高中数学竞赛真题5数列（学生版+解析版50题）

竞赛专题5数列

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2020•江苏•高三竞赛）从集合｛1,2,3、…,2020｝中取出225个不同的数，组成递增的

等差数列，满足要求的数列共有个.

2.（2021•浙江金华第一中学高三竞赛）设4=1,%=2,,贝lj

Ufe的值为，

3.（2021・全国•高三竞赛）记5=2。+2。2。+202。2。+...+迎支出，则5=

［为偶数.

4.（2021・全国•高三竞赛）设数列｛”“｝的首项且&“=~,求

+-,外为奇数.

I4

乙・

5.（2021.全国•高三竞赛）已知数列｛6,｝满足：蚱N.）,且当应为偶数时，

«,41=y：当可为奇数时，1=3“"+1.若％=7,则吁.

6.（2021•浙江•高三竞赛）设%,4,…,%满足4=1,%=4,且

-吁2=34,i,则数列的通项«„=.

7.（2021•浙江•高三竞赛）已知整数数列卬，«）0,满足“i0=2q,

q+%=2%,Jlh+1-«*|=1U=l,2....9）,则这样的数列个数共有个.

8.（202卜浙江•高二竞赛）设g=0,«|=«,=!,=an,=（iynt2=an+l（/z>1）,

则%=.

9.（2021.全国•高三竞赛）已知数列满足q=1、4“=%+g；+!,就<*，则性

数*的最小值是

10.（2021.全国•高三竞赛）已知数列｛4｝满足4=1,，"，““=（，，+2）%+1,则《,=

II.（2021•全国•高三竞赛）数列卜力与也｝满足:

«,=4=1,J=2d+1,%=2““-1（〃=1,2.-）,若对任意正整数k,都有

"为2+&*“《M"—），则实数t的最小值为

12.（2021・全国•高三竞赛）数列｛”/满足：4=0,%=14"=""〃“-，*（〃22）-

则“2020=.

13.（2021•全国•高三竞赛）若数列满足：对任意〃cN.,均有”“=d+c”成立，且

血｝、卜,都是等比数列，其公比分别为仆%,若4=1,%=2Mq=-1,且

"3<“""“+”+2+«„*2对任意〃€M恒成立，则a｝的取值范围为.

14.（2021・全国•高三竞赛）数列｛““｝满足：询=6,。田=［吗+看（其中［叫和3｝分

别表示实数次的整数部分与小数部分），则“如尸

15.（2019•贸州・高三竞赛）已知集合八=｛1，2,3.....2019）,对于集合人的每一个

非空子集的所有元素，让克它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为_____________

16.（2020•浙江温州•高一竞赛）已知数列也｝满足4=2,数列

■-的前〃项和为S,,则使不等式S“>2。：鬻21成立的最小正整数”的值为

atl2020"

17.（2021冷国•高三竞赛）两数列满足4=〃>0战=1，且对任意正整数〃，

%=凡+户,%="+审，则也整为------------

Nn'”

18.（2021•全国•高三竞赛》设小出……“2=均为正实数,且

册+士+…+哽士=3则…的-的坡小值为

19.（2019・河南•高二竞赛）等差数列｛“"｝中，4=5,%=21,记数列耳的前〃项和

为M若S?,,“-公/对任意的M恒成立，则正整数m的圾小值为—

二、解答题

20.（2021・全国•高三竞赛）己知正项数列卜川满足

3IJ

==（〃+2尸记数列。｝的前〃项和为S,,,求

111111

--7'+'c------C-+c-----c—的值.

)S、、2015^201702t!9

21.（2021•全国•高三竞赛）求证：对于正整数几令同河卜［2”同元］,数

列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（卜1表示不超过实数.V的最大整数）.

i+3“"+!("ND•证

22.（2021•全国•高三竞赛）数列满足4=1且应.L

/r+n

明：”,,</(〃21)其中无理数c=2.71828….

23.（2021•全国高三竞赛〉求最大的正实数尤，使得对任意正整数〃及正实数

"］"\

•%，，•,,，，“，均有X--义汇-------------•.

A-oxkhi玉）+为+•・•+xk

..52020R

24.（2021・全国•高三竞赛）实数列｛,£,｝满足：x0=2020..v„=-----乙七."21,求

nM

M=2优\的值.

