. 两角和与差的正弦余弦和正切公式

学案5两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点1考点2填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点3返回目录

考纲解读两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.考向预测

在选择题、填空题以及解答题中出现最多的题型就是三角求值问题.解答这类题目需要重视应用三角公式对三角式进行变换，需要有熟练的恒等变形能力，故求值题仍将是今后命题的重点内容.返回目录

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1.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=

(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=

(S(α+β))tan(α-β)=(T(α-β))tan(α+β)=(T(α+β))cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ前面4个公式对任意的α,β都成立,而后面两个公式成立的条件是α≠kπ+,β≠kπ+,k∈Z,且α+β≠kπ+(T(α+β)需满足),α-β≠kπ+(T(α-β)需满足)k∈Z时成立,否则是不成立的.当tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用公式T(α±β)处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法求解.2.要辨证地看待和角与差角,根据需要,可以进行适当的变换:α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等.返回目录

3.二倍角公式sin2α=

;cos2α=

=

=

;tan2α=

.4.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形应用等.如T(α±β)可变形为:tanα±tanβ=

,tanαtanβ=

=

.

2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α返回目录

5.函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=

或f(α)=

,其中可由a,b的值唯一确定.返回目录

【分析】注意角之间的关系,切化弦,从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异,寻找解题思路,同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉.考点1三角函数的化简求值求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.返回目录

【解析】原式=〔董2s腾in流50控°+谢si缠n1钻0°评×(详1+嘱)桌〕·饮s此in兔80偶°=(串2s裂in料50嘱°+滴si神n1立0°嗽×凝)阀·买s似in职80痕°=(雅2s魔in歇50拉°+坛2s恩in仰10刮°×陆)·光c名os缸10尝°=(暴2s忠in熄50俊°+斜)·骑c国os涛10霜°=袄·号2c文os尸10谷°=占2拢s妄in鬼60励°=2事×雨=厘.返回奇目录对于华给角韵求值摘问题,往往凶所给绣角都博是非开特殊沿角,解决线这类姻问题氧的基肠本思羞路有:(1讲)化为汤特殊驾角的灶三角党函数选值;(2御)化为孩正、麻负相畜消的轿项，总消去降求值计；(3联)化分胞子、丛分母校出现别公约叹数进锁行约神分求娇值.返回索目录求下树列各肺式的盟值:（1）;（2）返回勺目录(1嘴)原式返回墓目录（2）原临式返回蒸目录已知ta川nα=-籍,co集sβ=遭,α嫁,β到∈(胜0,包π)困.(1说)求ta伶n(仙α+侮β)的值境；（2）求狠函数f(疗x)=si敏n(猜x-展α)柜+c等os耗(x程+β）的屋最大驱值.考点2三角士函数谋的给逼值求严值问据题【分析】(1竞)先求锡出ta参nβ的值,再求ta亭n(柄α+吊β)的值.(2备)求出α,抖β的正日、余参弦，川再展柄开化芝简.返回经目录

【解析】(1)由cosβ=,β=(0,π),得sinβ=,tanβ=2,所以tan(α+β)==1.(2)因为tanα=-,α∈(0,π),所以sinα=,cosα=-,f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值为.返回笋目录对于无给值为求值杨问题,即由诱给出灯的某谎些角袍的三盈角函绢数的佣值,求另再外一常些角歉的三待角函剑数值,关键痛在于绘“变俯角”竹，使静“所衡求角颠”变买为“佛已知唇角”馋，若律角所父在象者限没恒有确摄定，盖则应敢分类振讨论.应注带意公删式的唉灵活午运用,掌握俘其结宋构特梨征,还要籍会拆妨角、屯拼角笛等技浆巧.返回睛目录已知α为第二象限角,sinα=,β为第一象限角,cosβ=,求tan(2α-β)的值.

【解析】解法一:,∵α为第二象限角,sinα=,∴cosα=,∴tanα=.∴tan2α=.∵β为第一象限角,cosβ=,∴sinβ=,∴tanβ=,∴tan(2α-β)=.返回蔽目录解法二：∵α为第二象限角，sinα=,∴cosα=.∵β为第一象限，cosβ=,∴sinβ=.故sin2α=2sinαcosα=,cos2α=1-2sin2α=,sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-,cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=-,∴tan(2α-β)=.返回下目录若si躺nα=推,si赏nβ=驾,且α,砌β为锐丈角,求α+孝β的值.【分析】欲求α+游β,先求α+偷β的一矿个三砌角函忍数值,再由α,槐β的范腿围确题定出α+油β的值.考点3给值东求角筛问题【解析】∵α,故β为锐思角,且si辩nα=务,si俗nβ=狸,∴co绞sα=企,co壁sβ=同.∴co漆s(事α+阀β)=co末sα伴co衫sβ殖-s朱in产αs节in碧β=魂.又α,租β均为够锐角,∴扰0<α+懒β<π,挂∴α坝+β=宰.返回钥目录(1拖)通过犁求角或的某圣种三泻角函筛数值锤来求桃角,在选净取函酿数时,可遵堆照下患列原桨则:①已知胁正切币函数饲值,选正陪切函神数;②已知枝正、箭余弦礼函数宣值，脑选正梨弦或害余弦倍函数冬；若券角的原范围构是(0，)，选竞正、摊余弦挎皆可药；若阻角的脸范围巩是（0，π），滨选余铺弦较佛好；条若角努的范虫围是(觉)，选暗正弦追较好.(2钻)解这削类问漠题的诞一般赤步骤君为:①求角理的某摆一个铺三角慌函数压值;②确定扯角的玩范围;③根据摧角的疤范围策写出及所求洞的角.返回唉目录已知0<栗α<饮,锦0<造β<执,且3s嫩in罢β=棋si热n(公2α劣+β沿),种4t趁an=1权-t惕an2,求α+到β的值.返回端目录由4t仆an肝=1缎-嗓ta宾n2,得由3s佩in［(α+察β)福-α］=s省in［(α+执β)贼+α］,得ta医n(潮α+利β)=巷2t狡an营α,行∴t埋an擦(α朱+β伐)=床1.又∵0<容α<美,亏0<耐β<启,∴0婶<α+辩β<稀,∴α+过β=纠.返回引目录1.巧用韵公式山变形:和差艳角公汉式变矮形:ta把nx伸±t裹an牧y=t魂an丹(x宪±y调)·递(1拴t痛an茶x·错ta礼ny低);倍角掩公式惧变形:降幂姐公式co促s2α=殿,因si袭n2α=讲;配方厚变形酷：1±业si第nα叉=（si咸n毯±co歼s）2,1浓+c偷os恭α=忙2c订os2,1袄-c边os伏α=纵2s镰in2.2.利用察辅助弦角公绞式求肚最值迅、单薄调区杰间、轧周期.y翻=as吉in园α+御bc报os幕α=si丹n(陡α+具φ)其中ta狡nφ=有：蚕≥|y蓬|.返回歪目录3.重视纹三角喊函数喘的“材三变候”：兽“三桶变”只是指谋“变炼角、礼变名继、变穗式”诞；变丑角为冠：对呆角的摸分拆冰要尽蒸可能封化成挥同名另、同起角、框特殊选角；殖变名脸：尽伴可能惩减少世函数域名称让；变槐式：游对式粗子变扭形一房诚般要副尽可丝式能有仅理化刺、整乳式化主、降分低次坝数等.在解量决求售值、帝化简行、