中学《数学》专项试题06-《平行四边形》证明、解答题重点题型分类

中学《数学》专项试题06-《平行四边形》证明、解答题重点题型分类中学《数学》专项试题06-《平行四边形》证明、解答题重点题型分类PAGEPAGE1中学《数学》专项试题06-《平行四边形》证明、解答题重点题型分类专题06《平行四边形》证明、解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《平行四边形》中"平行四边形的判定及性质”、"菱形的判定”、"矩形的判定”、"正方形的判定”、"中点四边形”、"四边形中的最值问题”、"四边形中的折叠问题”、"四边形中的旋转问题”证明、解答题重点题型;适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用.考点1：平行四边形的判定及性质方法点拨：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.1．已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点,求证：四边形EBFD为平行四边形．2．如图,在中,,点E为内一点,且为等边三角形．(1)用尺规完成以下基本作图：以BC为边在内作等边．(保留作图痕迹,不写作法,不下结论)(2)在(1)所作图形中,连接CE、AF,猜想四边形AFCE的形状,并证明你的猜想．3．如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于О点,于E点,于F．(1)求证：四边形DEBF为平行四边形;(2)若,,,求的面积．4．如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC所在直线上的两点,且AE=CF．求证：四边形EBFD是平行四边形．5．如图,四边形ABCD是平行四边形,,且分别交对角线于点E、F,连接ED、BF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形;(2)若AE＝EF,请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．6．已知：△ABC,AD为BC边上的中线,点M为AD上一动点(不与点A重合),过点M作ME∥AB,过点C作CE∥AD,连接AE．(1)如图1,当点M与点D重合时,求证：①△ABM≌△EMC;②四边形ABME是平行四边形(2)如图2,当点M不与点D重合时,试判断四边形ABME还是平行四边形吗?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由;(3)如图3,延长BM交AC于点N,若点M为AD的中点,求的值．考点2：菱形的判定方法点拨：菱形的判定方法有三种：(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)四条边相等的四边形是菱形.注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形,后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.1．尺规作图并回答问题：(保留作图痕迹)已知：如图,四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF,使点E,F分别在BC,AD上．请回答：在你的作法中,判定四边形AECF是菱形的依据是．2．如图,直线,线段分别与直线、交于点、点,满足．(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点,交于点,交线段于点,连接、、、．(保留作图痕迹,不写做法,不下结论)(2)求证：四边形为菱形．(请补全下面的证明过程)证明：____①____垂直平分,∴____②________③____∴四边形是___④_____∴四边形是菱形(______⑤__________)(填推理的依据)．3．如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D,E分别是边AB,AC的中点,BC＝BD,点F在ED的延长线上,且BF//CD．(1)求证：四边形CBFD为菱形;(2)连接CF,与BD相交于点O,若CF＝4,求AC的长．4．如图,矩形,延长至点,使,连接,,过点作交的延长线于点,连接．(1)求证：四边形是菱形;(2)连接,当,时,求的长．5．如图,四边形ABCD是菱形,点为对角线AC的中点,点在AB的延长线上,,垂足为,点在AD的延长线上,,垂足为．(1)求证：四边形CEHF是菱形;(2)已知四边形CEHF的周长为,求菱形ABCD的面积．6．如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=,∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(t＞0)．过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF．(1)求证：AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由．(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由．考点3：矩形的判定方法点拨：矩形的判定有三种方法：(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下,加上"一个角是直角”或"对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.1．如图,在中,于点E,延长BC至点F,使,连接AF,DE,DF．(1)求证：四边形AEFD为矩形;(2)若,,,求DF的长．2．已知：如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,,点E,F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF;(2)求证：四边形AECF是矩形．3．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,∠C＝30°,AC＝12cm,点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动,同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动,运动时间为t秒(0＜t＜6),过点D作DF⊥BC于点F．(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长;(2)如图①,连接EF,求证四边形AEFD是平行四边形;(3)如图②,连接DE,当t为何值时,四边形EBFD是矩形?