A1内的射影点为正方形的中心点H，∴四棱锥F﹣ABB1A1是正四棱锥，故④正确．故答案为②③④．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（14分）已知△ABC中，b=3，c=2，（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为b=3，c=2，所以由正弦定理bsinB=csinC，可得3因为c＜b，可得C为锐角，所以C＝45°；（Ⅱ）因为B＝60°，C＝45°，所以sinA＝sin（180°﹣B﹣C）＝sin（B+C）＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=6所以△ABC的面积S=12bcsinA17．（15分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是A1D，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面A1BD∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：EF∥平面DCC1D1；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDA1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1∥AD且A1D1＝AD，AD∥BC且AD＝BC，所以A1D1∥BC且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C，又A1B⊄平面CB1D1，D1C⊂平面CB1D1，所以A1B∥平面CB1D1，又D1D∥B1B且D1D＝B1B，所以四边形D1DBB1为平行四边形，所以BD∥B1D1，又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，又A1B∩BD＝B，所以平面A1BD∥平面CB1D1；（Ⅱ）证明：因为E，F分别是A1D，BD的中点，所以EF∥A1B，由（Ⅰ）可知，A1B∥D1C，所以EF∥D1C，又EF⊄平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，所以EF∥平面DCC1D1；（Ⅲ）解：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，所以三棱锥A﹣BDA1的体积VA−BDA1=VA1−ABD=13×18．（16分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+cos2x﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间和图像的对称中心；（Ⅱ）当x∈[−5π24，5π24]时，求f（Ⅲ）求不等式f（x）≥1的解集．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得f（x）＝sin2x+cos2x=2sin（2x+令2x+π4∈[2kπ−π2，2kπ+π2]，k∈Z，解得x所以函数的单调递增区间为[kπ−3π8，kπ+π8令2x+π4=kπ，解得所以函数的对称中心为（kπ2−π8，0（Ⅱ）当x∈[−5π24，5π24]时，2x+π则sin（2x+π4）∈[−12，1]，所以f（Ⅲ）令2sin(2x+π4)≥1，即sin（2x则2kπ+π4≤2x+π4解得x∈[kπ，kπ+π4]，k∈所以不等式的解集为[kπ，kπ+π4]，k∈19．（14分）已知△ABC中，a＝bcosC+3csinB（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若b＝3，c＝2，求a．【解答】解：（Ⅰ）因为a＝bcosC+3csinB所以由正弦定理可得sinA＝sinBcosC+3sinCsinB又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以cosBsinC=3sinCsinB因为sinC≠0，所以cosB=3sinB，即tanB=因为B∈（0，π），所以B=π（Ⅱ）因为b＝3，c＝2，B=π所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得9＝a2+4﹣23a，即a2﹣23a﹣5＝0，解得a=3+22，或20．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知底面ABCD是一个菱形，AC∩BD＝O，且SA＝S