2024届黑龙江省齐齐哈尔市“四校联盟”高三数学第一学期期末考试试题含解析

2024届黑龙江省齐齐哈尔市“四校联盟”高三数学第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（）A． B．1 C． D．22．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．3．已知集合，则等于（）A． B． C． D．4．已知非零向量，满足，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:5．已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为A． B．C． D．6．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A． B． C． D．7．已知角的终边经过点,则A． B．C． D．8．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（）A． B． C． D．9．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（）A．55 B．500 C．505 D．505010．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A． B． C． D．11．“是函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．函数的对称轴不可能为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在等比数列中，，则________．14．设实数，满足，则的最大值是______.15．的展开式中的系数为__________．16．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱中，，点P，Q分别为，的中点.求证：（1）PQ平面；（2）平面.18．（12分）已知正数x，y，z满足xyzt（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.19．（12分）已知函数，其中.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值.20．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标.21．（12分）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表．分类意识强分类意识弱合计试点后试点前合计已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；（2）已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求分布列及数学期望．参考公式：，其中．下面的临界值表仅供参考22．（10分）已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.【题目详解】解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根∴又是正项等比数列，所以∴.故选：B【题目点拨】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.2、D【解题分析】

根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.【题目详解】如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以渐近线方程为.故选：D.【题目点拨】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.3、C【解题分析】

先化简集合A，再与集合B求交集.【题目详解】因为，，所以.故选：C【题目点拨】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.4、C【解题分析】

根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.【题目详解】，，∴等价于，故选：C.【题目点拨】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.5、D【解题分析】

由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，.6、D【解题分析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．【题目详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．故选：D.【题目点拨】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．7、D【解题分析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D．8、D【解题分析】

由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【题目详解】由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，又由，所以，在直角中，因为，所以，设外接球的半径为，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面积为.故选:D.【题目点拨】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.9、C【解题分析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.【题目详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，又阶幻方有行（或列），因此，，于是．故选：C【题目点拨】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.10、B【解题分析】

设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.【题目详解】解：不妨设过点作的垂线，其方程为，由解得，，即，由，所以有，化简得，所以离心率．故选：B.【题目点拨】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．11、C【解题分析】，令解得当，的图像如下图当，的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.12、D【解题分析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．【题目详解】对于函数，令，解得，当时，函数的对称轴为，，.故选：D.【题目点拨】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可.【题目详解】设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则.故答案为：1【题目点拨】本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.14、1【解题分析】

根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解．【题目详解】作出实数，满足表示的平面区域，如图所示：由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大.由可得，此时最大为1，故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想．15、3【解题分析】

分别用1和进行分类讨论即可【题目详解】当第一个因式取1时，第二个因式应取含的项，则对应系数为：；当第一个因式取时，第二个因式应取含的项，则对应系数为：；故的展开式中的系数为.故答案为：3【题目点拨】本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题16、.【解题分析】.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）取的中点D，连结，.根据线面平行的判定定理即得；（2）先证，，和都是平面内的直线且交于点，由（1）得，再结合线面垂直的判定定理即得.【题目详解】（1）取的中点D，连结，.在中，P，D分别为，中点，，且.在直三棱柱中，，.Q为棱的中点，，且.，.四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D为中点，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【题目点拨】本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.18、t＝1【解题分析】

把变形为结合基本不等式进行求解.【题目详解】因为即，当且仅当，，时，上述等号成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．【题目点拨】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.19、（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.【题目详解】（Ⅰ）函数的定义域为.当时，.令，解得（舍去），.当时，，所以，函数在上单调递减；当时，，所以，函数在上单调递增.因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）由题意，可知在上恒成立.（i）若，，，，构造函数，，则，，，.又，在上恒成立.所以，函数在上单调递增，当时，在上恒成立.（ii）若，构造函数，.，所以，函数在上单调递增.恒成立，即，，即.由题意，知在上恒成立.在上恒成立.由（Ⅰ）可知，又，当，即时，函数在上单调递减，，不合题意，，即.此时构造函数，.，，，，恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立.综上，实数的最大值为【题目点拨】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.20、【解题分析】

利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【题目详解】因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.由，得，所以曲线的普通方程为.由，得，所以（舍），所以，所以曲线的交点坐标为.【题目点拨】本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.21、（1）有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．见解析（2）分布列见解析，期望为1．【解题分析】

（1）由在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为可得列联表，然后计算后可得结论；（2）由已知的取值分别为，分别计算概率得分布列，由公式计算出期望．【题目详解】解：（1）根据在抽取的户居民中随机抽取户，到分类意识强的概率为，可得分类意识强的有户，故可得列联表如下：分类意识强分类意识弱合计试点后试点前合计因为的观测值，所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．（2）现在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，则0，1，2，3，故，，，，则的分布列为．【题目点拨】本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力和运算求解能力．22、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解题分析】试