Jt=2（XW

25.（2021・全国•高三竞赛）定义在K上的函数

/（.V）=-^―,S„=/（-!-）+/（-）+..•+/（—）.«=2,3,L,是否存在常数例>0,使

4+2nnn

V/7>2»—+—+••-+<Mt

26.（2020•浙江•高三竞赛）已知数列｛〃,,｝满足4="，a,“尸如，+，广，neN".

（I）若对任意的正整数»,有>4,求实数“的取值范围：

（2）若〃=1,且对任意大于1的正整数〃，有8恒成立，求P+4的

最小值.

27.（2021•全国•高三竞赛）已知〃”二:电=勺+/+…+卬川亡此.求证：

V〃wN.S舞<4.

hlA

28.（2021•全国高三竞赛）已知"个并负实数kJ…,工和为1.求证：

SX；22〃-1

亏一工

7=1

29.（2021・全国•高三竞赛）若数列求证：存在无穷多个正整数〃，使得

，并确定是否存在无穷多个正整数«使得（这里卜］表示不超过x的

最大整数）

30.（2021•全国两三竞赛）设〃23为给定的正整数，实数4M2,…及如阳…也满足

如下条件：

（I）a”NN•

（2）0<«1<b[<u.<b2«・・・«a”T《；

（3）/+处+…+4〃=4+4+…+，：

（4）…4=1也…b〃.

证明:对一切均有q=〃.

31.（2021•浙江金华第一中学高三竞赛）设\w（0.1）,^tZ,且

怎=71-WT^V——称x为好数，如果*使上述所定义的｛《｝满足

X..1,•••（▲-IIX）

“+%+…+4。>-1且4%…%>0.求全体好数在数轴上所时应的所有区间的长度之

和.

32.（2021•全国•高三竞赛）设多项式户（、）=（£>,x'）+«,（，22）的系数为正整数.定义

数列也｝:4=%，%=尸（，）（〃21）.证明：对于任意的整数〃22,均存在质数p,

使得/也,且（〃，她…％）=1.

33.（2021•全国•高三竞赛）己知数列｛〃"｝满足%="|=1.““=+]（"22）.

（1）求证：〃”W------.

2

（2）是否存在实数2,使得2"<”“<力1+1,若存在求出入的值：若不存在.请说明

埋山.

34.（2021•全国•高三竞赛）设，〃是任一给定的正整数，正整数列｛““｝"定义如下：

&a为偶数

2>",内双，求所有的正整数〃，使得｛4｝“。是周期的.

〔4,+吸，为奇数

35.（2021・全国•高三竞赛）求常数C的最大值，使得对于任意实数耳吃、…而均有

2（119

1>,。,+*“）2&短.

加|

36.（2021・全国•高三竞赛）给定整数“22.求具有下列性质的坡大常数人（〃），若实数

（fln

列如“J4满足：0=flu<^,<L<2fl,>!+«；,,则giq

\/-I/kl

37.（2021•全国•高三竞赛）己知数列付,｝满足：卷<%<1，且对于任意正整数〃，均

有，*=«"+2)a“+l.

2

求证：（1）《>〃——：

n

（2）数列=2"（+1,=12…）为单调数列.

38.（2021•全国两三竞赛）空间中的〃个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数

互不相同的，“组（〃>"后3）,且，"疵2>n,在任何三个不同的组中各取一点为顶点

作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少？

39.（2021・全国•高三竞赛）设数列也｝是公差不为零的等差数列.满足

4+&=d.6+。；=6%.设数列出,）的前“项和为S“，且4,+2/,,=3.对•于任意

iwN_,在〃和耳।之间插入i个数X使〃"“.心％也“成等差数列.记

7；=小+/+.j+L+/+%+L+.%,是否存在正整数“八〃，使4=养成立?若存

在，求出所有的正整数对（〃?，〃）：若不存在，请说明理由.

40.（2021•全国两三竞赛）本周上有个1600点.以逆时针方向依次标号I，2,....

1600.它们将圆分成1600段圆弧.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染

红其余的一些点：如果前一次笫A号点被染红，则后一次将此点以逆时针方向转过A

段圆弧后的那个点染红.如此操作下去.问阿周上最多可以得到多少个红点？

41.（2021•全国高三竞赛）对于数列若存在常数仞〉■使得I“」<仞对任意正整

数〃成立，则称,“｝是有界数列.已知数列｛““｝满足递推式“向=%+等（"”），求

证：

（I）若4=3,则不是有界数列.

