§94-离散傅立叶变换的性质课件

1三、离散傅立叶变换（DFT)----有限长序列的离散频谱表示Q2三、离散傅立叶变换（DFT)

----有限长序列的离散频谱表示从有限长序列的DTFT到DFT从DFS到DFTDFT的性质Q31、从有限长序列的DTFT到DFT非周期信号的频谱都是频率的连续函数，无法用计算机进行计算。离散信号的DTFT，它是的连续周期函数，尽管在理论上有重要意义，但在计算机上实现有困难。为此，需要一种时域和频域上都是离散的傅里叶变换对，实现计算机的快速计算，这就是离散傅里叶变换

DFT。Q4能量有限、时间长度为L的有限长序列的DTFT为频率采样点数N已知，2π/N为定数N点DFT是有限长序列（L≤N)的DTFT的N点均匀取样值，也就是非周期序列频谱的样值。Q频率离散化52、从DFS到DFT

为了计算的方便，通常将1/N移到中，而且二者所具有的物理意义和性质都相同

DFS:62、从DFS到DFT设,令

x(n)、X(k)分别称作、的主值DFTIDFTDFT又可看作以有限长序列x(n)为一个周期，进行周期延拓后所形成的周期序列xp(n)的离散频谱RN(n)为矩形序列7DFSDFTQ8DFT小结DFT是DFS的主值序列DFS是严格按傅立叶分析的概念得来的DFT只是一种借用形式，一种算法用DFT计算信号的频谱时采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率对周期信号要取一个整周期93、DFT的性质线性对称性圆周位移圆周卷积10(1)线性若那么如果x1(n)、x2(n)长度不同，长度短的序列要补零，使它与另一序列长度相同11(2)对称性

若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性：若x(n)为虚序列，则X(k)具有共轭反对称性：(N-k)modN表示“N－k对N取模”，即：如果N－k写成N-k=qN+l，q、l为整数，，则有12(3)圆周位移序列x(n)的圆周位移定义n0是位移值，RN(n)是矩形序列13圆周位移的概念有限长序列周期延拓线性位移加窗得到圆周位移序列14时移特性若则时域序列的圆周位移的DFT为原来的DFT乘以一个因子15频移特性若则IDFT在时域x(n)乘以一个16(4)时域圆周卷积定理若则定义为圆周卷积N点的圆周卷积x(n)和h(n)都需是N点17例6

计算x1(n)、x2(n)的N点圆周乘积，其中解：x1(n)、x2(n)的N点DFT为因此，有x1(n)、x2(n)

的N点圆周卷积是X(k)的反DFT变换18频域圆周卷积定理若则19四、快速傅立叶变换（FFT）DFT的计算量DFT的特点及FFT的思想基-2算法的FFT的基本思路FFT算法的特点201、DFT的计算量DFTN点DFT的计算量：每计算一个X(k)值需要进行N次复数相乘，N-1次复数相加；对于N个X(k)点，完成全部DFT运算共需N2次复数相乘和N(N-1)次复数加法。212、DFT的特点及FFT的思想（1）Wr

的周期性（2）Wr的对称性222、DFT的特点及FFT的思想（3）由于DFT计算量与N成几何级数增长，可以将长序列分解成多个短序列信号，然后分别求各个短序列的DFT，最后将它们组合，得到原序列的DFT。利用以上DFT运算的特点，即可得到序列的FFT算法。233、基-2算法的FFT的基本思路

序列的长度是2的整数幂时,将x(n)分解（抽取）成较短的序列，然后从这些序列的DFT中求得X(k)的方法。24(1)按时间抽取的FFT算法

以为例的DFT2526第二行和第三行互换第二列和第三列互换x(1)和x(2)互换矩阵等式不变只和有关只和有关27N点的DFT是否可以分成两组N/2点的DFT?设序列x(n)的长度为N=2r，x(n)被分解（抽取）成两个子序列，每个长度为N/2.第一个序列g(n)由x(n)的偶数项组成：

第二个序列h(n)由x(n)的奇数项组成

28x(n)的N点的DFT表示为：N/2点的DFTN/2点的DFT主值周期为N/2的X（k）29另外主值周期还有N/2点的X(k)如果N/2为偶数，还可以再次进行分解，直到只剩下2点的DFT

30N=4为例DFT分组N/2点的DFT(n为偶数）N/2点的DFT(n为奇数）

N点的

DFT31N=4为例DFT的信号流图324、FFT算法的特点基本运算单元为一个蝶形，第m级的蝶形上节点下节点每一蝶形是独立的每一级中有N/2个蝶形

338点按时间抽取FFT第一阶段的运算框图

34按时间抽取FFT将4点DFT分解为两个2点DFT