全国初中数学竞赛分类汇编卷（五）函数综合（提优）【 学霸笔记+典例精析+竞赛试题 】 初中数学 学科素养能力提升 （ 含答案解析 ）

专题24全国初中数学竞赛分类汇编卷（五）函数综合（提优）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得：四边形ABCD为等腰梯形，如下图，分别过点A、D作梯形的高AM、DN交BC于点M、N，则MN＝AD＝2，BM＝NC=12（BC﹣AD）＝则AB＝2BM＝6，①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），y=12BQ×BPsinB=34x2，当x＝6时，y图象中符合条件的有B、D；②6＜x＜8，y为一次函数；③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣x＝14﹣x，QC＝x﹣8，则PQ＝22﹣2x，而△BPQ的高常数，故y的表达式为一次函数，故在B、D中符合条件的为B，故选：B．2．如图，直线l：y=-3x+39+33与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEBA．20+413 B．44+413 C．20+413或44﹣413 D．20﹣413或44+413【解答】解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，如图：∵B（﹣2，0），点D为点B关于y轴的对称点，∴D（2，0），∴BD＝4．∵∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE＝4．对于直线l：y=-3x+39令x＝0时，y=39+3令y＝0时，x=13+∴OH=39+33，OA=∴AH=OH2+O∴∠AHO＝30°，∴∠OGD＝60°，∠ODG＝30°，∴DG＝2OG．在Rt△ODG中，根据勾股定理得OD2+OG2＝DG2，即22+OG2＝4OG2，解得OG=2∴G（0，-2设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0），把G（0，-233），D（2，0解得k=3∴直线DF的解析式为y=33x-23解得x=3∴F（313+11∴DF2＝（313+114-2）2+（在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝42﹣（21+313解得EF=13①当点E在点F的下方时，在点E下方直线L上取一点M，使得EM＝DE＝4，连接DM，如图：∵EM＝DE，∴∠EDM＝∠EMD．∵∠DEC＝∠EDM+∠EMD，∴∠DEC＝2∠EMD．∵∠DEC＝2∠DCE，∴∠EMD＝∠DCE，∴DC＝DM．在Rt△DFM中，根据勾股定理得DM2＝DF2+FM2，即DC2＝DM2=21+3132+（13-32②当点E在点F的上方时，在点E下方直线L上取一点M，使得EM＝DE＝4，连接DM，如图：∵EM＝DE，∴∠EDM＝∠EMD．∵∠DEC＝∠EDM+∠EMD，∴∠DEC＝2∠EMD．∵∠DEC＝2∠DCE，∴∠EMD＝∠DCE，∴DC＝DM．在Rt△DFM中，FM＝EM﹣EF＝4-13根据勾股定理得DM2＝DF2+FM2，即DC2＝DM2=21+3132+（11-13综上所述，DC2的值为20+413或44﹣413．故选：C．3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象分别交AB于中点D，交OC于点E，且CE：OE＝1：2，连接AE，DE，若S△ADE＝2，则A．5 B．367 C．6 D．647【解答】解：如图，连接AC，∵AD＝DB，∴S△ADE＝S△BDE＝2，∵四边形AOCB是平行四边形，∴S△AOC=12S平行四边形AOCB＝S△AEB＝∵OE＝2EC，∴S△AOE=23S△AOC设A（0，b），C（a，t），则B（a，b+t），D（12a，2b+t2），E（23a∵D，E在反比例函数的图象上，∴12•a•2b+t整理得t=187∴E（23a，127∴12×b×2∴ab＝8，∴k=23a×12故选：D．4．如图，动点P在函数y=12x(x＞0)的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则【解答】解：如图，过点E、F分别作EC∥OA、FD∥OB，∴AF：AB＝DF：OB，BE：AB＝CE：OA，两式相乘，得AF×BEAB×AB∵直线ABy＝﹣x+1交坐标轴与A（1，0）B（0，1）两点，∴OA＝OB＝1，AB=2∵P在y=1∴PM•PN＝CE•DF=12，代入得AF×BE2解得AF•BE＝2×12故答案为：1．5．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）、B（4，2）．（1）点P（x，0）是x轴上的一个动点，当x＝时，△PAB的周长最小；（2）点P（x，y）是y=1x（x＜0）上的一个动点，当x＝时，|PB|﹣|（3）点M（m，0）、N（0，n）分别是x轴和y轴上的动点，当nm=时，四边形（4）点C（x，0）、D（x+2，0）是x轴上的两个动点，当x＝时，四边形ABCD的周长最小．