（2）若q=2,则｛〃“｝是有界数列.

42.（2021•全国•高三竞赛）已知正实数数列q，的、……满足

/%+5

ata2=】,〃；++6q/=8,（"22）,求数列｛七｝的通项公式.

43.（2021.全国•高三竞赛）求具有下述性质的最大整数，"：对全体正整数的任意一个

排列4，%必....总存在正整数4<<",使得：%、％…、%,构成公差为奇数的

等差数列.（可以认为：两项也是等差的）

44.（2021.全国•高三竟赛）求最大的2（〃）（〃22）,使对于绐定〃，任意一个实数列

（4，生一、4）伙>〃）,总存在一个子列7'=（“,小，4.一、％,»）满足：

(«)ki3"-〃+1）中有1项或2项属于T-.

（b）+%2）+,••+4G）|2%（”）,（l"J+同+…+同）-

45.（2021•全国•高三竞赛）己知正整数数列卜，“｝满足：

«,=（1.a=b,<k。肾”>1）,求0+〃的取值范围.

2J*

46.（2021・全国•高三竞赛）对于正整数〃（〃「2）,如果严格递增的非负整数数列

%,“「小，L使得所有非负整数可以唯一地表示为%其中i、J、A可以相

同,则称数列％吗.%,L为〃-好的.

（1）证明：对任意正整数〃，存在唯一的"-好的数列.

（2）已知存在最小的正奇数”1,使得在“-好的数列中有=39900,求，”"的值.

47.（2021・全国•高三竞赛）设集合S"=｛1、2…〃｝.若X是S.的子集，把X中的所有数

的和称为X的“容量规定交集的容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为S,的奇

（偶）子集.

（I）求证：S”的奇子集与偶子集个数相等.

（2）求证：当〃N3时,S”的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.

（3）当〃23时，求S“的所有奇子集的容量之和.

48.（2020•全国高三竞赛）称一个复数数列修*｝为“有趣的”,若包|=1,且对任意正整

数，?，均有4Z3+2ZMN+Z：=0.求最大的常数C,使得对一切有趣的数列｛"｝及任意

正整数";，均有匕+马+…

49.（2021・浙江•高二竞赛）设〃为给定的正整数，6，的，…，"”为满足对每个

都有缺卜1的一列实数，求之见

的最大值.

2

50.（2021•全国两三竞赛）求所有无方正整数列卬火,…满足下列条件:

(1)qva2v小v…；

（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使",+%=%.

（3）有无方多个正整数上使4=21.

竞赛专题5数列

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2020.江苏.高三竞赛）从集合｛123,,•,,2020卜巾取出225个不同的数，组成递增的

等差数列，满足要求的数列共有个.

【答案】8IOO##8.1xlO'

【解析】

【详解】

解析：由题意可得224442019，且d为正整数，则”49.

故必须满足4+224〃<2020,分别讨论公差的取值情形：

当公差为1时，共1796组：

公差为2时.共1572组:

当公差为3时,共1348纵

组数依次构成公差为-24的等差数歹U,

丝也曳=81。。,

而公祭为9时，共有4组，故满足要求的数列共有

9

故答案：8100.

2.（2021•浙江金华第一中学高三竞赛）设4=1,

%~

的值为_______

(“2+%)(%+%)

【答案】-24

【解析】

【分析】

【详解】

由J«.1

从而log2I=

由此可知—=2,即数列｛〃“｝为等比数列.

他的一"16_以＜/_力_

(r/,+«t)(«4+«„)雨(1+炉乂/+/)

2伞一与一？

一(1+炉)(1+“2-x(l+22)(i+24)

故答案为：-24.

3.(2()21・全国•高三竞褰)记S=20+2020+202()20+...+磔二也，则$=

2嗣匕

［答案】20(10()"“-100-99〃)

’9801

【解析】

【详解】

S=20(Ix〃+1»0x(〃-1)+1(X?x(〃-2)+•.•+1OO'ixl)=20(100""-10()-99〃)

9801

故答案为：2。”严-1。。-加）

9801

〃为偶数.

4.（2021.全国•高三竞赛）设数列W“｝的苜项4=“。,，且，、…求

ci„+了”为奇数.