并说明理由．4．下面是小东设计的"利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．已知：如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,O为AC的中点．求作：四边形ABCD,使得四边形ABCD是矩形．作法：①作射线BO,以点O为圆心,OB长为半径画弧,交射线BO于点D;②连接AD,CD．四边形ABCD是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明．证明：∵点O为AC的中点,∴AO＝CO．又∵BO＝,∴四边形ABCD是平行四边形()(填推理的依据)．∵∠ABC＝90°,∴□ABCD是矩形()(填推理的依据)．5．已知：如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD．(1)求证：四边形AODE是矩形;(2)若AB＝8,∠BCD＝120°,求四边形AODE的面积．6．如图,在四边形ABCD中,ADBC,∠ABC＝∠ADC,对角线AC、BD交于点O,AO＝BO,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形;(2)若AB＝1,求OEC的面积．考点4：正方形的判定方法点拨：正方形的判定除定义外,判定思路有两条：或先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形);或先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).1．在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC,其中点A,点B的对应点分别是点D,点E,延长AB交DE于F,连接FC．(1)若∠A＝30°,求证：AF⊥DE;(2)求证：FC平分∠EFA;(3)求证：EF+FB＝FC．2．如图,△ABC中,点O是边AC上一动点,过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F．(1)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF为矩形?并说明理由;(2)在(1)的条件下,△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?说明理由．3．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE．(1)求证：CE=AD;(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明理由;(3)若D为AB中点,则当∠A等于多少度时,四边形BECD是正方形?请说明理由．4．如图1,在RtABC中,∠ACB＝90°,过点C的直线,D为AB边上一动点(点D不与点A、B重合),过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为点F,连接CD,BE．观察猜想：(1)在点D的运动过程中,CE与AD是否相等?请说明你的理由．探究说理：(2)如图2,当D运动到AB中点时,请探究下列问题：①四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;②当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由．5．已知：如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点．(1)求证：;(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;(3)当AD,AB满足什么条件时,四边形MENF是正方形．6．如图①,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE＝AF,且DE⊥AF交于点G．(1)求证：四边形ABCD是正方形;(2)如图②,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE＝AF,∠AED＝60°,AE＝8,BF＝3,求DE的长．考点5：中点四边形方法点拨：(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.(1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形.(2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形.(3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形.1．如图,在四边形中,,分别是,的中点,,分别是对角线,的中点,依次连接,,,,连接,．(1)求证：四边形是平行四边形;(2)当时,与有怎样的位置关系?请说明理由;2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,中点四边形EFGH是．(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA＝PB,PC＝PD,∠APB＝∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想．(3)若改变(2)中的条件,使∠APB＝∠CPD＝90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)．3．已知：在矩形ABCD中,,．(1)如图1,E、F、G、H分别是AD,AB,BC,CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形;(2)如图2,若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD,AB,CD上,．①连接BG,若,求AF的长;②设,△GFB的面积为S,且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内,是否存在m,使菱形EPGH面积最大?若存在,请直接写出菱形EFGH面积最大值,若不存在,请说明理由．4．如图,两个全等的直角三角形(△ABC和△ADC)按照斜边重合摆放,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．(1)判断并证明四边形EFGH的形状．(2)若∠BAC＝30°,AC＝6,求四边形EFGH的面积．5．四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点,顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．