【解答】解：（1）如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P，连接PA，此时△PAB的周长最小．∵A（1，1），A′（1，﹣1），B（4，2），∴直线BA′的解析式为：y＝x﹣2，令y＝0，得到x＝2，∴P（2，0），故答案为2．（2）如图2中，在△PAB中，|PB|﹣|PA|≤|AB|（等号仅当P、A、B三点共线时取得），∵A（1，1），B（4，2），∴直线AB的解析式为y=13x由y=1xy=13∴满足条件的点P的坐标为（﹣3，-1故答案为﹣3．（3）如图3中，作点A关于y轴的对称点A′，点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交x轴于M，交y轴于N，连接AN，BM，此时四边形ANMB的周长最小．∵A′（﹣1，1），B′（4，﹣2），∴直线A′B′的解析式为y=-35令x＝0，得到y=2令y＝0，得到x=2∴M（23，0），N（0，2∴m=23，n∴nm故答案为35（4）如图4中，作AA′∥x轴，使得AA′＝CD＝2，作A′关于x轴的对称点A″，连接BA″交x轴于D，在点D的左边取一点C，使得DC＝2，连接AC，此时四边形ACDB的周长最小．由作图可知A″（3，﹣1），B（4，2），∴直线BA″的解析式为y＝3x﹣10，∴D（103，0∴OC＝OD﹣CD=103-∴C（43，0故答案为436．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为，点F的坐标为【解答】解：如图，方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b，62b），D（a，由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴DIOI∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOB=12S矩形AOCB∵S△BOE＝S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S∴S梯形BEGD＝S△BOD=9∴12(62a+6∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，∴a＝2b，a=-∴D（2b，62即：（2b，32在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（32b）2]+[（2b﹣b）2+（62b-32b）2∴b=3∴B（3，26），D（23，6），∵直线OB的解析式为：y＝22x，∴直线DF的解析式为：y＝22x﹣36，当y＝0时，22x-36=∴x=3∴F（332，∵OE=3，OF=∴EF＝OF﹣OE=3∴EFOE方法二：如图，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，由上知：DF∥OB，∴S△BOF＝S△BOD=9∵S△BOE=12|k|＝3∴OEOF设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a，∴BE=622a，OG＝3a+b∵△BOE∽△DFG，∴OEFG∴2a∴a＝b，a=-∴D（4a，62∵B（2a，62∴GHEH∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴DGOG∴62∴a=3∴3a=3∴F（332，故答案为：12，（3327．在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，过点B作（1）如图1，点P为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D'，点A的对应点A'，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面上找一点G，使得以A'、D'、F'、G为顶点的四边形为菱形．直接写出D′的坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，-12x2+2x+3解得：x=-2或x＝3∴点A（-2，0），B（32，0∴点D的橫坐标为32∴点D的坐标为（2，4），∴OC＝3，OB＝32，如图，记对称轴于x轴的交点为点F，则BF＝32-2=22，∠BFE＝∠COB∵BC⊥BE，∴∠CBF+∠FBE＝90°，∵∠FBE+∠FEB＝90°，∴∠CBF＝∠FEB，∴△FBE∽△OCB，∴EFOB=BF∴EF＝4，∴点E的坐标为（2，﹣4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，则-2k+b=0∴直线AE的解析式为y=-2x﹣过点P作PQ⊥x轴，交直线AE于点Q，设点P的坐标为（x，-12x2+2x+3），则点Q的坐标为（x，-2x﹣2），∴PQ=-12x2+2x+3﹣（-2x﹣2）=-12x2+22x+∵S△PAE＝S△PAQ﹣S△PEQ=12∴S△PAE=-22（x﹣22）2+∴当x＝22，即点P的坐标为（22，3）时，△PAE面积最大，作点P和点O关于对称轴的对称点P'和O'，连接O'P'，与对称轴交于点M，与y轴交于点N，则