第三章状态空间分析法

第三章状态空间分析法第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四三、状态和状态变量状态——动力学系统的状态是表征系统运动的信息。只要知道t0的状态和t≥t0的输入，就能完全确定t≥t0的行为。状态变量——是确定系统状态的最小一组变量。eg：x1(t),x2(t),……,xn(t)是一组状态变量。

*状态变量并不一定是物理上可测或可观察的量。但为最佳控制规律需要把所有这些状态变量反馈，故最好为测量。状态向量——将几个状态变量看作是向量Z(t)的各个分量，Z(t)就叫做状态变量。第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四状态空间——由x1轴，x2轴,……，xn轴所组成的n维空间叫做状态空间，任意状态则为其中一个点。例：第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四§3-2系统状态空间的表达式线性微分方程作用函数中不含有导数项的n阶系统的状态空间表达式：y(n)+a1y(n-1)+……+an-1ý+any=u由数学知识知，若y(0),ý(0),……,y(n-1)(0)和t≥0时u(t)则系统未来的行为就可知。设：则微分方程可表示为：第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四或者：第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四输出方程为：

或者：Y=CZ

第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四例：设系统方程为求状态空间表达式。解：设状态变量为：y----输出；u----输入。故有-11-66-6第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四所以标准形式：•状态变量的非唯一性：假设x,x,…x是一组状态变量，则可取任一组函数。作为另一组状态变量，若对每一组，值都对应于唯一的一组的值，反之也成立。则：也是一个状态变量。P是非奇异的。第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四阶矩阵A的特征值：即：|λI-A|=0的根。设：特征方程：∴矩阵A的特征值为-1，-2，-3。第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四例：上例中：假设一组新变量Z1，Z2，Z3作如下变换第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四特征值的不变性：证明：|λI-P-1AP|=|λP-1P-P-1AP|=|P-1(λI-A)P|=|P-1|·|λI-A|·|P|=|P-1|·|P|·|λI-A|=|P-1P|·|λI-A|=|λI-A|第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四若将n×n阶矩阵化成对角线矩阵：具有互不相同的特征值。式中：为A的n个特征值。第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四若A含有多重特征值，则A不能化为对角矩阵，而只能化为约当标准型矩阵。比如：例：解：第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四因此：令：3-33-1-6-2第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四•具有r个作用函数的线性微分方程描述的n阶系统的

状态空间表达式：线性对象输出元件第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四·作用函数含有导数项的线性微分方程所描述的n阶线性系统的状态空间表达式：当作一组状态变量，并且也不能采用前面的简洁方法。这是因为n个一阶微分方程。第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四在时，可能得不到唯一的解。作为一状态变量必须是能消去状态方程中u的导数项。取：式中：第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四就能保证状态方程解的存在性和唯一性。由上述可得：或：第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四该表达式表示了传递函数：例、研究图所示的控制系统，闭环传递函数为：解：对应的微分方程为：令：第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四其中：第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四§3-3定常系统状态方程的解法·齐次状态方程的解法：（纯量微分方程）假设x(t)为：

将所设解代入方程中可得：显然有：第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四的值可将t=0代入方程求得，即：方程的解x(t)可写为：•现在来解矩阵微分方程：式中x=n维向量，A=n×n常系数矩阵设方程解为t的向量幂级数形式，即：要求t的同幂项系数相等，即：第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四将t=0代入方程中可得：方程的解：第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四矩阵指数：一个n×n阶矩阵A的矩阵指数：对于所有有限时间是绝对收敛的。•微分性：第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四•齐次状态方程的拉普拉氏解法。首先考虑纯量状态方程：对方程取拉氏变换：第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四•状态转移矩阵：的解写成为x(t)=ф(t)x(0)式中ф(t)是n×n阶矩阵，且是：的唯一解。由上可知：注意：——状态转移矩阵第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四状态转移矩阵的性质例：求系统的状态转移矩阵和状态转移矩阵的逆第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四解：由于：第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四非齐次状态方程的解对纯量方程：或：第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四非齐次状态方程：同理可求出：•非齐次状态方程的拉普拉斯变换解法：略解得：第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四解：由上例：第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四如果初始条件为零：第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四§3-4传递矩阵传递矩阵是传递函数的推广，传递函数：状态方程为：第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四例：如图所示的传达室递函数：解：由图状态方程：5-22-23-12知阵表达式：第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四所以，传递函数：传递矩阵G（s）：Y（s）=G(s)U(s)…………（1）若u——r维向量，y——m维向量，A则为m.r矩阵。则<1>式展开为：第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四——表示第i个输出，j个输入的传递函数，即传递函数矩阵为如多变量控制的方框图为：第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四多输入——多输出系统消除交链的问题：设对象的传递函数阵为（n*n阶矩阵），现设计一组补偿器（也是n阶矩阵），使得n个输入和n个输出是相互独立的。即第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四则闭环传递矩阵：现考虑反馈矩阵H(s)为单位矩阵，则：其中：或：由于是对角阵，所以也是对角阵。也是一个对角阵。第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四例：现有一如图所是示的系统，试确定一组补偿器的传递矩阵，使得闭环传递矩阵为：1第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四解：由于第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四3—5线形时变系统状态空间法可适用于线形的时变系统。只要将转移矩阵改为，前面大部分都适用于时变系统的分析。但对时变系统而言，转移矩阵通常是不能用矩阵函数给出的。时变系统状态方程的解法：1、对纯量微分方程：

其解为：状态转移矩阵函数为：这个结果不能用于矩阵微分方程。第四十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四2．状态方程维列向量阶矩阵，其各元素在内是t的分段连续函数解为：式中为非奇异矩阵矩阵就是由状态方程所描述的时变系统的状态转移矩阵。★第四十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四时变系统的状态转移矩阵当和是可交换时，状态转移矩阵才可用矩阵指数表示。为了能用数值计算方法计算，可将展开成级数形式：通常,不能用封闭形式给出。★第四十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四例如：求时变系统的。解：采用上述方程的形式