〃为偶数

"?为奇数

【解析】

【详解】

若〃为偶数.贝此,尸£=5%+L即*=—•

所以*-;也-T）吗）（“用="6）（K，

若〃为奇数，则%i+2””,=久“，+卜

1

-

2〃为偶数,

故答案为：«„=

«-2|I

-

4”为奇数.

5.（2021•全国•高三竞褰）已知数列满足：q=，”（，〃eN+）,且当&为偶数时.

4“=g;当应为奇数时，《a=%+1.若%=7,则〃?=.

【答案】9或56##56或9.

【解析】

【详解】

解析：（1）当，〃是奇数时，4=必+1=3，〃+1是偶数,所以&=缪1,

%=+1=7,或%='3叱+!）+1=7,解之行,"=9或〃?=1,经检验，,“=9.

42

（2）当，〃是偶数时，

①当〃1=4〃％时，/=B=2〃％必=〃%,4=g=7,或/=3mo+1=7,

解之得，%=14或〃%=2,所以〃[=56或8,经检脸，〃，=56.

②当〃7=4叫+2时，%=B=2"%+1.%=3（2，%+1）+1=2（3叫+2）,所以

%=37%+2=7,无解.

综上所述,〃1=9或56.

故答案为：9或56.

6.（2021浙江.高三竞赛）设%,4，…，巴满足6=1,4=4,且

=3q-，则数列的通项=

【答案】11（3-1丫

A,l

【解析】

【分析】

【详解】

又々+1=3,,也+1｝是以3为首项、3为公比的等比数列,

.­.6„+1=3".b„=3"-1.=（3«-1）\

4-1

由累乘法可知：乌-.幺士..色=（3"-1'（3"'-1）..（3二1）,

4”_|q.2%

1fl

4=4,.:an=（3"-1）（3"-1）…（3?-1）4=J'］。"一1）（-2）、

£-1

经检验〃=【满足上式，

故答案为：n（y-＞）2

人二!

7.（2021•浙江•高三竞赛）已知整数数列q,«,........«10,满足4。=2",

4+4=？％,且|4+|-⑷=1（々=1,2,9）,则这样的数列个数共有个.

【答案】192

【解析】

【分析】

【详解】

分情况讨论:

①先考虑"•）,4，a,设处=厂，则：

(l)<?4=r,o5=r+\,a6=r+2,%=r+3,/=r+4：

(2)q=r,a3=r+1,%==r+1,&-r:

(3)a4=r,a5=r+1,%==r-l.a^=r:

(4)&=几%=/-1，4=/-2,%=1一3,%=r-4：

(5)«4=八4=/T,%=r-2,a7=r+3.=/•；

(6)q=二%=r-l.«6=/9=r-L'=，•：

②再考虑的，“小同理共有4种，且/=r+s,其中s=6.4,2,0,-2,f-6：

③最后考虑4,4.4共有8种，且％=，,+/,其中/=±1.±3,所以“户即,、故％.=2q一定有

解，

综上共有8x6x4=192个：

故答案为：192.

8.(2021•浙江.高二竞赛)设4=0,a,=«,=1,%”=a”,aillt,=a}nt2=an+l(n>I),

则“281=•

【答案】6

【解析】

【分析】

【详解】

—=”673+|=%皿“+1="加+2

=4m.2+2=，5+3=«>：4»2+3="“+4=4+4=%+5=6.

故答案为：6.

9.（2021.全国.高三竞赛）已知数列｛%｝满足4==5用亘，就＜&，则整

数k的最小值是

【答案】I

【解析】

【分析】

【详解】

因为a=""+血'12”，故有q,=--="“+1-J--

2"4a*4aiitl

平方得，Y=心-；+总所以“3〈鬲+；，

故…弓*因此。（需＜L

故答案为：I.

10.(2021・全国•高三竞赛)已知数列｛“"｝满足4=1，叫“=(〃+2)""+1，则"，，=

恪案】当+一

42

【解析】

【分析】

【详解】

=

由原式uJ■得(,?+IXn+2)«(/7+1)+〃(”+/("+2)'

令'=击，则原式变为心也=戊£(〃蜴=9|公丁(〃+|)；〃+2)

累加得/乙=[-；+~11\，所以““=3〃(〃+I)」.

42/i2(〃+1)42

故答案为:当?("+])」.