OM+MN+NP的最小值即为O'P'的长，∵O（0，0），P（22，3）∴O'（22，0），P'（﹣22，3），∴O'P'=(设直线O'P'的解析式为y＝mx+n，则22m+n=0∴直线O'P'的解析式为y=-32当x=2时，y=∴点M的坐标为（2，34），OM+MN+NP的最小值为41（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则32k+b=0∴直线BC的解析式为y=-22x记FF'与BC的交点为点H，则∠FHB＝90°，点H为F和F'的中点，∴cos∠FBH＝cos∠CBO，即BHBF∵BF＝22，BO＝32，BC=32+(∴BH2∴BH=4过点H作HK⊥x轴于点K，则∠HKB＝90°，∴sin∠HBK＝sin∠CBO，cos∠HBK＝cos∠CBO，∴HKBH=CO∴HK43∴HK=43，BK∴OK＝OB﹣BK＝32-∴点H的坐标为（523，∴点F'的坐标为（723，∵点A（-2，0），点D（2，4∴AD＝26，即A'D'＝26，设平移的距离为6t，则点A'的坐标为（-2+2t，2t），点D'的坐标为（2+2t，∴A'F'2＝（-2+2t-723）2+（2t-83）2＝6t2﹣24t+883，D'F'2＝（2t+2-723）2+（4+2t-8①以A'F'和D'F'为邻边时，A'F'2＝D'F'2，∴6t2﹣24t+883=6t解得：t＝1，∴点D'的坐标为（22，6）；②以A'F'和A'D'为邻边时，A'F'2＝A'D'2，∴6t2﹣24t+883解得：t＝2+273或t＝∴点D'的坐标为（32+2143，8+473③以D'F'和A'D'为邻边时，D'F'2＝A'D'2，∴6t2+163解得：t=273或∴点D'的坐标为（2+2143综上所述，点D'的坐标为（22，6）或（32+2143，8+473）或（32-28．阅读材料：对于正数a、b，有（a-b）2≥0，所以a+b﹣2ab≥0，即a+b≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”）．特别地：a+1a≥2a因此，当a＞0时，a+1a有最小值2，此时a＝简单应用：（1）函数y＝2﹣x-4x（x＞0）的最大值为（2）求函数y＝9x+1x-1（x＞1），当x＝解决问题：（3）已知P（﹣2，3）是反比例函数y=kx图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y=kx只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线y=32x+6与x轴、y轴分别交于点C【解答】解：（1）∵x+4x≥2∴y最大＝2﹣4＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）y＝9x+1x-1=9（x﹣1）+1x-当9（x﹣1）=1x-1时，即：当x=43时，故答案为：43，5（3）把x＝﹣2，y＝3代入y=k3=k∴k＝﹣6，∴y=-设点A（a，0），B（0，b），（a＞0，b＜0），∴直线AB的解析式为：y=-bax由-6xbx2﹣abx﹣6a＝0，∵直线AB与双曲线y=k∴Δ＝（ab）2+24ab＝0，∴b=-由y=32x+6得：D（0，6），C（﹣4∴AC＝a+4，BD＝6﹣b＝6+24a，∴S四边形ABCD=12AC⋅BD=12(a+4)⋅(6+24a)=∴当a=16a，即：a＝4时，四边形ABCD的面积最小值为：9．已知一次函数y1＝kx+m与二次函数y2＝2ax2+bx+c（a＞0，b为整数）的图象交于A（2﹣22，3﹣22）、B（2+22，3+22）两点，二次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1．（1）求y1、y2、y3的解析式；（2）P是y轴上一点，过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N，过点M作直线y＝﹣1的垂线，垂足为G，过点N作直线y＝﹣3的垂线，垂足为H．是否存在这样的点P，使PM＝MG、PN＝NH恒成立，若存在，求出P点的坐标，并探究PMPN（3）在（2）的条件下．设过P点的直线l交二次函数y2的图象于S、T两点，试求1PT【解答】解：（1）将A（2﹣22，3﹣22）、B（2+22，3+22）代入到y1＝kx+m，得，(2解得k=1∴y1＝x+1，联立y=x+1化简得2ax2+（2b﹣1）x+c﹣1＝0，由根与系数关系可得，2-化简得，8a+2b＝1，∵二次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1，∴2ac-∴b＝0，∴a=1∴y2将A点坐标代入到y214∴c＝0，∴y1＝x+1，y2=1（2）如图1，设P（0，t），M（u，v），∴PM2＝u2+（v﹣t）2＝u2+v2+t2﹣2vt，MG＝v+1，∵PM＝MG，∴PM2＝MG2，∴u2+v2+t2﹣2vt＝v2+2v+1①，∴u2+t2﹣2vt＝2v+1，∵M点在抛物线y=1∴14∴u2＝4v，将上式代入到①中，化简得，2v+t2﹣2vt﹣1＝0，∴（t﹣1）（t+1﹣2v）＝0，∵上式对任意v都成立，∴t﹣1＝0，∴t＝1，∴P（0，1）时，使PM＝MG恒成立，同理可得，当P（