(1)我们知道：无论四边形ABCD怎样变化,它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：①当对角线时,四边形ABCD的中点四边形为__________形;②当对角线时,四边形ABCD的中点四边形是__________形．(2)如图：四边形ABCD中,已知,且,请利用(1)中的结论,判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．6．在四边形中,的中点分别为P、Q、M、M;(1)如图1,试判断四边形怎样的四边形,并证明你的结论;(2)若在上取一点E,连结,,恰好和都是等边三角形(如图2)：①判断此时四边形的形状,并证明你的结论;②当,,求此时四边形的周长(结果保留根号)．考点6：四边形中的最值问题方法点拨：结合动点的最值问题,解题思路是化"动"为”静",根据图形,找特殊位置,灵活运用有关数学知识解决问题.在求线段的最值时,转化思想是常用思想,将所求线段转化到其他线段上,通过点移动的轨迹找特殊位置求出最值.步骤：(1)动中求静：在运用变化中找出不变的量及相等的关系,得出相关的常量,并用含变量的代数式表示相关的量.(2)找特殊点(分类讨论)：将变化的点按指定的运动路径运动一遍,明确运动过程中的特殊位置以及可能出现的情况.(3)找等量关系：利用面积关系、全等三角形、勾股定理、特殊图形的几何性质及相互关系等确定等量关系.(4)列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程,根据所列方程解决相关问题.1．如图,在边长为2cm的正方形ABCD中,Q为BC边的中点,P为对角线AC上的一个动点,连接PB,PQ,求△PBQ周长的最小值．2．如图,正方形中,,是边的中点,点是正方形内一动点,,连接,将线段绕点逆时针旋转得,连接,.(1)若、、三点共线,求的长;(2)求的面积的最小值.3．如图,矩形的对角线,相交于点,将沿所在直线折叠,得到．(1)求证：四边形是菱形;(2)若,,是边上的动点,是边上的动点,那么的最小值是多少?4．如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,将△COD沿CD所在直线折叠,得到△CED．(1)求证：四边形OCED是菱形;(2)若AB＝2,当四边形OCED是正方形时,求OC的长;(3)若BD＝3,∠ACD＝30°,P是CD边上的动点,Q是CE边上的动点,求PE+PQ的最小值．5．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】(1)请根据教材内容,结合图①,写出证明过程．【定理应用】(2)如图②,四边形ABCD中,M、N、P分别为AD、BC、BD的中点,边BA、CD延长线交于点E,∠E＝45°,则∠MPN的度数是．(3)如图③,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝3,点E在边AB上,且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一周,得到线段AF,M是线段CF的中点,直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值．6．如图,在平行四边形中,,将平行四边形沿过点的直线折叠,使点落到边上的点处,折痕交边于点．(1)求证：四边形是菱形;(2)若点是直线上的一个动点,请作出使为最小值的点,并计算．考点7：四边形中的折叠问题方法点拨：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠,然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换,折叠后的图形与原图形全等.1．如(图1),矩形的边、在坐标轴上,点B坐标为,点P是射线上的一动点,把矩形沿着折叠,点B落在点D处;(1)当点C、D、A共线时,=______;(2)如(图2),当点P与点A重合时,与x轴交于点E,过点E作,交于点F,请判断四边形的形状,并说明理由;(3)若点D正好落在x轴上,请直接写出点P的坐标．2．如图①,在矩形中,点从边的中点出发,沿着匀速运动,速度为每秒1个单位长度,到达点后停止运动,点是上的点,,设的面积为,点运动的时间为秒,与的函数关系如图②所示．(1)图①中______,______,图②中______．(2)点在运动过程中,将矩形沿所在直线折叠,则为何值时,折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．3．综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折,使边AB与CD重合,展开后得到折痕EF.如图①：点M为CF上一点,将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠,使点C落在EF上的点N处,展开后连接DN,MN,AN,如图②(一)填一填,做一做：(1)图②中,___________.线段___________.(2)图②中,试判断的形状,并给出证明.剪一剪、折一折：将图②中的剪下来,将其沿直线GH折叠,使点A落在点处,分别得到图③、图④.(二)填一填(3)图③中,若,则_______________°4．发现：(1)如图一,在矩形ABCD中,点E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是;探究：(2)如图二,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由．应用：(3)如图三,将(1)中的矩形ABCD改为正方形,边长AB＝8,其它条件不变,求线段GC的长．5．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．(1)在三等角四边形中,,则的取值范围为_______;(2)如图,折叠平行四边形,使得顶点分别落在边上的点处,折痕为．求证：四边形为三等角四边形;(3)如图,在三等角四边形中,,若,,,则的长度为_______．6．如图1,将矩形纸片的四个角向内折叠,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形,①求证：四边形是矩形;②若,,求的长;(2)如图2,将平行四边形纸片的四个角向内折叠,也能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形,若,,,,求的长．考点8：四边形中的旋转问题方法点拨：旋转性质—对应线段、对应角的大小不变,对应线段的夹角等于旋转角.注意旋转过程中三角形与整个图形的位置关系.1．在中,,将绕点按顺时针方向旋转得到,旋转角为,点的