42

11.(2021・全国•高三竞赛)数列｛%｝与他,｝满足：

4=by=l,d,nl=2hn+1也”=2a,,-1(/?=L2.…),若对任意正整数h都有

4G”+/1)，则实数t的最小值为

【答案】4

【解析】

【分析】

【详解】

将条件两式相加，得4“+仇”=2(4+以).又“+々=2,所以=2",

将条件两式相减，得%“-以“=-2(凡-〃“)+2.

所以““+|一0*।Q=-2],.

222I

又•所以q_§=§(一2)“，

故g-b”-1(-2)",所以=:13.2"+(―2)"]+L

336匚3

所以％A+%*T=\[3**+(_2产+3-21*-1+(-2r*-']+|=|.2n-,+|.

“叼+%“=3,2*+3_20"2+2=46

%<+味2./T+N5-2皿+252:t,+2，

3~3

故li,n如=4,所以/的最小值为4.

2%*

故答案为：4.

12.（2021•全国•高三竞赛）数列｛4｝满足：q=0到=1="；&%22）.

则%020=.

【答案】1-6

【解析】

【分析】

【详解】

由题意,特征方程是

卡-近#-凡#+应is,史上/巴,

.\+i=0n.>z

2421212

所以｛4｝是以24为周期的数列,

故020»)=a,l=।—5/3.

故答案为：I-7L

13.（2021・全国•高三竞赛）若数列｛““｝满足：对任意”CN.,均有《="+，',,成立，且

｛4｝、卜"卜都是等比数列，其公比分别为加%,若4=1,%=2用％=-1,且

<,<凡*4+2+-。"对任意”e乂恒成立，则知的取值范围为

【答案】（3.7）

【解析】

【分析】

【详解】

2q+1-9：-2%

由题应知&■».，J-7"-

芥+1q+1

〃=1代入，得%>3.

(/+%)“””=“”.2①

由①可知«!=2(<7|+</,)+1>3,所以4+%>1，

“3<“M,+I%+2+<%2一""O"3<44H"z+(4+%)”"“•

又因为q,.2=(q+%应,“+”“，由数学归纳法知«„>o(«6NJ,

所以*<“,4+2+4+%，

即(/>"“+C”“)2<(%+£,)(〃.？+%,2)+%+%，

可得血+%+%，

有2b\C、q；q'；<何犷力丁+麻柏七7+(/,+(/,=%M:康⑶%-褚-g：)<</,+%.

当"为否数时，可得如(q-%)：>-(q+%),②

当〃为偶数时,可得病(g,-</,)2<</,+%.③

将板1代入②整理得3g：-3M-3>0,所以,

同理，代入③整理得g,<上普.

所以出=2(4+</,)+!=2(q---)+le(3,7).

(h

故答案为：(3.7).

14.(2021•全国•高三竞赛)数列｛即｝满足："0=#，”向=[”“]+土(其中团〃]和｛“〃)分

别表示实数an的整数部分与小数部分)，则a刈尸

【答案】3029+叵」

2

【解析】

【详解】

4=1+(力-1),4=l+_J_=2+^1,

近-12

«,=2+-==—=3+6=4+(6-1).

'A73-I

归纳易得，的*=3*+I+(6-1)M“T=3A+2+与。.

因此*=3029+^^.

故答案为：3029+史二！■.

2

15.(2019•贵州府三竞赛)已知集合,4=｛1,2,3...2019).对于集合A的每一个

非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为_____________

【答案】2019

【解析】

【详解】

集合A的2刈9―1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1,2.....

2019,1x2,1x3...,2018x2019.....…*2019,它们的倒数和为

,IIII1

I-11-...+--------1-------H-------^..・++•・•+

220191x21x32018x2019Ix2x...x2()19

=(1+1)11+-1...I1+一［

2019

2020

2x-xX---1--=-2019

22019

故答案为：2019.

16.（2020,浙江温州•高一竞赛）已知数列｛%｝满足4=2,《,“-1=勺•吁4，数列

2019x20^1

2.的前〃项和为九则使不等式小。「成立的最小正整数〃的值为

【答案】6

【解析】

【详解】

题述等式即-1=4•%…4.所以，

«„.1-14-1(1n

12019x2021,…八，

hillS=-------->-------；——=«...-1>202()

川”2O2O2

计算可得:川<2()2(『,的>2020"所以什］=7,则〃=6.

故答案为：6.

17.（2021,全国•高三竞赛）两数列｛q｝,也,｝满足％=〃>（），4=1,且对任意正整数〃,

4,+1,.+1

凡“=4+—;—1%="+-----,贝IJhm不一为.