0，1）时，使PN＝NH恒成立，∴P点的坐标为（0，1）时，使PM＝MG，PN＝NH恒成立，设NH与直线y＝﹣1交于点K，直线y＝﹣1与y轴交点为E，∵MG∥y轴，NH∥y轴，∴PO∥MG∥NK，∴PMPN设直线PM为y＝kx+1，联立y=kx+1化简得，x2﹣4kx﹣4＝0，∴x=2∴M的横坐标为2k+∴EG=2k+2k2+1，同理，EK∴PMPN即存在这样的点P（0，1），使PM＝MG、PN＝NH恒成立，PMPN（3）设直线l2为y＝nx+1，S（x1，y1），T（x2，y2），联立y=nx+1化简得，x2﹣4nx﹣4＝0，∴x1+x2＝4n，x1x2＝﹣4，∴y1+y2＝n（x1+x2）+2＝4n2+2，∴y1y2=1如图2，分别过S，T作直线y＝﹣1的垂线，垂足为D，Q，由（2）可得，PS＝SD＝y1+1，PT＝TQ＝y2+1，∴1PT+即1PT10．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y=kx（k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D（1）①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．【解答】解：（1）①如图2中，连接AD交EF于H．∵四边形ABOC是矩形，A（﹣4，3），∴∠A＝90°，OB＝AC＝4，AB＝OC＝3，∵E，F在y=k∴可以假设E（k3，3），F（﹣4，k∴AE＝4+k3，AF＝3∴AE：AF＝4：3，∵AC：BC＝4：3，∴AEAC∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴∠AEF＝∠ACB，∴EF∥BC，∵A，D关于EF对称，点D落在BC上，∴EF垂直平分线段AD，∴AH＝DH，∵EF∥BC，∴AHDH∴AE＝EC＝2．②如图3中，当点D落在OB上时，连接AD交EF于H．∵∠EAF＝∠ABD＝90°，∠AEF＝∠BAD，∴△AEF∽△BAD，∴AEAB=AF∴BD＝AB÷4设AF＝x，则FB＝3﹣x，FD＝AF＝x在Rt△BDF中，∵FB2+BD2＝DF2，∴（3﹣x）2+（94）2＝x2解得x=75∴AF=75∴AE=43AF∴EC＝4﹣AE＝4-25∴78＜CE＜4时，折叠后点D落在矩形线段CE长度的取值范围为：78＜CE＜（2）∵△ABD是等腰三角形，F与B不重合，∴AB≠BD．①如图4中，当AD＝BD时，∠BAD＝∠ABD，由（1）可知∠BAD＝∠AEF，∴∠ABD＝∠AEF．作DM∥OB交AB于M，交OC于N．则DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠BMD＝∠EAF＝90°，BM=12AB∴△AEF∽△MBD，∴AEMB=AF∴MD＝BM÷4∴DN＝MN﹣MD＝4-9∴D（-238，②如图5中，当AD＝AB时，作DM∥OB交AB于M，交OC于N．则DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠AMD＝∠EAF＝90°，由（1）可得∠BAD＝∠AEF，∴△AEF∽△MAD，∴AEAM=AF设AM＝4a，则MD＝3a，在Rt△MAD中，∵AM2+DM2＝AD2，∴（4a）2+（3a）2＝32，∴a=3∴AM=125，MD∴BM＝AB＝AM＝3-125=35，DN＝MN﹣∴D（-115，综上所述，满足条件的点D的坐标为（-238，32）或（-11．对称变换和平移变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时，更是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题：（1）如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点B（2，1），点P在x轴上运动，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是；（请直接写出答案）（2）如图②，AD⊥l于点D，BC⊥l于点C，且AD＝2，AB＝BC＝4，当点P在直线l上运动时，PA+PB的最小值是；（请直接写出答案）（3）如图③，直线a∥b，且a与b之间的距离为1，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为2，且AB=34，问：在直线a上是否存在点C，在直线b上是否存在点D，使得CD⊥a，且AC+CD+DB的值最小？若存在，请求出AC+CD+DB（4）如图④，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（6，4），线段CD在直线y＝x上运动，且CD＝22，则四边形ABCD周长的最小值是，此时点D的坐标为．（请直接写出答案）【解答】解：（1）如图1，作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣1），连接A′B交x轴于点P，则点P为所求点，∵点A′、A关于x轴对称，∴PA′＝PA，PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小；设直线A′B的表达