⑵+2„,

【答案】\-3-«--+-1-,0<r/<I

u，«..i

【解析】

【分析】

【详解】

易知两数列均为严格递增的正数列，且不同时存在极限（否则对递推式取极限得矛

盾）.

将两个递推式等号两边加I.可得:

(生+1)(。+1)1(a1)(/)„+!)

%八+1=-------7--------,+I=—-------2——

再取倒数可得即,+i=-a+i)s,,+i)'/，”“+广VH-(«,+ixVn

1111I-a

jHr以--------------=-------------=...=------

%"+1"e+1an+1b“+l2a+2'

当0<a<1时，由」得尸是数列｛““｝有极限，从而也“卜没有极

限，即Mn」=O,

""b"

3«-1b„,,,II2(i+2

此时hma“=-------Jim-2-1=l+hm—+lim—―=------：

]—a-k”《也3a+1

当a=l时，an=b„,干是都没有极限.

此时­=1+lim—+lim——=1

…b“eq,

I(i—Ia+3

当“>1时,='所以"〈二7

于是数列也｝有极限,依卜没有极限.

此叫吟1+lini—+lim—!—=

"f*q,"8。也

lini%0<«<1

糠上可得:34+I

b

nI,

(2”2八,

-------,0<a<\

故答案为:'*+l

1,47..1

18.（2021・全国•高三竞赛）设4，%，...，“.均为正实数，且

~+7~—+…+•,1=〈则“「"2”.g）20的最小值为__________

2+42+«,2+*2

【答案】4038?网

【解析】

【分析】

【详解】

,I-V

令片厂X,则…寸且.*+-I,其中i=l,2,...,2020.

所以/2…02U20

=22020--------------------------Cq+占+…+工2020)・(司+M+….............(K+七+…+V2U1U)

AIA2…A2O2O

2.°.------->-------.201.201%加也何…心即--.2019《。也丙…

…&020

=2M?0x201产'>=4O382020.

19.(2019•河南,内二竞赛)等并数列｛“〃｝中，/=5,6=21,记数列的前〃项和

为S〃，若与M-S”,•^对任意的恒成立，则正整数，”的最小值为

【答案】5

【解析】

【详解】

由题意可得：m,，解得4=1.”=%

[q+5d=21

111

一〃“-1+4(〃-1)-4〃_3，

，*2”川一邑卜⑸川一*.])

\《用’a.2a2n^\)I"”+2“2^2«+37

=j1_JJ!

"”川电“"/”+34〃+18〃+58〃+9

=p---q+p---q>o.

18〃+28〃+5)18/74-28〃+9j

二数列｛S"「S"｝仅GN、足递减数列，

数列｛S27-S〃｝(〃wN)的ki大项为Sj-S］=±+3=.,

14.in14

,•石尔小"“5’

XVMl是正整数，.•.，”的最小值为5.

故答案为：5.

二、解答题

20.(2021・全国•高三竞赛)已知正项数列｛«,｝满足

3,,11

…=(〃+2))「，〃EN..记数列｛%｝的前〃项和为工，求

J___1___1_1

--的值.

5；S3S；*Sol5力017

［个案］1°i°.

l"J2021

【解析】

【分析】

根据数列的递推关系可得卜一T一3"为常数列’从而可求”“二号一w，

求出，后可求和式的值.

【详解】

由数列的递推式可知心一（看+高卜X标+升故

0J+〃+l)2

•进而

丁是“2+5+舟〃2(〃+

直接求和可得s』+i-W=%：）1I(I\

丁是-----I—+----

Sn2(〃〃+2

于是我们直接带入得到:

"2021'

【点睛】

思维点睛：对于给定的数列的递推关系，应该通过对其变形得到容易求出通项的新数

列，从而利用常见数列的求和方法解决与原数列相关的问题.

21.（2021・全国•高三竞赛）求证：对于正整数〃，令〃,,=[2"而丙卜[2，同列，数

列{4"}中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（口】表示不超过实数x的酸大整数）.

【答案】证明见1析

【解析】

【详解】

在二进制中，记J2OI9=IOHOO.fc,^--,>/2O2O=101100c,c,,

其中&e{0,l}Qw{0,l}.

用反证法,先证明数列中有无分多个偶数.

假设，数列中只有有限个偶数，那么存在整数N，V〃>N,是奇数,

则存在正整数何，使得a„=I0I1006A-A/+101100g…c”•

0.当，?>MIH>\bn.c„｝=｛().1).

故而历+历5=110110004…4\,II…⑺WQ,<后!

同理可证明数列中有无方多个偶数.

所以数列｛",｝中有无穷军个常数和无穷多个偶数.

22.(2021•全国•高三竞赛)数列｛4｝满足4=1且4“=。+/—]”“+!(〃“).证

(n'+nj2

明:1)其中无理数C=2.7I828….

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

证法一：由递推关系有%>4,21.

两边取对数并利用已知不等式得:

In~4In1+一T-----1-----

n2+n2"

箪鹏-屈*4际+广

将上述不等式两边相加可得

+11.1

/»-1H2

即In《<2,故a“ve-(n>I).

证法：由数学归纳法易证2">-1)对〃22成立.•故

=卜+一二(,,2)

1+----------“"十寻F--

In+n〃(〃―1)

令〃=«„则

+1("22),b„tl<1+―!—（，注2）

I"(〃一1)

对上述不等式两边做对数并利用已知不等式得:

]

In%〈In1++In/?<InZ?+----------(H>2).

〃(〃一])

故叫小舟不

】n“一In।4-----------------,

""("7)(〃-2)'

hibi-Inlh4------.

，22x1

将上述不等式两边相加可得:

]n/7.।—InbyW------+------+・••+L...+J_3i

-1x22x3«(«-!)3n-1n

因0=%+1=3.故1也“<1+1>13.4+1<*2=36(〃*2).

故。<3e-1<J,”22,又显然"，故对一切”21成立.

23.（2021•全国高三竞赛）求最大的正实数文，使得对任意正整数〃及正实数

X--

-%.P•••••'„.均有力丁1£.r,~TT--

【答案】2的最大值为3.

【解析】

【分析】

先取$=.$=l,%=2,x、=4,…,\,=2”‘，通过对其求和可得4的范围，再利用放缩法

II1333

川得一+—+…+—>-----++•1•+--------------------，最后求出鼓大的正实

•%耳5•%+»•'»+-'|+.V,An+.V!+--+A；

数人的值.

【详解】

=

一方面，取-V(|=.V|=l,x,=2,X,4,•••,xn=2",得

即

令〃一＞8,得尤S3.

）14

另一方面对正实数-r有一+一n-------,故

.Vyx+y

与士小+西

-----।----+,-J>--------4-------,

.r0+内x2.%+芭+x2

I.1、4

---------------4----->----------------------

.%+A+X2Xy.%+Xj+/+超

1，+—N

,%+$+…+工”7勺.%+$+・・•+£•

以上各式相加，得

II1333

----1-----b.—F—2----------F+…+---------------------

*MX”•%+$，％+A,+x2Xo+$+,••+A；*

故人=3时，，原不等式恒成立.练卜.，2的最大值为3.

24.（2021・全国•高三竞赛）实数列｛X〃｝满足：%=2020,.=-二二£七,〃21,求

nM

2020

M=£G\的值.

2008

【答案】0.

【解析】

【分析】

【详解】

j-]m-2

令，”=2020,则当〃22时，有=-"，Z&.(〃T)A“.I=T"Z』.

U"0

两式相减，得，6.-("-I).」=-〃因1(”22).所以《=-"二竺1.V“〃22).

n

此式在〃=I时也成立.于是当】W〃金〃时,

m-//+1(，〃一〃+1)(〃？一〃+2)

A'.=-------------------------------------x,

〃a/?(/?-1)〃

。〃一〃+1)(/??-/?+2)•••(//?-I)〃i

=(-1)"

〃(〃一I)…1

202。202n

X

所以河=2020Z(-1)C^UC^=2020Z(T)'C麒铲

*=2008A2WS

t

=202()^(-l)C^Cll\=0.

fc=O

25.（2021.全国高三竞赛）定义在K上的函数

==/(-)+/(-)+-：+/(—),〃=2,3,L,是否存在常数M>0,使

4'+2nnn

得对V"Z2,有=+J+…

【答案】不存在

【解析】

【分析】

【详解】

苜先，易证则7~+4~+・一+白=2（1+；+!+…+，）.

11

>X一

-一-

因为对％eN,,r-'r2

I川+2

"

2322'

I1I

当〃?->